精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

福鼎四中2025-2026学年第一学期高三月考 数 学 试 题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再利用交集运算求解答案. 【详解】因为，所以或，即或. 所以. 故选：D. 2. 设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出及对应点的坐标即可. 【详解】依题意，，所以在复平面内复数对应的点位于第一象限. 故选：A 3. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性的判断来排除两个错误选项，再利用余弦值的正负来判断一个错误选项即可. 【详解】由， 由于该函数的定义域为，所以可得是奇函数， 故函数的图象关于原点对称，所以C、D是错误的； 当时，所以此时有，故B是错误的； 所以A是正确的； 故选：A. 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（ ）天参考数据：，， A. 18 B. 30 C. 51 D. 69 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍， 则 ， 故选：D. 5. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二项分布的概率公式求出的值，再利用方差公式计算即可. 【详解】由题意得，，又，， ，，即，又，， ，解得，. 故选：. 6. 若a=0.22，b=30.5，c=log0.53，则a，b，c的大小关系是（ ） A. a<b<c B. c<b<a C. b<c<a D. c<a<b 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【详解】， ， ， 所以. 故选：D 7. 已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据的奇偶性和周期性得到. 【详解】，故，， 定义在上的偶函数的最小正周期为2， 故. 故选：B 8. 已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可确定的单调性和极值，由此得到的图象，将问题转化为与有个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，． ， 当和时，；当时，； 在上单调递增，在，上单调递减， 的极大值为，极小值为，且当时，，当时，，由此可得大致图象如下图： 有个不同实数根等价于与有个不同的交点， 由图象可知：，的取值范围为. 故选：C． 【点睛】方法点睛：已知方程根的个数求参数值或取值范围常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”的否定为“” B. “”是“”的必要条件 C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题可根据全称命题的否定、必要条件的定义、对数的换底公式以及两角和的正弦公式来逐一分析选项即可. 【详解】对于A，命题“”，其否定为“”， 故A正确； 对于B，由能推出，所以“”是“”的必要条件，故B正确； 对于C， 已知，可得，所以，故C正确； 对于D， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；利用基本不等式可逐项判断BCD. 【详解】对于选项A：当时，则不成立，故A选项错误； 对于选项B：， 当且仅当时等号成立，即，故B选项正确； 对于选项C：， 当且仅当，即时等号成立，则，故C选项错误； 对于选项D：， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 于是，即，故D选项正确. 故选：BD 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合偶函数的性质求当时的函数解析式，由此判断C，求时，函数的导函数，代入可得，判断A，求函数在区间上的导函数，利用导数与单调性的关系求函数在上的单调区间，结合偶函数性质求函数的单调递增区间判断B，根据函数在区间上的极值情况，结合偶函数性质判断D. 【详解】是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，C错误， 因为当，， 所以当，，故，A错误， 因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，B正确， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，是的极小值点，因为是偶函数，所以也是的极小值点，故有2个极小值点，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 已知关于的不等式的解集为，则_______________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答. 【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根， 则有，解得，所以. 故答案为：16. 13. 已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 函数求导，由切线方程可得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】的导数为， 由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，切点为， 代入，得， 为正实数， 则， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为： 【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题. 14. 设定义域的函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式得到图象，结合图象和方程根的个数可确定方程有个不同的，且均在上的实数根，根据二次函数图象可确定不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】由解析式可得函数图象如下图所示： 有个不同的实数根 方程有个不同的，且均在上的实数根 ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过函数图象判断出一元二次方程根的个数及根所处的范围，从而利用二次函数图象来确定不等关系，使问题得以求解. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 设函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程. （2）当，求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值，极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，利用直线的点斜式方程即得； （2）对函数求导，分析函数的单调性，即得函数的极值. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，而， 故函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，函数的定义域为， 则， 令，得或；令，得， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值； 在处取得极大值. 16. “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】（1），186 （2）分布列： X 0 300 500 600 800 1000 P 数学期望为600 【解析】 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【小问1详解】 ， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. 【小问2详解】 X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为是否喜欢体育运动与性别有关联 （2）X的分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据时间分组统计表，完成列联表，根据参考公式计算，对照附表作出相应判断. （2）根据(1)中的列联表，求出分层随机抽样抽取的8人中的男女人数，并求出随机变量X的可能取值及对应的概率，写出相应分布列，求得数学期望. 【小问1详解】 列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联． 根据列联表可得， 所以，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． 【小问2详解】 从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则男生抽取人数为，女生抽取人数为． X的所有可能取值为0，1，2，其中，，. 则X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望． 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 19. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点，故， 而， 所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为． （3） 若，，原命题等价于证明在区间上恒成立， 设，则需满足在区间上恒成立， 设，则， 因为，所以，，若，则， 故恒成立，故在区间上为增函数， 故，即在区间上恒成立． 【解析】 【分析】（1）把代入函数化简解析式后求导，利用基本不等式求出导数最小值，再根据，解关于的不等式求出的最小值. （2）设为图象上任意一点，计算出，从而命题得证. （3）若，原命题等价于证明在区间上恒成立，通过换元法化简不等式，构造函数后求导，利用导数恒正得出函数单调递增，进而得出结论. 【小问1详解】 当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2025-2026学年第一学期高三月考 数 学 试 题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（ ）天参考数据：，， A. 18 B. 30 C. 51 D. 69 5. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若a=0.22，b=30.5，c=log0.53，则a，b，c的大小关系是（ ） A. a<b<c B. c<b<a C. b<c<a D. c<a<b 7. 已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”的否定为“” B. “”是“”的必要条件 C. 若，则 D. 10. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 在和上单调递增 C. 当时， D. 有2个极小值点 三、填空题 12. 已知关于的不等式的解集为，则_______________. 13. 已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 14. 设定义域的函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是______. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 设函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程. （2）当，求函数的极值. 16. “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 19. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $