精品解析：安徽省六安第二中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

六安二中2026级高三第二次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂到答题卡相应的位置上. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设， 则“”是 的（ ）条件. A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 定义新运算：，设，命题，则（    ） A. ，且为假 B. ，且为假 C. ，且为真 D. ，且为真 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ） A. 图像关于轴对称 B. 图像关于中心对称 C. 在最小值为 D. 在上单调递增 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，实数的取值范围为______. 13. 在中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围为__________. 14. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知． （1）证明：； （2）延长 至点 ，使得，试探究是否为定值？并说明理由． 16. 对于，若数列满足（，为常数）；则称这个数列为“数列”．已知数列是“数列”，数列是“数列”，且． （1）求数列，的通项公式； （2）记，判断数列是否是“数列”.若是，求出，的值，反之说明理由． 17. 如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. （1）证明:平面； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知点，平面内过一动点（异于）的直线分别与直线4相交于两点，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与相交于两点，且，求的方程； （3）记与外接圆的半径分别为，求的最小值. 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中2026级高三第二次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂到答题卡相应的位置上. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式求解，及指数函数的值域，确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意， ， 故选：C 2. 设， 则“”是 的（ ）条件. A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】， ． 故选：A. 4. 定义新运算：，设，命题，则（    ） A. ，且为假 B. ，且为假 C. ，且为真 D. ，且为真 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合指对数函数性质分析可知，再根据命题的否定分析判断. 【详解】因为，且， 则，， 可得，即命题为假命题， 所以，且为真命题. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂运算可得，又由对数函数单调性可得，得解. 【详解】因为，所以. 又，所以. 故选：B. 6. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 7. 若，，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数. 【详解】, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，，， 则的草图如下： 由图象可得函数的零点个数为. 故选：C. 8. 已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于嵌套函数的零点问题，一般需要用换元法，再结合函数图象进行讨论. 【详解】令，则， ①当时，的图象如图所示 若恰有三个不同实根，则一定要有两个不同的根， 所以，设的两根为且则一定有 所以 解得 当时，如图所示， 若恰有三个不同实根， 则必须有，即 解得 ②当时，或时，只有一个根， 此时不能有三个不同实根. ③当时，， 、的图象如图所示， 若有三个不同的实根 则，即，此不等式无解 综上所述： 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，故A正确； 由， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为2，故B正确； 由，当且仅当时等号成立， 则的最大值为1，故C错误； 由， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为2，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ） A. 图像关于轴对称 B. 图像关于中心对称 C. 在最小值为 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像得出，由过，两点，代入函数式，即可确定，进而得出，即可根据正弦函数图象和性质判断选项. 【详解】由图知,可得，又， 解得：或，又 若无解；若，则，所以，向右平移得到， 对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误； 对于B：令，故对称中心,故B错误； 对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确； 对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误； 故选：ABD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A错误； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B正确； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由得到，通过讨论，和三类情况讨论即可. 【详解】因为所以 由题意，集合为的解集， 当时，得不满足， 当时，因为，在恒成立， 即 因为，当且仅当时，取等号， 显然不成立， 当时，由题意可得：在恒成立， 即恒成立， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理与和差角公式，推出，再通过判断角的取值范围来确定的取值范围. 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以或（舍去），所以. 由正弦定理得，， 而，即，所以. 所以，所以. 所以的取值范围为. 14. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，，即 为的增函数，，，即， 由题意，只需， 记，，令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，所以； 当时，，，符合题意. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知． （1）证明：； （2）延长 至点 ，使得，试探究是否为定值？并说明理由． 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以， 由正弦定理和余弦定理，得， 所以，即， 解得或， 若，则，又，所以，， 此时，有，即，所以． （2）是，理由：因为，所以． 因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和正、余弦定理计算可得或，若可得，即可证明； （2）由题意可得、，根据余弦定理化简计算，结合（1）可得，变形即可下结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 对于，若数列满足（，为常数）；则称这个数列为“数列”．已知数列是“数列”，数列是“数列”，且． （1）求数列，的通项公式； （2）记，判断数列是否是“数列”.若是，求出，的值，反之说明理由． 【答案】（1）， （2）不是，理由： ， ， ， 由①， 得②， ①-②得， ∴，． 假设存在，使得，即， ∴无实数解，即假设不成立． ∴数列不是“数列” 【解析】 【分析】（1）由数列新定义得到数列递推公式即可求解； （2）由错位相加法求得，再由“数列”构造等式，求解判断即可； 【小问1详解】 由题知，即， ∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴． ∵，即， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴． 【小问2详解】 略 17. 如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. （1）证明:平面； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为平行四边形，且， 所以为菱形，所以. 又，，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以. 在和中： （）. 所以. 又为中点，所以. 又，平面，且， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先通过证明平面，得到，再通过等腰三角形的性质得到，根据线面垂直的判定定理可证平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系： 因为，，， 所以，，. 所以，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 所以，，. 设直线与平面所成的角为， 则. 18. 已知点，平面内过一动点（异于）的直线分别与直线4相交于两点，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与相交于两点，且，求的方程； （3）记与外接圆的半径分别为，求的最小值. 【答案】（1）（）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率的两点式及其乘积为定值，即可得轨迹方程； （2）设l的方程为，，，联立曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数m，即可得结果； （3）设直线PA的方程为，则直线PB的方程为，进而求出坐标及，应用正弦定理求外接圆半径，结合可得，最后应用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 设，由，得，整理得. 因为点P异于点A，B，所以C的方程为（）. 【小问2详解】 设l的方程为，，，则. 联立方程组，整理得， 则，即， 所以，， 则，解得，满足题设， 所以l的方程为. 【小问3详解】 设直线PA的方程为，则直线PB的方程为. 令，得，同理得，则. 在中，由正弦定理知，同理可得. 因为，所以， 从而，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 【答案】（1）; （2）（i）证明：，其中， 则，， 当时，， 由知，成立， 所以在上无零点，即在上无极值点. 当时，令， 则在上单调递增，， 由知，， 所以使得，当时，，即单调递减， 所以； 当时，，即单调递增， 因为，所以，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点. 故，又因为， 所以存在使得， 所以在上存在唯一零点，得证. （ii）证明：由（i）知成立，下面证明. 由（i）知，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明. 因为，所以， 由（i）知，得， 所以， 由（1）知，当时，，所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，所以，即成立， 所以成立，即， 综上所述，得证. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，然后分类讨论时，是否恒成立，即可求解； （2）（i）对函数求导，确定函数的单调性，然后结合零点存在定理即可解决； （ii）由（i）知成立，只要证出即可，构造新函数，通过函数的单调性证明成立，从而证得不等式. 【小问1详解】 ，求导可得， 观察可知在上单调递增，所以. ①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意； ②当时，在上单调递增， 所以，使得，当时，，在上单调递减， 所以时，，不满足题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $