专题03 八类抽象函数综合运用（专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题03 八类抽象函数综合运用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抽象函数的定义域（常考题） 1 题型二、抽象函数求值（常考题） 2 题型三、抽象函数的解析式 3 题型四、抽象函数的单调性（重点） 4 题型五、抽象函数的奇偶性（重点） 6 题型六、抽象函数的解不等式问题（难点） 8 题型七、抽象函数的综合运用（选填题） 10 题型八、抽象函数的综合运用（解答题） 13 B综合攻坚・能力跃升 抽象函数：我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决。 题型一、抽象函数的定义域（常考题） 1．（24-25高一·重庆·专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】（1）函数的定义域为， 由，解得，所以函数的定义域为． （2）函数的定义域为，则，可得的定义域为． 由，即且， 即且，解得或． 所以函数的定义域为． 2．（25-26高一上·广东·月考）已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以对于函数，有，解得， 故函数的定义域为．故答案为： 3．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以，解得， 则函数的定义域为.故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，即，则，所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为．故答案为：． 题型二、抽象函数求值（常考题） 5．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得.故选：D. 6．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 【答案】C 【详解】对于任意实数，满足， 所以当时，， 所以.故选：C 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】令，则， 令，，则．故选：C 8．（24-25高一上·重庆·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，取可得， 又，可得，因为，取可得， 所以，又，故， 由，取，，可得，故选：D. 题型三、抽象函数的解析式 9．（24-25高一·成都·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得，则， 此时， 而， 则，满足题意，所以.故答案为：. 10．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得．故答案为：. 11．（24-25高一上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时，符合题设要求. 故答案为： 12．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】设，由， 代入可得，，解得，. 故答案为：.（答案不唯一只要正确即可） 题型四、抽象函数的单调性（重点） 13．（2025高一·江苏·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明：(1)；(2)对任意的恒有；(3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又，所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，，所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又，所以，即， 所以是增函数. 14．（2025高一·湖北·专题练习）已知定义在上的函数满足条件： ①对定义域上任意，都有；②当时，． (1)求证：；(2)求证：在上单调递增． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）令得，令，则，即； （2）设，则，故， 因为，所以，即在上单调递增． 15．（25-26高一上·山东·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，．(1)求的值；(2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故，所以，即， 所以在上单调递增． 16．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值；(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； 【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，解集为 【详解】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且，则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． 题型五、抽象函数的奇偶性（重点） 17．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【详解】令，则，即，∵，解得． 再令，则，移项可得，∴是偶函数． 18.（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】A 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令得，令得，所以是奇函数，故选：A 19．（多选题）（24-25高一上·重庆·期中）已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】ACD 【详解】A.令得，，即，解得，选项A正确. B. ∵，∴不是奇函数，选项B错误. C.令，得， ∴，即，∴是偶函数，选项C正确. D.令，得，∴.令，得， 在中，令，得，选项D正确.故选：ACD. 20．（24-25高一上·浙江·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值；(2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)；(2)是偶函数；证明见解析. 【详解】（1）令，则． 再令，可得，∴． （2）是偶函数； 证明：令可得，∴是偶函数． 21．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：；(2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【详解】（1）取代入，得， 取代入，得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而， 所以在上单调递减. 题型六、抽象函数的解不等式问题（难点） 22．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，（1）若对任意的，都有，且当时，．求证：是上的增函数；(2)若是上的增函数，且，，解不等式． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1） 设，，且，则， 即， 所以， 所以，所以是上的增函数． （2）因为，所以．在上式中取，，则有， 因为，所以．于是不等式等价于． 又是上的增函数，所以，解得，所以原不等式的解集为． 23．（24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，对、，满足， 又当时，，令，且，则， 则，所以，所以在上单调递减， 因为，所以，， 则不等式可化为， 所以，，解得．因此，不等式的解集为.故选：B. 24．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为对任意的a，，都有，，且， 所以，且． 设任意，则，则，又， 所以，若，则当时，， 则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减， 所以不等式等价于，所以， 故，即，解得． 所以不等式的解集是．故答案为： 25．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意有：令有：， 令有：， 对任意的且，所以，即，所以， 即，所以，所以在上单调递增， 又，所以，所以，故答案为：. 26．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求；(2)证明：为奇函数；(3)解不等式. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）令，则，， 令，，则，，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有，由（1）知，. 令，则，即，是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ，，在上为减函数. 因为， ，解得，的解集为. 题型七、抽象函数的综合运用（选填题） 27．（2025·四川绵阳·校考模拟预测）已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（    ） ①；②；③关于点对称；④ A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【详解】对于①，由于都有， 所以令，则，即， 因为，所以，所以①正确， 对于②，令，则，所以，即， 所以，所以②错误， 对于③，令，则，所以， 即，所以关于点对称，所以③正确， 对于④，因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以的周期为4，在中，令，则 ，因为，所以， ，所以， 所以，所以④正确，故选：D 28．（多选题）（24-25高一上·吉林通化·期中）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】ABD 【详解】令，，则，即，解得，故A正确； 令，则，得，由A可知，则，即，故是奇函数，B正确；对任意的都有，可得，因此的图象关于点对称，故C错误； 由于且是奇函数，得，即，因此，，，…，，所以D正确．故选：ABD． 29．（多选题）（24-25高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确.故选：ABD. 30．（多选题）（25-26高三上·重庆·开学考试）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于中心对称 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为，所以一个周期的和为， 所以，故D正确.故选：ACD 题型八、抽象函数的综合运用（解答题） 31．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，；(2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)在上是减函数，证明见解析；(3)． 【详解】（1）在中，令，得，所以， 又令得，所以， 当时，，，所以； （2）在上是减函数．证明如下：任取且，因此有，， 所以， 即，所以在上是减函数； （3）由题意，由得， 由（2）在上是减函数，所以，， 又，当且仅当时等号成立，所以．所以的范围是， 32．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在R上的增函数，且满足，且。(1)求的值；(2)求不等式的解集.(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）令可得，即，则 令可得，则 （2）函数是定义在R上的增函数， 由，则，解得 所以不等式的解集为 （3）由，可得，即 函数是定义在R上的增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立. 由函数在上单调递增，所以所以 33．（2025高一·浙江·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.(1)求的值；(2)判断的奇偶性并证明；(3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 【答案】(1)1(2)偶函数，证明见解析(3)证明见解析， 【详解】（1）∵任意均有， 令，则.∵，∴. （2）由题意知定义域为，关于原点对称 令，∴，∴，∴为偶函数. （3）∵，又，∴，即， ∴，∴的周期为. 34．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数；(2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴，令，得， ∴，，∴为奇函数； （2）时，，，∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，，∴对，， 任取，则，， 而，∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3），∴， ， ∵不等式对恒成立，∴对恒成立， 又在上单调递增，∴对恒成立， 即对恒成立，设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】∵对任意的正数，，都有， ∴令可得，解得； 令，可得，∴. ∴，即. 令，可得，∴. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为R且则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】令得， ， 又 ，所以 ①， ①中将替换为 ，得 ②， 由①+②，得 ③， ③中将替换为 ，得 ， ③中将替换为 ，得 ，所以 的周期为6， 令，得 .由①，易得 ， 同理 ，所以 ， .故选：A 3．（24-25高一上·浙江·期中）定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（   ） A．若均为奇函数，则为奇函数 B．若单调性相同，则为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，若，均为奇函数，则， 则，则函数为奇函数，故A正确； 对于B，设，，在上都是增函数， 则，但其在上不具有单调性，故B错误； 对于C，设，，满足，但不成立，故C错误； 对于D，设，，， 在上递增，满足，但为减函数，，故D错误. 故选：A． 4．（24-25高二下·河南周口·期末）函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（    ） ①是偶函数；②是上的减函数；③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于①，取，则，解得， 令，则，即，且函数的定义域是， 所以函数是奇函数，故①错误； 对于②，令、，且，则，因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故②正确； 对于③，因为函数是上的减函数，所以函数在上的最小值为， 又，，故， 在上的最小值为，故③错误；对于④，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故④正确，故选：B. 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，对、，满足， 又当时，，令，且，则， 则，所以，所以在上单调递减， 因为，所以，， 则不等式可化为， 所以，，解得．因此，不等式的解集为.故选：B. 6．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 【答案】D 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数是偶函数，A错误； 对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，令，得，则， 令，，得，则，，C错误； 对于D，由为偶函数，得，D正确.故选：D 7．（多选题）（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【详解】对于A，令，可得，即 因为，所以，所以A正确； 对于B，令，可得，即， 因为，所以，所以B正确； 对于C，令，可得，解得， 令，则，所以， 则，所以不是偶函数，即不是偶函数，所以C错误； 对于D，设，则，令，可得， 所以， 即，所以为奇函数，即是奇函数，所以D正确.故选：ABD. 8．（多选题）（2024·湖南·模拟预测）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】B选项，， 令得，因为，所以，故B正确： C选项，令得， 即，所以，故C正确； A选项，由C选项知，，故，中， 令得，解得，故A错误； D选项，中，令得①， 中，将换成得②， ①②两式相加得，即， 则，所以．故函数的周期为， 由得，由得， 故，所以，故D正确. 故选：BCD． 9．（多选题）（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为， 对B，令，得，因为，所以，故B错误； 对A，令，则，由B知， 则，所以，且定义域为，故是偶函数，故A正确； 对C，令，则，所以， 令，则，故C正确； 对D，有，则， 所以函数周期，则， 所以，故D正确．故选：ACD． 10．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】BCD 【详解】由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数， 由已知当时，， 令，可得，则， 令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称， A选项错误，B选项正确；设，则，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又的图象是一条连续不断的曲线，且，所以在上单调递增，C选项正确； 由，，得， 则，所以，所以是以为一个周期的周期函数， 所以，， 易知在上单调递减，且，所以，D选项正确；故选：BCD. 11．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是上的奇函数，，且对任意都有成立，则 ． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 可得，，所以，则， 又因为是定义在上的奇函数，，即， 即，所以的周期为6，则， 又因为是定义在上的奇函数，，所以. 所以故答案为：. 12．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【详解】由题意可得：，解得：，所以定义域是，故答案为： 13．（24-25高一上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 . ①，，；②，且，. 【答案】（答案不唯一） 【详解】令,则,满足条件①； ，且，,满足条件②；故答案为：（答案不唯一） 14．（24-25高一上·山西·期中）已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，，判断并证明的单调性. 【答案】(1)是奇函数，证明见解析(2)(3)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数； （2）令，得到， 由（1）知是奇函数，所以； （3）在上单调递增，证明如下：在上任取，令， 则 ， 又因为，，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 15．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)在上单调递减，理由见解析(3)1 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下：定义域，关于原点对称， 令，则，得，令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即，因此在上单调递减. （3）， 因为，所以. 16．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）由，故此令，则，则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即，时，可得恒成立， 令，由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以，所以综上，. 17．（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，．(1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；(3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)0(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：因为，， 所以令，可得，得． （2）证明：，且，则， 显然，，所以， 又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． （3）解：因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故，故不等式的解集为． 18．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)证明：函数在区间上单调递减；(3)若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）是偶函数；证明：令，则； 令，则； 取，则；为定义在上的偶函数． （2）任取，令，则，即； ，又当时，，即， 在上单调递减． （3）由（1）（2）知：在上单调递减且，又， 当时，，记； 对任意，总存在，使得，记在上的值域为； ①当，即时， 当时，在上单调递增，，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， 则，，即， 由得：，又，解得：； ②当，即时， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， ，即， 由得：，又，解得：； ③当，即时，当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 时，，， 由得：，又，解得：； ④当，即时， 当时，在上单调递减，，即， 的图象关于点中心对称，当时，，即， 当时，，则，，即， 由得：，又，解得：， 综上所述：实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 八类抽象函数综合运用（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抽象函数的定义域（常考题） 1 题型二、抽象函数求值（常考题） 2 题型三、抽象函数的解析式 3 题型四、抽象函数的单调性（重点） 4 题型五、抽象函数的奇偶性（重点） 6 题型六、抽象函数的解不等式问题（难点） 8 题型七、抽象函数的综合运用（选填题） 10 题型八、抽象函数的综合运用（解答题） 13 B综合攻坚・能力跃升 抽象函数：我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决。 题型一、抽象函数的定义域（常考题） 1．（24-25高一·重庆·专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 2．（25-26高一上·广东·月考）已知的定义域为，则的定义域为 ． 3．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4．（24-25高一上·江苏·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 题型二、抽象函数求值（常考题） 5．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 8．（24-25高一上·重庆·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 题型三、抽象函数的解析式 9．（24-25高一·成都·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 10．（2025高一·湖南·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 11．（24-25高一上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 12．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 题型四、抽象函数的单调性（重点） 13．（2025高一·江苏·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明：(1)；(2)对任意的恒有；(3)是增函数． 14．（2025高一·湖北·专题练习）已知定义在上的函数满足条件： ①对定义域上任意，都有；②当时，． (1)求证：；(2)求证：在上单调递增． 15．（25-26高一上·山东·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，．(1)求的值；(2)判断在上的单调性并证明． 16．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值；(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； 题型五、抽象函数的奇偶性（重点） 17．（24-25高一上·海南·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 18.（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 19．（多选题）（24-25高一上·重庆·期中）已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 20．（24-25高一上·浙江·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值；(2)判断函数的奇偶性并证明. 21．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：；(2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 题型六、抽象函数的解不等式问题（难点） 22．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，（1）若对任意的，都有，且当时，．求证：是上的增函数；(2)若是上的增函数，且，，解不等式． 23．（24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 25．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 . 26．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求；(2)证明：为奇函数；(3)解不等式. 题型七、抽象函数的综合运用（选填题） 27．（2025·四川绵阳·校考模拟预测）已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（    ） ①；②；③关于点对称；④ A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 28．（多选题）（24-25高一上·吉林通化·期中）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点对称 D． 29．（多选题）（24-25高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 30．（多选题）（25-26高三上·重庆·开学考试）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于中心对称 D． 题型八、抽象函数的综合运用（解答题） 31．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． (1)证明：当时，；(2)判断函数的单调性并加以证明； (3)如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 32．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在R上的增函数，且满足，且。(1)求的值；(2)求不等式的解集.(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 33．（2025高一·浙江·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使.(1)求的值；(2)判断的奇偶性并证明；(3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 34．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数；(2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ） A．12 B．6 C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为R且则（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一上·浙江·期中）定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（   ） A．若均为奇函数，则为奇函数 B．若单调性相同，则为增函数 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高二下·河南周口·期末）函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（    ） ①是偶函数；②是上的减函数；③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 7．（多选题）（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 8．（多选题）（2024·湖南·模拟预测）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 11．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是上的奇函数，，且对任意都有成立，则 ． 12．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 13．（24-25高一上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 . ①，，；②，且，. 14．（24-25高一上·山西·期中）已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，，判断并证明的单调性. 15．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 16．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 17．（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，．(1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；(3)若，求不等式的解集． 18．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)证明：函数在区间上单调递减；(3)若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $