专题04 期中真题百练通关（20大常考题型）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题04 期中真题百练通关（80题20大常考题型） 题型一三角形的三边关系 题型十一全等三角形与实际问题 题型二等面积法求线段长 题型十二画图问题 题型三三角形高、中线、角平分线综合 题型十三垂直平分线判定与性质综合 题型四三角形内角与外角综合 题型十四角平分线判定与性质综合 题型五折叠问题-角度计算 题型十五等腰三角形性质与判定综合 题型六折叠问题-线段长计算 题型十六等边三角形性质与判定综合 题型七添加条件使两个三角形全等 题型十七用勾股定理解三角形 题型八选择合适的方法证明两个三角形全等 题型十八判定三边能否构成直角三角形 题型九利用全等三角形的性质求解 题型十九勾股定理与实际问题 题型十全等三角形性质与判定综合 题型二十 最短路径问题 题型一 三角形的三边关系（共4小题） 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 2．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 3．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 题型二 等面积法求线段长（共4小题） 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 6．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 7．（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 8．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 题型三 三角形高、中线、角平分线综合（共4小题） 9．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（   ） ①；②的周长的周长；③；④； A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，，，， (1)的长 (2)的度数． (3)的度数． (4)是多少？ 12．（22-23七年级下·江苏镇江·期中）【数学经验】 三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点______； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高（不写画法，保留作图痕迹）； ③如图3，利用格点和无刻度的直尺完成作图：作出的高（不写画法，保留作图痕迹，有效的格点加黑加粗）． 【综合应用】 （2）如图4，在中，、、是三条角平分线，它们相交于点O，过点O作于点G． ①若，则______°． ②写出图中所有与互补的角：______． 【拓展延伸】 （3）我们也知道，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．如图5，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形的面积为______（用含S的代数式表示），其存在最大值，这个值为______．    题型四 三角形内角与外角综合（共4小题） 13．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线， ． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 15．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； (3)请判断点P是否满足平分且平分，并说明理由． 16．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 题型五 折叠问题-角度计算（共3小题） 17．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______． (2)若如图2所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点在外部，直接写出和之间的数量关系． 18．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到． (1)如图1，当点P落在上时，求的度数； (2)如图2，当时，求的度数． 19．（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处． (1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由． (2)当∠A′EB′=∠B′EB时，设∠A′EB′=x． ①试用含x的代数式表示∠FEG的度数． ②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由． 题型六 折叠问题-线段长计算（共3小题） 20．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______； (2)求点D的坐标； (3)求点E关于y轴的对称点的坐标． 21．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 22．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 题型七 添加条件使两个三角形全等（共4小题） 23．（22-23七年级上·山东烟台·期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据 ．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 25．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型八 选择合适的方法证明两个三角形全等（共5小题） 27．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）已知：如图，A、E、B、D在同一条直线上，，，．求证：； 28．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 29．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 30．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 31．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 题型九 利用全等三角形的性质求解（共4小题） 32．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 34．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 35．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 题型十 全等三角形性质与判定综合（共4小题） 36．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 37．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 38．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 39．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 题型十一 全等三角形与实际问题（共4小题） 40．（24-25七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离．小荷先沿方向走2.5米至点C，又沿着与垂直的方向走了3米至点D，并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小荷求出的长． 41．（24-25八年级上·福建南平·期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使，，在一直线上，测得大树顶端的视线与居民楼顶端的视线的夹角为90°，且大树和居民楼都垂直于地面．若米，米，请计算出该居民楼的高度． 42．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小南在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），直角三角板，刻度尺等 测量方案 如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 图1                    图2 任务： (1)求证：． (2)经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长为，求的长． 43．（23-24七年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 题型十二 画图问题（共5小题） 44．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 45．（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，在所给的方格图中，完成下列各题    (1)画出格点关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在上画出点P，使最小． 46．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 47．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 48．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 题型十三 垂直平分线判定与性质综合（共3小题） 49．（20-21八年级上·全国·单元测试）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 50．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 51．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型十四 角平分线判定与性质综合（共4小题） 52．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知平分，平分，求证：平分． 54．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 55．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 题型十五 等腰三角形性质与判定综合（共3小题） 56．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，分别是，边上的高．点是延长线上一点，且，点是上一点，且，顺次连接，，． (1)如图1，试判断的形状并说明理由； (2)如图2，若为钝角三角形，为钝角，，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由． 57．（24-25七年级下·上海·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 58．（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且，外一点D满足，BE平分，与交于点F，与交于点M． (1)请说明：； (2)求的度数； (3)若，试判断的形状，并说明理由． 题型十六 等边三角形性质与判定综合（共3小题） 59．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，，为延长线上一点，．    (1)求的度数； (2)点在上，若，写出与相等的理由． 60．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，点和点在直线的同侧，，，，，连接，求的度数． 由特殊到一般是解决数学问题的重要方法．李老师给出了用特殊法解决问题的过程和思路：即当，时（如图1），利用轴对称知识，以为对称轴构造的轴对称图形，连接（如图2），然后利用，以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题． (1)请结合李老师给出的过程和思路，求出这种特殊情况下的度数； (2)请仿照（1）中研究特殊问题的启发，解决以上问题． 61．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 题型十七 用勾股定理解三角形（共5小题） 62．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 63．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在和中，，，，连接、交于点O，与交于点M，与交于点N． (1)试判断、之间的关系，并说明理由； (2)连接、，若，求的值． 64．（24-25七年级下·山东济南·期末）古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 65．（20-21七年级上·山东烟台·期末）如图，已知直线y＝﹣分别与x，y轴交于点A和B． （1）求点A，B的坐标； （2）求原点O到直线AB的距离． 66．（24-25七年级上·山东淄博·期末）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： (1)如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，是边上的高，求的值； (3)如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 题型十八 判定三边能否构成直角三角形（共4小题） 67．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 68．（24-25七年级上·山东淄博·期末）（1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 69．（23-24七年级上·山东淄博·期末）（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标； （2）若M是x轴上一动点，求的最小值； （3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由． 70．（19-20八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，点P是等边内的一点，分别连接，以为边作，且连接． (1)判断与之间的大小关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 题型十九 勾股定理与实际问题（共5小题） 71．（23-24七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 72．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 73．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 74．（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 75．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 76．（21-22八年级上·重庆万州·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 题型二十最短路径问题（共4小题） 77．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）    78．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 79．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 80．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中真题百练通关（80题20大常考题型） 题型一三角形的三边关系 题型十一全等三角形与实际问题 题型二等面积法求线段长 题型十二画图问题 题型三三角形高、中线、角平分线综合 题型十三垂直平分线判定与性质综合 题型四三角形内角与外角综合 题型十四角平分线判定与性质综合 题型五折叠问题-角度计算 题型十五等腰三角形性质与判定综合 题型六折叠问题-线段长计算 题型十六等边三角形性质与判定综合 题型七添加条件使两个三角形全等 题型十七用勾股定理解三角形 题型八选择合适的方法证明两个三角形全等 题型十八判定三边能否构成直角三角形 题型九利用全等三角形的性质求解 题型十九勾股定理与实际问题 题型十全等三角形性质与判定综合 题型二十 最短路径问题 题型一 三角形的三边关系（共4小题） 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 【答案】(1)是等边三角形； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等边三角形的判定，非负数的性质，熟知三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a，b，c满足， ∴，， ∴，， 解得， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴，即， ∵三角形的周长为偶数， ∴c是奇数， ∴； （3）解：由三边关系得， ，，， ∴原式 ． 2．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，为边上的中线．    (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可； （2）直接利用证明即可； （3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论； （4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）证明：如图，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． （3）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （4）在中， ， 由（3）得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键． 3．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）延长交于，由三角形三边关系定理得，，即可证明； （2）由三角形三边关系定理得，因此，得到． 【详解】（1）证明：延长交于， 由三角形三边关系定理得：，， ∴， ∴； （2）由三角形三边关系定理得：， 由（1）知， ∴， ，，， ∴． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，设第三根木棒的长为x，根据三角形的三边关系，得到，再根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为x， ∵两根木棒的长分别是m和， ∴， ∴． ∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务， ∴， ∴． 题型二 等面积法求线段长（共4小题） 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∵的面积是， ∴， 解得； （2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∴， 故． 6．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 7．（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③ 【分析】本题考查等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是用特殊化策略，借面积法、构造全等转化线段关系． （1）利用等边三角形“三线合一”，结合勾股定理求$AC$边上高，因与重合时，故值为该高． （2）连接，将面积拆分为与面积和，依据，通过面积公式化简证得 ． （3）①连接、、，把面积拆为三个小三角形面积和，结合等边三角形高公式，推出等于高 ．②连接，将与面积作差等于面积，利用等边三角形边长与高的关系，得到的数量关系 ． ③延长构造，连接，证，再证为等边三角形，从而得出 ． 【详解】（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高， 是等边三角形，，则． 过作于，则为中点（等边三角形三线合一），． 在中， ，即． 把，代入可得： ， 此时，， 所以． 故答案为． （2）作交于点，连接， ， ， ， ， ； （3）①连接、、，作 将分割为、、， ∴． 过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F． ∴，，， ∴．．． ． 因为是等边三角形， 所以． 将上述面积关系代入可得： ． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， 可得． 所以． 故答案为：； ②连接 将图形分割为和， ∴． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积． ∵是等边三角形， ∴． 将上述面积关系代入可得： 得． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， ∴， ， ∴； 故答案为：； ③延长至，使，连接． ∵是等边三角形， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴． 8．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． (1)深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【详解】（1），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型三 三角形高、中线、角平分线综合（共4小题） 9．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（   ） ①；②的周长的周长；③；④； A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的角平分线，中线，高．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据勾股定理可判断①；根据的周长的周长为，可判断②；利用面解法求出的长可判断③；根据余角和对顶角的性质可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵是中线， ∴， ∴的周长的周长，故②正确，符合要求； ③∵， ∴，\ ∴，故③正确，符合题意； ④∵是高，是角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意． 故选A． 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，是的高， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴，即：；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 11．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，，，， (1)的长 (2)的度数． (3)的度数． (4)是多少？ 【答案】(1)6 (2) (3) (4)3 【分析】本题考查三角形的中线，角平分线，和高线，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关定义和性质，是解题的关键： （1）根据含30度角的直角三角形的性质，求解即可； （2）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数； （3）根据三角形的外角结合三角形的内角和定理进行求解即可； （4）直接利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵，， ∴； （2）∵在中，是角平分线，，， ∴， ∴； （3）由（1）（2）知：，， ∴， ∴； （4）∵在中，是中线，是高，， ∴， ∴． 12．（22-23七年级下·江苏镇江·期中）【数学经验】 三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点______； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高（不写画法，保留作图痕迹）； ③如图3，利用格点和无刻度的直尺完成作图：作出的高（不写画法，保留作图痕迹，有效的格点加黑加粗）． 【综合应用】 （2）如图4，在中，、、是三条角平分线，它们相交于点O，过点O作于点G． ①若，则______°． ②写出图中所有与互补的角：______． 【拓展延伸】 （3）我们也知道，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．如图5，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形的面积为______（用含S的代数式表示），其存在最大值，这个值为______．    【答案】（1）①A；②见解析；③见解析；（2）①；②，；（3），8． 【分析】（1）①根据高的定义解答即可； ②延长，相交于点G，连接交的延长线于点F； ③取格点G，连接交于点H； （2）①根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和可求出，进而可求出的度数； ②先证明，然后再找与互补的角； （3）连接，证明，进而可求出；作于点H，根据垂线段最短当时，求出S的最大值，进而可求出四边形的面积最大值． 【详解】（1）①有图可知，的三条高所在直线交于点A． 故答案为：A； ②如图所示，线段即为所求的第三条高；    ③如图所示，线段即为所求；    （2）①∵、是三条角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：； ②∵、、是三条角平分线，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）如图，连接， ∵点D、E是BC、AC边上的中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴．    如图，作于点H， ，， ∴当时，S取得最大值， ， ∴四边形的面积最大值为． 故答案为：，8．    【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中线，角平分线，高线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 题型四 三角形内角与外角综合（共4小题） 13．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线， ． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方法分别求的度数和的度数． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得出结论； （2）同（1）的过程找出和的度数，二者相加即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且， ， 又是的平分线， ． ， ∴， ， ． （2）解：．理由如下： ． 平分， ． ， ， 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立．证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角定理，角平分线的有关计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求得，由角平分线得到，根据互余关系求解，再由即可求解； （2）由互余和三角形外角性质得到，，再由三角形内角和定理得到，然后代入化简即可； （3）同（2）解题思路即可求解． 【详解】（1）解：由题意得． 又是的角平分线， ． 又是的高， ． ． （2）证明：∵ ， ∵， 又， ． （3）解：成立，理由如下． 证明：同理，，， 又， ． 即． 15．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内． (1)若，则______度，______度； (2)如图2，连接，若，试说明平分； (3)请判断点P是否满足平分且平分，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)不能满足平分且平分 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为是解题关键． （1）连接并延长到点G，利用三角形内角和定理，三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）连接并延长交点G，根据结论（1），结合角的平分线定义解答即可． （3）根据平分且平分，则，故，故，不满足三角形内角和定理，解答即可． 【详解】（1）连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，， ∴，， 故答案为：140,50． （2）解：连接并延长交点G， 根据题意，得， ∵， ∴． ∵，, ∴， ∴， ∴， 故平分． （3）解：不能满足平分且平分． 若平分且平分， 则， 故， 故， 不满足三角形内角和定理， 故不能满足平分且平分． 16．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 【答案】（1）①，；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． （1）①由平行线的性质和平角的定义进行解答即可；②由平行线的性质和平角的定义进行解答即可； （2）过点C作直线，则，根据平角的定义即可证明结论； （3）延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出． 【详解】（1）解：①解：∵，，， ∴， ∴ ②∵， ∴， ∴ 故答案为： （2）证明：如图，过点C作直线， ∴， ∴ （3）解：延长分别交于点H，Q，如图， ∵，， ∴ 过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴， 题型五 折叠问题-角度计算（共3小题） 17．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______． (2)若如图2所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点在外部，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等： （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到． (1)如图1，当点P落在上时，求的度数； (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角． （1）根据折叠的性质证明，结合，得，从而计算； （2）根据折叠和垂直得到，利用三角形内角和求出，从而求出． 【详解】（1）由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 由折叠得 ， ∴ ， 在中 ， ∴ ， 在中 ， ∴ ． 19．（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处． (1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由． (2)当∠A′EB′=∠B′EB时，设∠A′EB′=x． ①试用含x的代数式表示∠FEG的度数． ②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+；当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−；②EB′可能平分∠FEG，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=108°； 当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=()°． 【分析】（1）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （2）①分当点B′落在∠A′EG内部和点B′落在∠A′EF内部时两种情况讨论求解即可； ②分点B′落在∠A′EG内部和点B′落在∠A′EF内部时两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∠FEG=90°． 由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG． 又∵∠AEF+∠A′EF+∠BEG+∠B′EG=180°， ∴∠A′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°； （2）解：由折叠可知∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG． ①（i）如图，当点B′落在∠A′EG内部时， ∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB， ∴∠B′EB=3x． ∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB+∠A′EB′)=180°−4x， ∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90°−2x， ∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°+． （ⅱ）如图2，当点B′落在∠A′EF内部时， ∵∠A′EB′=x，∠A′EB′=∠B′EB， ∴∠B′EB=3x， ∴∠AEA′=180°−∠A′EB=180°−(∠B′EB−∠A′EB′)=180°−2x， ∴∠BEG=∠BEB′=，∠AEF=∠AEA′=90°−x． ∴∠FEG=180°−∠BEG−∠AEF=90°−． 综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+； 当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−． ②EB′可能平分∠FEG，理由如下： （i）当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=90°+． ∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG=∠FEG=45°+． 又∵∠B′EG=∠BEB′=， ∴45°+=，解得x=36°． 此时∠FEG=90°+=108°． （ⅱ）当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=90°−． ∵EB′平分∠FEG， ∴∠B′EG=∠FEG=45°−． 又∵∠B′EG=∠BEB′=， ∴45°−=， 解得x=()°． 此时∠FEG=90°−=()°． 综上所述，当点B′落在∠A′EG内部时，∠FEG=108°； 当点B′落在∠A′EF内部时，∠FEG=()°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 题型六 折叠问题-线段长计算（共3小题） 20．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______； (2)求点D的坐标； (3)求点E关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质． （1）根据矩形的性质即可解决问题； （2）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，进而可得点的坐标； （3）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，可得点的坐标，进而求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标、点的坐标和点的坐标； 故答案为：；；； （2）解：由折叠可知：， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴点的坐标； （3）解：在中，，， 根据勾股定理，得 ， ， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点E关于y轴的对称点的坐标为． 21．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得，利用可证； （2）由全等三角形的性质得到，由即可得到，又由折叠的性质可得，，即可得到结论； （3）由长方形的性质得到：，，由折叠性质可得， 设，表示出、、，在中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案． 【详解】（1）解：由长方形性质可得，由折叠性质可得， ∴， 在与中，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，    即， 由折叠的性质可得，    ∴； （3）由长方形的性质得到：，， 由折叠性质可得， ∵， ∴， 设， 则，，， 在中，，即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 22．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 题型七 添加条件使两个三角形全等（共4小题） 23．（22-23七年级上·山东烟台·期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据 ．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意增加条件进行判定即可． 【详解】解：由题意得可以增加的条件为：， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐个判定即可．能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 【详解】解：A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项不符合题意； C．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故此选项符合题意； D．∵， ∴， 即， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项不符合题意． 故选：C． 25．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解： ， ，即， 又 ， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 26．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：， ， ①，又，，由判定，故①符合题意； ②，和分别是和的对角，不能判定，故②不符合题意； ③，又，，由判定，故③符合题意； ④，又，由判定，故④符合题意． 其中能使成立的条件有3个． 故选：B． 题型八 选择合适的方法证明两个三角形全等（共5小题） 27．（25-26七年级上·山东淄博·阶段练习）已知：如图，A、E、B、D在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】见详解 【分析】本题考查平行线的性质定理，全等三角形的判定定理，熟练掌握三角形的判定定理，能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问题的关键． 由，得出，由，得出，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴（）． 28．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 29．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)90，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据已知条件可依据“”判定和全等； （2）由得，根据可得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）； （2）解：当时，，理由如下： 当时，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90． 30．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵和相交于点O， ∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 31．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 利用全等三角形的性质求解（共4小题） 32．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，是网格型问题，本题构建全等三角形是关键． 证明≌，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 33．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 34．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 分两种情况讨论，一是作于点，于点，点在点右侧，点在点右侧，可根据“”证明，得，再根据“HL”证明，则；二是作，交的延长线于点，则点在点左侧，延长到点，使，连接，则，所以，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）如图1，作于点，于点，点在点右侧，点在点右侧， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，作，交的延长线于点，则点在点左侧， 延长到点，使，连接， 垂直平分， ， ， ， 由得:， ， 故选：C． 35．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 题型十 全等三角形性质与判定综合（共4小题） 36．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴ ； （2）∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 37．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 38．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)猜想 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容是解题关键．根据条件证即可求解． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质及角的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， 在与中， ． （2），理由如下： 设交于点O， 由（1）得， ， ， ， ． 39．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十一 全等三角形与实际问题（共4小题） 40．（24-25七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组来到大明湖畔与美丽的花灯合影．如图2，小荷和小柳在花灯围栏旁的点B处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花灯的边缘点A与点B的距离．小荷先沿方向走2.5米至点C，又沿着与垂直的方向走了3米至点D，并放置了一个标记物，接着往前再走相同的距离至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F．此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小荷求出的长． 【答案】的长为米． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，即可求解． 【详解】解：由题意得米，米，米，， 点在同一直线上， 在和中，， ∴， ∴米， ∴米， 答：的长为米． 41．（24-25八年级上·福建南平·期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点，使，，在一直线上，测得大树顶端的视线与居民楼顶端的视线的夹角为90°，且大树和居民楼都垂直于地面．若米，米，请计算出该居民楼的高度． 【答案】该居民楼的高度为52米 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先得出，再证明，得出，求出米，进而可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ， 在和中， ， ， ∴， 又米，米， （米）， ∴米， 答：该居民楼的高度为52米． 42．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小南在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），直角三角板，刻度尺等 测量方案 如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，如图2，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． 测量示意图 图1                    图2 任务： (1)求证：． (2)经测量，得知点B到点D的距离是，细绳的长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查同角的余角，全等三角形的判定和性质： （1）利用同角的余角相等，即可得证； （2）证明，得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴． 由题意，得． 由（1），得． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 43．（23-24七年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【答案】爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键. 【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴ ∵， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的. 题型十二 画图问题（共5小题） 44．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了复杂作图，网格的特点，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用网格的特点． （1）根据网格的特点和全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画图即可； （3）取格点G，连接，交的延长线于点E，连接即为所求； （4）取格点H，I，K，连接，，，和交于点L，连接交于点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线m即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 由网格得，， ∴，即是 的高； （4）解：如图所示，点F即为所求； 由网格得，是等腰直角三角形， 由网格得，点L是的中点 ∴ ∴ ∴． 45．（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，在所给的方格图中，完成下列各题    (1)画出格点关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法． （1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：的面积为：； （3）解：如图所示：连接，交点于点P，即点P为所求．    46．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 47．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握以上基本尺规作图的步骤． 连接，作的垂直平分线和的平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型十三 垂直平分线判定与性质综合（共3小题） 49．（20-21八年级上·全国·单元测试）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角： （1）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，等边对等角求出的度数即可； （2）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 50．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 51．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析. (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四 角平分线判定与性质综合（共4小题） 52．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 53．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知平分，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】考查了角平分线的性质和判定．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；如果一条射线是一个角的平分线， 那么在这条射线上任意取一点，过该点分别向角的两边作垂线，这两条垂线段的长度(即点到两边的距离)相等．欲证平分，可考虑证明点到两边距离相等，故过点作于点，于点，于点，证明即可． 【详解】解：证明：过点作于点，于点，于点， ∵平分， 又∵，， ∴， 同理可证：， ∴ 又∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分． 54．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【详解】（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 55．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 题型十五 等腰三角形性质与判定综合（共3小题） 56．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，分别是，边上的高．点是延长线上一点，且，点是上一点，且，顺次连接，，． (1)如图1，试判断的形状并说明理由； (2)如图2，若为钝角三角形，为钝角，，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，由余角的性质可证，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由余角的性质可证，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ，分别是，边上的高， ， ， ， 又，， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图， ，分别是，边上的高， ， ， ， 又，， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形． 57．（24-25七年级下·上海·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 58．（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且，外一点D满足，BE平分，与交于点F，与交于点M． (1)请说明：； (2)求的度数； (3)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)30° (3)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键． （1）由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明； （2）由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，； （3）由全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ∵平分，， 在和中，， ； （2）∵是等边三角形， ， 在和中，， ， ， ， ， 由（1）得， ； （3）结论：是等腰直角三角形， 证明：由（1）得， ， 由（2）得， ， ， ， 又， ∴是等腰直角三角形． 题型十六 等边三角形性质与判定综合（共3小题） 59．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，，为延长线上一点，．    (1)求的度数； (2)点在上，若，写出与相等的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由为等腰直角三角形得出，由得出，从而得出，再利用即可证明得，然后利用三角形外角的性质即可求解； （2）连接，先证为等边三角形，得出，再证，进一步证，根据即可证明，从而得出． 【详解】（1）解： 为等腰直角三角形， 在与中， ， ， ∴， ∴； （2）解：连接，    ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 60．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，点和点在直线的同侧，，，，，连接，求的度数． 由特殊到一般是解决数学问题的重要方法．李老师给出了用特殊法解决问题的过程和思路：即当，时（如图1），利用轴对称知识，以为对称轴构造的轴对称图形，连接（如图2），然后利用，以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题． (1)请结合李老师给出的过程和思路，求出这种特殊情况下的度数； (2)请仿照（1）中研究特殊问题的启发，解决以上问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，根据题意分情况分析讨论是解题关键． （1）作，，连接，，再由各角之间的关系及全等三角形的判定和性质得出是等边三角形，继续利用全等三角形的判定和性质即可求解； （2）分两种情况分析：第一种情况：当时，第二种情况：当时，同（1）方法类似求解即可． 【详解】（1）解：如图，作，，连接，． ，， ． ， ． ，，， ． ，． ． ，， ． 是等边三角形． ，． ，， ． ． ． ． （2）解：第一种情况：当时， 如图，作，，连接，． ， ． ， ． ． ． 同（1）得． ，，． ． ， ． 同（1）可得． 第二种情况：当时， 如图，作，，连接，． ， ． ， ． ． ． 同（1）得． ，，． ． ， ． ，， ． 是等边三角形． ，． 同（1）得． ． ， ． ． ． 61．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）证即可得证； （2）①同第一问，证证即可得证； ②由(1)得，则，因为，所以要使的周长最小，只要最小，当时，的长最小，此时最小，由“三线合一”即可求出的长； （3）分两种情况：当时和当时，分别作出图形，作于点，利用（1）的结果及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ．，，，， ， ， ． （2）①如图，当点在线段上、点在延长线上、点在延长线上时， 证明方法同第一问： 、都是等边三角形， ，，，， ， ， ． 故答案为：． ②的周长存在最小值，由（1）得， ， ， 要使的周长最小，则最小， ， 当时，的长最小，如图2， ，， ； （3）当点在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，作于点，如图3， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，作于点，如图4， 同理得，， 设， 由（1）得， ， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ， 综上，当点在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理求最短路线问题、勾股定理等知识，灵活运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． 题型十七 用勾股定理解三角形（共5小题） 62．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）由，根据勾股定理得，，，，则； （2）由四边形ABDE和四边形都是正方形，得，，，则，即可证明，得，而，则，即可证明； （3）由（2）得，则，由，，，得，由勾股定理求得，由，，得，由，，得，则，即可求得结论． 【详解】（1）证明： 于点O， ， ，，，， ，， （2）证明：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图3，连接， 由得， ， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理的应用等知识，此题综合性强，难度较大，根据勾股定理证明是解题的关键． 63．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在和中，，，，连接、交于点O，与交于点M，与交于点N． (1)试判断、之间的关系，并说明理由； (2)连接、，若，求的值． 【答案】(1)且 (2)2024 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）利用证明，得，，根据，得，即，即可得； （2）连接，，在中，，则，在中，，则，在中，，则在中，则，即可得，根据即可得． 【详解】（1）解：且，理由如下： ∵， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 且； （2）解：如图所示，连接，， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， ， 即， ， ． 64．（24-25七年级下·山东济南·期末）古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面的距离为（绳子一直是直的） (1)若，，求从定滑轮C到D点的绳长； (2)若的长为，比BC长，求桥面的宽 【答案】(1)定滑轮C到D点拉着的绳长为； (2)桥面的宽长为 【分析】本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理． （1）过点D作于F，在中，根据勾股定理即可求出； （2）先表示出的长，在中，根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽 【详解】（1）过点D作于F， 由题意知：， ， ， 由题意可知：四边形是长方形， ， ， 在中， ， 定滑轮C到D点拉着的绳长为； （2）由（1）知， ， 比长， ， 在中， ， ， ， 桥面的宽长为 65．（20-21七年级上·山东烟台·期末）如图，已知直线y＝﹣分别与x，y轴交于点A和B． （1）求点A，B的坐标； （2）求原点O到直线AB的距离． 【答案】（1）点A的坐标为（4，0）；点B的坐标为（0，3）；（2） 【分析】（1）代入x=0，求出y值，由此可得出点B的坐标；代入y=0，求出x值，由此可求出点A的坐标； （2）根据点A、B的坐标可得出OA、OB的长度，利用勾股定理可求出AB的长度，再利用面积法可求出原点O到直线AB的距离． 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3， 所以点B的坐标为（0，3）； 当y＝0时，﹣x+3＝0， 解得x＝4， 所以点A的坐标为（4，0）． （2）设原点O到直线AB的距离为h， 因为点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）， 所以OA＝4，OB＝3． 所以AB＝＝5． 因为 所以原点O到直线AB的距离h＝． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理 及三角形的面积，解题的关键是：（1）分别代入x=0、y=0，求出与之对应的y、x值；（2）利用面法O到直线AB的距离． 66．（24-25七年级上·山东淄博·期末）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： (1)如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，是边上的高，求的值； (3)如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴： （1）勾股定理求出的长，设边上的高为，等积法求出即可； （2）设，则，利用双求法，列出方程进行求解即可； （3）连接，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得，， 设边上的高为， ， ， ， ； （2）设，则， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ，解得，， ； （3）如图所示，连接， 四边形是长方形， ， 在中，， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ， 数轴上点表示的数是， 点表示的数为． 题型十八 判定三边能否构成直角三角形（共4小题） 67．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：边的垂直平分线为， ∴， ， 在中，， ； （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 68．（24-25七年级上·山东淄博·期末）（1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】（1）16；（2）见解析 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，进而求出的值； （2）根据非负性求出的值，绝对值的意义，求出的值，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）是的算术平方根，的立方根为， ， ， ． （2）， ， ， ， 或3， 当时，，则是直角三角形，周长为12， 当时，，则是等腰三角形，周长为10． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，非负性，勾股定理逆定理，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 69．（23-24七年级上·山东淄博·期末）（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标； （2）若M是x轴上一动点，求的最小值； （3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查两点间的距离公式：若平面内两点，则；两点所连线段的中点坐标公式：以任意两点为端点的线段中点坐标为；以及将军饮马问题． （1）直接利用两点间的距离公式和两点所连线段的中点坐标公式计算； （2）根据将军饮马问题的解决方法即可； （3）先根据两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】解： ， 中点C的坐标为：即； 解：设， ， 作点关于轴对称点， ， 连接，则， ； 解：，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 70．（19-20八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，点P是等边内的一点，分别连接，以为边作，且连接． (1)判断与之间的大小关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理． （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，勾股定理逆定理求出，进一步求出的度数即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，且， ∴为等边三角形， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 题型十九 勾股定理与实际问题（共5小题） 71．（23-24七年级下·山东济南·期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 72．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 73．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 【答案】（1）；（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是．理由见解析；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可； （2）首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）在中，， ， 答：这架云梯顶端距地面的距离有； （2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是， 由（1）可知， ． 在中，， ， ； （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ， ， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 74．（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 75．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 76．（21-22八年级上·重庆万州·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 题型二十最短路径问题（共4小题） 77．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）    【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，将纸杯侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：将纸杯沿侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离，如图所示：   ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故蚂蚁从外壁到内壁处的最短距离为． 78．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 79．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 80．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $