2.2 简单的轴对称图形（第3课时）（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

2.2 简单的轴对称图形 第3课时 第二章 轴对称 鲁教版五四制2024·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握等腰三角形的性质 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质，能初步运用其解决有关问题 探索等边三角形的轴对称性及其性质 情境引入 等腰三角形是比较常见的图形，它有什么特征？ 等腰三角形 A B C 底边 腰 腰 底角 (1)相等的两条边——腰; (2)另一边——底边; (3)两腰的夹角∠A——顶角; (4)腰与底边夹角∠B、∠C——底角. 有两条边相等的三角形——等腰三角形。 顶角 新知探究 你有哪些办法可以得到等腰三角形？试一试，说出你的方法并解释其中的原理.（方法不唯一） 新知探究 相等的线段 相等的角 4 AB＝AC ∠B ＝ ∠C BD＝CD ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∠ADB＝∠ADC A B D C （1）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？ 新知探究 解：（1）等腰三角形是轴对称图形 如图，将等腰三角形沿过顶点的直线折叠，使得两底角重合，折痕所在的直线即为等腰三角形的对称轴 4 A B D C （2）等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？你是如何描述的？ 新知探究 解：（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线 （答案不唯一，还可以怎么描述？） （3）你认为等腰三角形有哪些特征？与同伴进行交流 解：（3）等腰三角形的两个底角相等。 （答案不唯一） 等腰三角形的性质： 新知生成 符号语言 在△ABC中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C （等边对等角） 1、等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴. 2、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 等腰三角形的性质： 新知生成 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (等腰三角形三线合一) 如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ∴BD = ， ⊥ ； (等腰、顶角平分→中线、高) ②∵ AB=AC ，BD=CD ∴∠BAD= ， ；(等腰、中线→顶角平分、高) ③∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAD= ，BD= 。(等腰、高→顶角平分、中线) CD AD BC CD ∠CAD AD⊥BC ∠CAD A B D C 2 1 新知生成 符号语言 例:已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数. 典例分析 解：设顶角为x度，则底角为2x度， 则：x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， 2x＝2×36＝72 所以这个三角形三个内角的度数分别为36°，72°，72°． 1、等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　） A．80°或40° B．65°或50° C．80°或65° D．80°或50° 课堂练习 解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°； 当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65度． B 方法技巧 等腰三角形中求角度的方法： 1、先明确已知角是底角还是顶角，再根据等腰三角形的两个底角相等，求另外两个角； 2、若未指明则需分类讨论，注意若已知角是直角或钝角，则该角只能是顶角。 分类讨论 新知探究 A B D C 如图所示，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴，请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应边、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角以及形状、大小完全相同的图形？ 相等的线段有：AB=AC，BD=CD； 相等的角有：∠B ＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC 形状大小完全相同的图形为△BAD和△CAD 4 A B C （1）等边三角形有几条对称轴？ 新知探究 解：（1）等边三角形有3条对称轴 （2）你能发现它的哪些特征？与同伴进行交流 解：（2）等边三角形是轴对称图形， 三个内角都为60°， 三条边都相等。 等边三角形的性质： 新知生成 方法技巧 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有的性质 1、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 2、等边三角形每条边都相等，每个角都相等，都等于60° 3、等边三角形，每条边上的中线、高、该边所对角的平分线重合（“三线合一”） 等腰三角形的性质应用 题型一 题型探究 B 【例1】一个等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则它的周长是（　　） A．16cm B．20cm C．16cm或20cm D．无法确定 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形腰长为4cm时，底边长为8cm时， ∵4+4＝8， ∴不符合三角形三边关系，故舍去； 当等腰三角形的腰长为8cm，底边长为4cm时， ∵4+8＝12＞8， ∴符合三边关系，其周长为8+8+4＝20cm． 综上所述：故该三角形的周长为20cm． 题型探究 D 【例2】已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【解答】解：①若40°是顶角，则底角 ②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°． 等腰三角形的性质应用 题型一 题型探究 解题感悟 例1中已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 例2中也需要分类讨论，①若40°是顶角；②若40°是底角，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可求度数． 等腰三角形的性质应用 题型一 题型探究 等腰三角形“三线合一”性质的应用 题型二 B 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BC＝8，则BD＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD⊥BC，垂足为D，BC＝8， ∴BD=BC＝4． 题型探究 【例4】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　） 等腰三角形“三线合一”性质的应用 题型二 A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC， ∴= 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明∠BAC＝∠ABC，故选项B错误，符合题意． B 题型探究 解题感悟 例3主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）是解决问题的关键． 例4主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 等腰三角形“三线合一”性质的应用 题型二 题型探究 等腰三角形和等边三角形的综合应用 题型三 【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠BAD． 题型探究 等腰三角形和等边三角形的综合应用 题型三 【例6】如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，点E在AC上，且AE＝AD，求∠EDC． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 题型探究 解题感悟 例5考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 例6考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，注意等腰三角形三线合一的性质． 等腰三角形和等边三角形的综合应用 题型三 1.如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定 B 分腰为9cm和4cm两种情况讨论 2.下列说法错误的是（　　） A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍 A 课堂达标 3.如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，整架身，使点A恰好在重锤线上，试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？ 解：这时BC处于水平位置． ∵D是BC的中点， ∴BD=DC， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC（三线合一）． ∵重垂线与地平线垂直， ∴BC处于水平位置。 课堂达标 一线三等角模型 能力提升 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，∠B＝70°，BD＝CF． 求：∠EDF的度数． 【解答】解：∵BD＝CF，BE＝CD，∠B＝∠C＝70°， ∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE＝∠CFD， ∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF） ＝180°﹣（∠CFD+∠CDF） ＝180°﹣（180°﹣∠C） ＝70°， ∴∠EDF＝70°． 等腰三角形 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 轴对称图形，一条对称轴. 两个底角相等，简称“等边对等角” 轴对称图形，三条对称轴 顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合 一” 课堂小结 简单的轴对称图形 等边三角形的各角都相等，都等于60° 等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴 感谢聆听! $