第1章 二次函数 章末对点导练-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

章末对点导练 1.B【解析】：y=(a+1)x+1-x+3是关于x的二 次函数∴1a+3|=2,且a+1≠0，解得a=-5. 2.0【解析】由题意，得k2-3k十2=2，且k一3≠0，解得 k=0. 3.②4.B 5.B【解析】①由抛物线开口向上知a>0:由抛物线与 y轴的负半轴相交知c<0:由对称轴在y轴的左侧知 b>0. ac<0,故①错误； ②：对称轴为直线x=一1， -2a=-1 即b=2a, .b-2a=0,故②错误： ③由抛物线的性质可知，当x=一1时，y有最小值， 即a一b+c<am+bm+c(m≠一1)，故③正确： ④因为抛物线的对称轴为直线x=一1，且与x轴的一 个交点的横坐标为1，所以另一个交点的横坐标为 -3.因此方程a.x2+r十c=0的两根分别是-3,1，故 ④正确： ⑤由图象可得，当x=2时，y>0, 即4a+2b+c>0,故⑤正确. 故正确的有③④⑤，共3个. 6.14240 7.解：(1)(-1，-1) (2)△=m2-4(m-2)=(m-2)2+4. (m-2)≥0， .(m-2)2+4>0. 4>0, ,.无论m取任何实数，此函数图象与x轴总有两个 交点. 【解析】(1)y=x+mx+m一2=m(x十1)十x-2. 当x+1=0时.即x=一1， 此时，y=一1， ∴无论m取什么值，此函数图象都会经过定点（一1， -1). 8.y=(x-2)2-29.y=-2x2+4x+6 10.解：(1)：直线y=x一3交x轴于点B,交y轴于 点A, .B(3,0),A(0,-3). 将B(3,0).A(0,-3)代入y=ax+4x+c 得9a+12+c=0 1c=-3, 解得/一1， 1c=-3. ∴.抛物线的表达式为y=一x十4x一3. :y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, ∴.C(2.1) (2)将抛物线y=ax2+z十c向下平移m个单位长 九年级数学XJ版 度得到y=一(x一2)产+1一m,∴.平移后的抛物线的 顶点为(2,1-m).把x=2代入y=x-3,得y= -1 ∴直线AB与对称轴的交点为(2，-1) :S6m=2,zX31-m+1川=2 m的值为号或号 11.11.25【解析】如图，以水面所在的直线为x轴，以跳 台支柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并绘 制函数图象 跳台A 一3m→ C水面 可能 地边 由题意，得A(3,10),C(5,0),对称轴为直线x=3.5. 设抛物线的表达式为y=a(x一3.5)2十k, 10=0.25a+k, l0=2.25a+k, a=-5, 解得 k=11.25, .y=-5(x-3.5)*+11.25, ∴B(3.5,11.25),即点B距离水面11.25m. 12解：1：点A(3,2)是抛物线y=-产+6：上的 一点， 把点A(3.)代人y=-+征中，得-3+36 2 = 7 解得6=2： :抛物线的表达式为y=一x+. 7 (2)由(1)得y=-x2+ =-(-+铝 7 ∴地物线最高点的坐标为？，碧)。 (3)如图，过点A,B分别作x轴的 yt 垂线，垂足分别是E,D. :∠BOD=∠AOE,∠BDO= ∠AE0=90°， ∴.△OBD∽△OAE. ÷器-是-器 又点B是0A的三等分点，8识-号 A(32): 3 AE=2,0E=3, 罡-贺-部得即= 罡-8贺-号懈得0D=1 ∴.点C的横坐标为1， 将=1代人y=-产+号，得y=-1+号X1 “点C的坐标为(1,2） 51 CB=CD-BD=2-2=2, 故这棵树的高度为2， 13.C【解析】观察图象知a>0,b<0,c<0,故ar>0, 故A选项错误： 由图象可知抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交点的 横坐标在一1和0之间. 根据对称性可知对称轴所在直线清足<一品 a>0.∴.-b<2a. 即2a+b>0,故B选项错误； 由对称轴的范围可知b<一a,即b十a<0, 故4h+4a<0.① 把点(2,0)代入抛物线中， 得4a+2b+c=0.故4a=-2b-c. 代入①中，可得4h-2b-c<0, 即2b一c<0,故C选项正确： 当x=一1时，可知y>0,即a一b+c>0,故D选项 错误. 14.D【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴 交于正半轴 .a<0,c>0 对称轴为直线x=一2。=2 ∴.b=-4a>0. ∴.>0,4a十b=0,故选项A,B说法正确，但不符合 题意： ax+a,=ax+bx:且x1≠xx ∴a.xi+a1+c=axi+bx:十c, ∴x=x1和x=x:关于直线x=2对称， x,十x:=4,故选项C说法正确，但不符合题意： ,抛物线的开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小 若(-1，y),(3,y:)两点都在抛物线y=ax+x十c 的图象上 |-1-21>|3-21, ∴y,<y:,故选项D说法错误，且符合题意. 15.解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(6,8) 设抛物线的表达式为y=a(x-6)+8(a≠0). 把(0,0)代人，得a(0-6)2+8=0, 解得a=- 2 2 ∴抛物线的表达式为y=一 (x-6)+8(0≤x≤ 9 12). (2)能安全通过.理由如下： 如图， 图 -1 122 由题意，得xA= 22-3=2. 2 将x=2代入y=-9(x-6)+8, 则=-号x2-6+8=9 9-a.5=0>0.5 17 能安全通过. 16.解：(1)，二次函数y=x2+2(a+1)x+3a-2a+3 中，1>0， 二次函数的图象开口向上 :二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， “.函数的最小值小于2a 43a3-2a+3)-4a+1 -=2a2-4a+2, 4 即2a2-4a+2<2a, 1 解得a>2 (2):二次函数的图象与x轴有交点， ∴.4=4(a+1)°-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+ 16a-8=-8(a-1)2≥0， .8(a-1)2≤0. 又8(a-1)≥0. .8(a-1)2=0, 解得a=l. (3)证明：当x=0时y=3a-2a+3=3(a-)'+ 8>0. 二次函数的图象不经过原点。 下田参考答案 13个章未对 色单元考点整合 考点①二次函数的概念 1.若y=(a十1)x+-x十3是关于x的二 次函数，则a的值为 A.1 B.-5 C.-1 D.-5或-1 2.如果函数y=(k一3).x-+2十kx十1是二 次函数，那么k的值是 3.已知函数：①y=2.x一1：②y=-2x2-1; ③y=3.x3-2.x2:④y=2(x+3)2-2x2;⑤y =ax2+hx十c:⑥y=x2+1+5.其中是二 次函数的是 (填序号) 考点②二次函数的图象与性质 4.(2025赣州南康区模拟)二次函数y=(x一 k)”的图象与一次函数y=k.x(k>0)的图象 在同一坐标系中的大致位置是 5.(2025常德三模)已知二次函 数y=ax2+bx+c(a≠1)的 图象如图所示，以下结论： 0 ①abc>0:②b+2a=0:③a 第5题图 b+c<am2+bm+c(m≠- 1):④方程ax2+bx+c=0两根分别为一3,1： ⑤4a+2b十c>0.其中正确的有 () A.2个B.3个 C.4个D.5个 点导练 6.跨生物学学科生物学研究表明，在一定的 温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐 增强：在最适温度时，酶的活性最强：超过一 定温度范围，酶的活性又随温度的升高逐渐 减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活 性值y(单位：U)与温度x(单位：℃)的关系 可以近似用二次函数y=一 x2+14红+ 1 142来表示，则当温度为 ℃时，该 种酶的活性值最大，为 U. 7.已知关于x的二次函数y=x2十m.x十m一2. (1)此函数图象经过的定点为 (2)求证：无论m取任何实数，此函数图象与 x轴总有两个交点. 考点③ 用待定系数法确定二次函数的表 达式 8.在平面直角坐标系中，已知一条抛物线经过 (1,一1)，其对称轴为直线x=2,且其顶点在 直线y=一2x+2上，则该抛物线的表达式 为 9.已知抛物线y=一2x2十bx十c与x轴两交 点为（一1,0），(3,0)，则抛物线的函数表达 式为 10.如下图，直线y=x一3交x轴于点B,交y 轴于点A,抛物线y=ax2+4x十c经过点 A,B,顶点为C 下册第1章 (1)求抛物线的表达式及点C的坐标 (2)将抛物线y=ax2+4.x十c向下平移m 个单位长度，点C的对应点为D,连接 AD,BD.若S△ABD=2,求m的值， 考点④二次函数的实际应用 11.(教材变式)某跳水运动 台 B 员（看成一点）从起跳至 -3m 人水的运动轨迹可以看 作是抛物线的一部分.如 图，该运动员的起跳点A C水面 距离水面10m,运动过程 池边 中的最高点B到池边的 第11题图 水平距离为2.5m,入水点C距离池边 4m.根据上述信息，可推断出点B距离水 面 m. 12.(2025赣州章贡区模拟)在下图所示的平面 直角坐标系中，有一斜坡OA,从点O处抛 出一个小球，落到点A(3,)处.小球在空 中所经过的路线是抛物线y=一x2十bx的 一部分 (1)求抛物线的表达式 428 九年级数学XJ版 (2)求抛物线最高点的坐标. (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的 三等分点，小球恰好越过树的顶端C,求这 棵树的高度 @中考真题演练 13.(2025安徽)已知二次函数y=a.x2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，则 () A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 /2 02 第13题图 第14题图 14.(2025凉山，有改动)二次函数y=ax2十b.x 十c的部分图象如图所示，其对称轴为直线 x=2,且图象经过点(6,0)，则下列结论错 误的是 A.bc0 B.4a+b=0 C.若ax十b.x1=ax十bx2且x1≠x2,则 x1十x2=4 D.若（一1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y =a.x2+bx十c的图象上，则y2<y1 15.(2025新疆)天山胜利隧道预计于2025年建 成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧 道，能大大提升区域交通效率，促进经济发 展.下图是隧道截面图，其轮廓可近似看作 是抛物线的一部分.若隧道底部宽12m,高 8m,按照如图所示的方式建立平面直角坐 标系 (1)求抛物线的函数表达式. (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶 部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5m.当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿 中心线两侧行驶，且两车至少间隔2m(中心 线宽度不计).若宽3m,高3.5m的两辆车 并排行驶，能否安全通过？请说明理由. 16.(2025连云港)已知二次函数y=x2十2(a +1)x+3a2一2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有 两个交点，求a的取值范围. (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求 a的值。 (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. 下册第1章 29△