第1章 单元整合训练 二次函数与几何图形的综合问题(跨单元)-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

单元整合训练 二次函数与几何图形的综合问题（跨单元） 题型① 二次函数与线段的最值问题 1.(2025岳阳平江期中)如图，已知在以O为 原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A (一1，一4)，且经过点B(一2，一3)，与x轴 分别交于C,D两点 图① 图2 (1)该抛物线的表达式为 题型② 二次函数与三角形的综合 (2)如图①，M是抛物线上的一个动点，且在 2.一题多设问如图①，抛物线 直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与 直线OB交于点N,求MN的最大值. y=-x2+2.x十3与x轴交 于A,B两点，与y轴交于点 (3)如图②，过点A的直线交x轴于点E,且 C,连接BC. AE小y轴，点P是抛物线上A,D之间的 图① (1)求点坐标：点A的坐标为 个动点，直线PC,PD与AE分别交于F,G 两点.当点P运动时，EF十EG是否为定值？ ,点B的坐标为 ,点C 若是，试求出该定值：若不是，请说明理由。 的坐标为 ,抛物线的顶点坐标为 (2)求直线表达式：抛物线的对称轴是直线 ,BC所在直线的表达式是 (3)用代数式表示：点P为第一象限内抛物 线上一点，过点P作直线PQ⊥x轴于点D 交BC于点Q.若点P的横坐标为a,请用含 a的代数式表示： ①点坐标：P Q ,D ②长度：PD= DQ= .PQ= 点P到对称轴的距离为 点 C到直线PQ的距离为 下册第1罩 (4)如图②，过点A的直线 题型③ 二次函数与四边形的综合 l:y=一x一1与抛物线的 4.(2025岳阳二模节选)如图①，在平面直角坐 另一个交点为E,点M为 标系中，已知二次函数y=a.x2一4.x十c(a≠ 抛物线对称轴上一点，连接 0)的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y AM,EM.设点M的纵坐标 轴交于点C(0,3). 为m,当AM=EM时，求 图② m的值. B 图① 图② (1)求此抛物线的表达式. (2)如图②，在抛物线的对称轴上是否存在 3.(2025衡阳衡山三模)如图，二次函数y= 点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存 一x2一2x十3的图象与x轴交于A,B两点 在，求出四边形PAOC周长的最小值及点P (点B在点A的右边)，与y轴交于点C. 的坐标：若不存在，请说明理由. 备用图 (1)求A,B,C三点的坐标 (2)若M是抛物线对称轴上的一点，是否存 在点M,使△MAC是以AC为底的等腰三 角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由。 (3)连接BC,若P是线段AC上的任意一 点，且以P,A,O三点为顶点的三角形与 △ABC相似，请直接写出点P的坐标. 金22 九年级数学版1 的表达式为y=乞(x+1)-2.“当x=一3时y=0, 当x=3时，y=6,.当-3≤x<3时，函数值y的取 值范围是一2≤y<6. 6解：若x=一时y4=3,则-2-1 =3 2a 4a 解得0，=a:=一分此时=-2.又：-号<<， a=-号不合题意：若x=2时：y大=3，则4如十 2(2a-1D+1=3,a=子，此时抛物线开日向上，对 称轴为直线x=0,离对称轴的距离越远，值越大，∴@ =子符合题意：若：=-2时y大=3，则。 (-2)》'+(2a-10×(-2)+1=3:解得a=- 2 经检验符合题意，综上，实数口的值为了或-号 单元整合训练二次函数与几何图形的 综合问题（跨单元） 1.解：(1)y=x2+2x-3 (2)设直线OB的表达式为y=x.将B(一2，一3)代 人，得-2k=一3， 解得长= 3 “直线OB的表达式为y=乞2 设M(b,b2+2b-3),MN=s, 则点N的横坐标为6一5，纵坐标为子6-》。 3 由MN∥x轴，得6+2b-3=2(b-) 解得=--+2=-+广+号 当6=一时MN有最大值最大值为 49 (3)EF+EG是定值. 如图，过点P作PQ∥y轴，交x轴 于点Q. 在y=x2+2x-3中，令y=0,解 得x1=-3,x:=1∴.C(-3,0) D(1.0) 设P(t,1+21-3),则PQ=-t2 -21+3,CQ=1+3,DQ=1-1. :PQ∥EF,∴.△CEF∽△CQP EF CE Q示 8r器PQ,名3P-2u+D 同理，△EGD∽△QPD, 器-贤 :.EG=DQ 2(-4-21+3), ,PQ= ..EF+EG=- --2+3)+名(--2+ 2 4 3)=2(--21+3)--24+3=8, 故EF+EG是定值，为8. 【解析】(1)根据抛物线的顶点为A(一1，一4)，设抛物 线的表达式为y=a(x十1)一4. ,抛物线经过点B(一2，一3)， .a(-2+1)2-4=-3, 解得a=1, 该抛物线的表达式为y=(x+1)一4，即y=x+ 2x-3. 2.解：(1)(-1,0)(3,0)(0,3)(1.4) (2)x=1y=-x+3 (3)①(a,-a2+2a+3)(a,-a+3)(a,0) ②-a2+2a+3-a+3-a*+3ala-1la (4):抛物线对称轴为直线x=1, ∴.M(1,m). 令-x2+2x+3=-x-1, 解得x,=一1（舍去），x:=4. 将x=4代人y=-x-1,得y=-4-1=-5. .E(4,-5). 由AM=EM,得22+m2=(4-1)2+(m+5),解得 m=-3. ∴当AM=EM时，m的值为-3. 3.解：(1)令x=0,得y=3, .C(0,3). 令y=0,得-x2-2x+3=0, 解得x1=一3，x:=1, ∴A(-3,0),B(1.0 (2)存在. 抛物线y=一x2一2x+3的对称轴为直线x= -2 -2x2元=-1 设M(-1,m). ,M,A,C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰 三角形， ∴.MA=MC. A(-3.0),C(0,3), .√-1+3》+(m-0)=√(-1-0)+(m-3), 解得m=1, ∴.M(-1.10. （3)点P的坐标为(-1,2或(-是) 【解析】(3)A(-3,0),B(1,0), ∴.OA=3,AB=4. 下册参考答案 又OA=0C. .∠CAB=45°，AC=3V2, 指-9 设AP的长为x. 若△PAO∽△BAC,过点P作PE⊥x轴于点E, 图①. 0-福PA=2E .AE=PA·cos∠CAB=2, PE=PA·sin∠CAB=2. 2-3=-1. 点P的坐标为（一1,2） 图① 若△PAOk∽△CAB,如图② .AP_AC AO-ABPA= 4 同理可得PA·cos∠CAB=?, PA·in∠CAB=T -3=- ÷点P的坐标为(-是）) 综上所述点P的坐标为(-1.2》或-子》 4.解：(1)y=ax2-4x+c(a≠0)的图象过点A(1 和C(0,3), -4+c=0. 解得 a=1. lc=3, c=3, ∴.此抛物线的表达式为y=x2-4x十3. (2)存在.y=x-4x+3=(x-2)2-1, ∴.抛物线的对称轴为直线x=2. A(1,0). ∴.B(3,0). 连接PB,如图。 由函数的对称性质可知PA=PB, ∴.四边形PAOC的周长=OA+ OC+PC +PA=0A+OC+PC +PB. 0 当P,C,B三点共线时，PC+PB 有最小值，最小值为BC的长 :BC=√3+3=32， 10 九年级数学X划版 ∴.四边形PAOC周长的最小值为OA+OC+BC=1+ 3+3√2=4+32 设直线BC的表达式为y=kx十3. 将B(3,0)代人，得0=3k+3, 解得k=一1， 如 ∴.直线BC的表达式为y=一x+3, 当x=2时，y=-2+3=1, ∴.点P的坐标为(2.1). 1.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决几何图形 问题及实物抛物线问题 1.B【解析】设一条直角边边长为xcm,直角三角形的 面积为Scm2,则另一条直角边边长为(20一x)cm.由 题意，得S=7(20-)=-7u-10r+0 1 ”-<0,当=10时，5取得最大值：5ak=0 故该直角三角形的最大面积为50cm. 2曾 【解析】设100cm的铁丝分为xcm和(100一 x)cm两部分，两部分的面积之和为Scm2.由题意，得 s=(片)广+(0)-若+a0。- 16 50+空：>0当x=50时，5取得最小值， S=625 2 放它们的面积之和最小为受cm 3.A 4.11 1 【解析】：y=-0x-5)+3.6,令y=0. 1 六-10x-5)+3.6=0, 解得x1=11,x:=一1（不符合题意，含去）. .A(11,0) ∴.0A=11. 5.解：(1)根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x 30)2+10. 把(0,0)代人，得a=一90 0x-302+10. 1 “抛物线的函数表达式为y=一 (2)令y=0.则0=一0-30)*+10.解得1=0x =60, 抛物线与x轴的交点为(0,0)，(60,0)， ∴.小球被抛出60m. 6.C【解析】设垂直于现有墙的墙长为xm,则平行于现 有墙的墙长为28+2一3x=30一3x,.总面积S= x(30-3.x)=-3x°十30x=-3(x-5)2+75.由题意，