精品解析：辽宁省丹东市第一中学等校2025-2026学年高三上学期10月联合考试数学试题

2025-2026学年度上学期高三年级10月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. －2 C. －1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集求参数，再代入检验即可. 【详解】，又因为， 故只能，解得，经验证此时满足题意. 故选：A. 2. 已知定义在上的奇函数满足：时，，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质直接可得. 【详解】由题意可得为定义在上的奇函数，且时，. 故，，故. 故选：D. 3. 设命题，则的真假性与否定形式分别为（ ） A. 假命题， B. 真命题， C. 假命题， D. 真命题， 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数判断单调性就可判断命题的真假性；命题的否定将存在量词改成全称量词，并否定结论即可得到. 【详解】由题意得，设，，则， 当时，，，，在上单调递增， 又，当时，，即，， 不存在，使得，故命题假命题， 根据命题否定形式，将存在量词改成全称量词，并否定结论即可. 故选：. 4. 设甲：，乙：，且，，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，结合函数单调性、对数函数运算及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】由可得， 令，则在上单调递增， 有，则，即， 此时不能推出，故充分性不成立； 当时，，可以推出， 则，即有，故必要性成立； 故甲是乙的必要不充分条件． 故选：B. 5. 设实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用重要不等式及换元法求解即可. 【详解】由重要不等式可知，当时，则，当时等号成立； 且，当时等号成立， 又因为， 所以， 设，则有， 解得，即，当且仅当或时等号成立； 同时， 解得，即，当且仅当或时等号成立； 综上，， 故选：D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性和一次函数单调性得在单调递增，然后利用二次函数单调性列不等式组求解即可. 【详解】当时，， 因为和都在上单调递增，所以在单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 记为数列的前项积，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用累加法求得，再由求解即可. 【详解】由题意， 所以当时，， 累加得当时，， 又当时，也满足，所以， 所以. 故选：C 8. 已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，判断函数单调性及极值，作出函数图象，将方程变形为，结合函数图象，数形结合可得参数范围. 【详解】因， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 注意到时，，，时，大致图象如下， 方程分解为， 由于，故知有三个解，故须使有一个不同的实数解， 由图象知. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系，两角差的正切公式依次判断每个选项的正误即可. 【详解】由题意，，所以，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 因为， 所以，故D 正确. 故选：BD 10. 在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知新定义计算判断A，B，作商计算化简判断C，D. 【详解】对于A选项，，则，由可知，故A正确； 对于B选项，注意到，，故，即，故B正确； 对于C选项，，则，当，，时，，可得，故C错误； 对于D选项，，则，可得，故D正确. 故选:ABD. 11. 若，使得，且当时，，则称为一正移函数．定义符号函数，设，则（ ） A. 是奇函数 B. 是一正移函数 C. 方程有且仅有两解 D. 函数的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性可判断A选项；求导，判断函数单调性与极值情况，再结合一正移函数的定义可判断B选项；根据函数的单调性与取值情况，可判断CD选项. 【详解】A选项：，当时，，此时，， 当时，，此时，， 且时，， 综上所述，即函数为奇函数，A选项正确； B选项：当时，，， 令，解得， 且当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即当时，，当且仅当时取等号； 且满足； 当时，由， 可知对于，当，均存在唯一，使得， 此时， 即当时，恒成立， 综上所述，且当时，， 即函数是一正移函数 C选项：由时，，，此时方程无解； 当时，，，方程无解； 当时，，，方程无解； 当时，单调递增，且，，，所以此时有且只有一个解； 即方程有且只有一个解，C选项错误； D选项：， 当时，，， 当时，， 当时，， 即当时，， 即函数的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设第三象限角满足，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式求得，结合的范围，根据同角三角函数关系求得，根据即可求解. 【详解】因为，所以， 因为为第三象限角，所以， 故． 故答案为：. 13. 已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用函数的最小正周期得，然后根据正弦函数的单调性求得的单调增区间，根据所给区间建立不等关系进行求解． 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，所以，故， 由得， 又在上单调递增， 则，解得， 又，则当时，，所以的取值范围为. 故答案为： 14. 设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且成等比数列，则使得不等式成立时对应最小正整数n为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据依次成等比数列，得到，再代入等差数列求和公式将不等式化为，求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为成等比数列，所以，即， 化简得，由得， 所以，所以， 又，所以，所以或（舍去）， 所以最小整数的值为5. 故答案为：5 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象经过点． （1）求的对称轴； （2）求函数的值域与单调递减区间． 【答案】（1）； （2）值域为，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用余弦函数的对称性求出对称轴. （2）由（1）求出并利用三角恒等变换化简，再利用余弦函数性质求出值域及单调递减区间. 【小问1详解】 由函数的图象经过点，得， 解得，而，则，， 由，得， 所以函数图象的对称轴为. 【小问2详解】 由（1）知，则 ， 所以函数的值域为； 由，得， 所以函数的单调递减区间为. 16. 记为数列的前项和，且． （1）证明：是等差数列； （2）若． ①求的通项公式； ②求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，得到，根据等差数列的定义，即可证明； （2）①由（1）得到，根据求出，则，进而利用得，再验证满足，即可求解通项公式； ②由得，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 两边同除得，即， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 ①由（1）可知，所以，当时，， 当时，，又，所以，所以， 所以， 当时，， 所以，当时，也满足， 所以的通项公式为； ②因为， 所以的前项和 . 17 设函数． （1）当时，求在区间上的极值； （2）证明：存在，使在处的切线经过原点． 【答案】（1）的极小值为， 的极大值为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，结合正弦函数性质，由求极值步骤求解即可； （2）利用导数的几何意义求出切线方程，将代入求得，然后验证即可证明. 【小问1详解】 当时，，则，， 令，解得， 当时，，当时，， 当时，. 可知在和上单调递减，在内单调递增， 所以当时，有极小值， 当时，有极大值. 【小问2详解】 设切点为，则切线方程为， 由于切线经过原点，所以，即， 由得， 所以，即， 取，代入得， 化简得，解得， 当时，，， 此时切线方程为，切线显然过原点， 所以存在时，使在处的切线经过原点． 18. 记为正项数列的前项和，已知． （1）证明：数列是常数列； （2）求的通项公式； （3）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定递推公式得，记，则，进而，利用及递推关系得，即可证明； （2）根据给定的递推公式，结合变形，再利用等差数列定义即可求解通项公式 （3）由得，则，又，设，利用导数法证得证明，结合对数运算证得，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 记，则，所以， 由为正项数列的前项和知，所以， 因为，所以， 而，所以，于是，故，即， 故数列是常数列； 小问2详解】 由（1）知，即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又，所以，故， 则，所以数列是首项为，公差为2的等差数列. 所以， 所以的通项公式为. 【小问3详解】 由知，即，所以数列的前项和为， 由（1）知，故， 下面证明， 设，， 则，当时，，单调递增， 所以，所以，即， 所以 ，所以. 综上. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知有三个零点，满足． ①求的取值范围； ②当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出的单调性. （2）①由可得函数有两个均不为的零点，再利用导数，结合零点存在性定理求出范围；②由①可得，再利用极值点偏移的方法，结合不等式的性质推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①由（1）知，当时，函数最多两个零点，不符合题意； 当时，而，则函数有两个均不为的零点， 则，即，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于，而， 则当，即时，函数有两个零点， 所以的取值范围是. ②由（1）及①知，，显然成立，则， 是函数的两个零点，，， 令， 求导得 ， 函数在上单调递增，，则， 而函数在上单调递增，于是，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高三年级10月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. －2 C. －1 D. 2 2. 已知定义在上的奇函数满足：时，，则（ ） A B. 0 C. D. 3. 设命题，则的真假性与否定形式分别为（ ） A. 假命题， B. 真命题， C. 假命题， D. 真命题， 4. 设甲：，乙：，且，，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 5. 设实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 记为数列的前项积，且，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 10. 在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：，其中为非零常数，为幂常数，为主观感觉强度，为物理刺激强度，.现有如下RPE（主观感觉强度）表： 强度 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下，在RPE强度为时得到的实际物理刺激强度为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 若，使得，且当时，，则称为一正移函数．定义符号函数，设，则（ ） A. 是奇函数 B. 是一正移函数 C. 方程有且仅有两解 D. 函数的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设第三象限角满足，则______． 13. 已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的取值范围为______． 14. 设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且成等比数列，则使得不等式成立时对应最小正整数n为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象经过点． （1）求的对称轴； （2）求函数的值域与单调递减区间． 16. 记为数列的前项和，且． （1）证明：是等差数列； （2）若． ①求的通项公式； ②求的前项和． 17. 设函数． （1）当时，求在区间上的极值； （2）证明：存在，使在处的切线经过原点． 18. 记为正项数列的前项和，已知． （1）证明：数列是常数列； （2）求的通项公式； （3）记数列前项和为，证明：． 19 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知有三个零点，满足． ①求的取值范围； ②当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $