专题4.2 认识三角形之三线与内外角（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题4.2 认识三角形之三线与内外角 教学目标 1. 理解三角形的高、中线、角平分线的定义及性质，掌握其画法，知道中线能平分三角形面积、三条中线交于重心。 2. 掌握三角形内角和定理（180°）及外角性质（等于不相邻两内角和），能运用定理进行角度计算。 3. 通过动手操作与推理，培养空间想象、实践能力及运用知识解决问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）明确三角形高、中线、角平分线的概念与画法，掌握三角形内角和定理。 （2）理解三角形外角的定义及其性质，能运用内角和定理与外角性质求角度。2.难点 （1）掌握钝角三角形两条高的画法，区分三角形角平分线与角的平分线的不同。 （2）理解三角形外角性质的推导过程，综合运用高、中线等线段性质与角度定理解题。 知识点01 三角形的高 中线 角平分线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 【即学即练2】1．下列叙述正确的是（   ） ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点 A．②④ B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，说法正确． 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三线，折叠的性质，根据折叠的性质，得到图①中，图②中，图③中，结合角平分线，中线和高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：图①中，故是的角平分线； 图②中，故，故是的高线； 图③中，故是的中线； 故选C． 知识点02 三角形内角和 三角形的内角和等于. 【即学即练2】3．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和为来进行计算． 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为，已知其中一个角为，可求出的度数． 【详解】解：因为三角形内角和为，在图中的三角形里，已知一个角是，所以． 移项可得． 故选：B． 4．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角的和为是解题的关键． 根据三角形三个角度数比分别设出三个角度数表达式，利用三角形内角和定理结合条件可求得答案． 【详解】解：∵， 设，，， 由三角形内角和定理可得：， 解得， ， 故答案为：． 知识点03 三角形外角 【即学即练3】5．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，延长至点F，若，则的度数为（　　）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．根据平行线的性质，可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 6．一个三角形有两个内角分别为和，那么这个三角形的外角不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的定义． 先求出第三个内角，进而求出三角形的三个外角，判断即可． 【详解】解：∵一个三角形有两个内角分别为和， ∴第三个内角为， ∴三角形的三个外角分别为，，， 可知只有D不属于三角形的外角， 故选：D． 题型01 中线 高 角平分线的概念辨析 【典例1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在数学课上．同学们在作中边上的高时，有一部分同学画出下列几种图形．则错误的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可． 【详解】解：四个图形中，只有第二个图形是过点A作线段所在直线的垂线段，其余均错误，错误的个数为3个． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心、三角形的角平分线、中线和高及三角形的面积，根据三角形角平分线的定义、高线的定义及重心的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为三角形一个内角平分线与另一边交点之间的线段称为三角形的角平分线，所以三角形的角平分线是一条线段．故A选项不符合题意． 三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故B选项不符合题意． 因为重心是三角形三条中线的交点，故C选项符合题意． 因为三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，而角平分线不一定能分成两个面积相等的三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，垂足为D，下列说法中，正确的是（   ）． A．中，是边上的高 B．中，是边上的高 C．中，是边上的高     D．中，是边上的高 【答案】C 【分析】该题考查了三角形的高，根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴边上的高是， 故只有C正确， 故选：C． 题型02 与三角形的高有关的计算 【典例2】（2024·贵州遵义·一模）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，、分别是的高和中线．若，，则 ． 【答案】5 【分析】此题考查三角形的面积公式，中线和高线的定义，关键是掌握中线的定义和三角形的面积公式． 由中线的定义可知BC=8，再利用三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：5． 【变式2】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和与外角，直角三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由已知条件，，根据角平分线的定义得到， 则可求； （2）因为，将，，代入计算即可得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为三角形的角平分线， ∴， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图．中，分别为的角平分线和高线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键．根据角平分线的性质可得，设，推得，根据三角形内角和定理可得，即可求得． 【详解】解：在中，平分 ， 设， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故， 故答案为：． 题型03 根据三角形的中线求长度 【典例3】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长为， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决问题的关键．利用中线的性质将的周长与的周长差转化为与长度差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中线，由为边的中线，可得，再根据的周长比的周长多，可得，由此可解． 【详解】解：为边的中线， ， 的周长比的周长多， ， ， ， 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，周长比周长多，的周长L为，长为，求和的长． 【答案】和的长分别为和 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， ， 即①， 的周长L为，长为， ，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得， 故和的长分别为和． 题型04 根据三角形的中线求面积 【典例4】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先由点是的中点得出，再由点是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 【详解】解∶∵点D，E，F分别为边，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线，， ∴， 又是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 又是的中线， ∴． 故答案为：1． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 在中， 已知点D， E分别为的中点，， 且的面积为16，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质．掌握中线能够把三角形的面积等分是解题的关键． 由点D是的中点，可得，由E是的中点，得出，，得，再利用，即可求出． 【详解】∵点D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是的中点，则四边形AFDG的面积是（    ）    A．6 B．5 C．4.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，据此即可求出，同理可以求出，，，，即可求出． 【详解】解：∵点D为中点， ∴， ∴与等底同高， ∴， 同理可得，， ，，，， ∴． 故选：A 题型05 与角平分线有关的角度计算 【典例5】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求得．根据角平分线的定义可得，最后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵的平分线交于点， ∴． ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和等于．先根据三角形内角和，得到的度数，再根据角平分线的定义，得出，进而根据三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， 中，， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，中，，平分，则 °． 【答案】110 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 110． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． (1)与的数量关系是_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵、分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴； 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵为外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴． 题型06 三角内角和定理的证明 【典例6】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 【变式1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 题型07 三角形内角和定理的应用 【典例7】在中，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了三角形的内角和等知识，根据三角形内角和得到，整体代入，即可求出﹒ 【详解】解：∵的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：﹒ 【变式1】（25-26八年级上·全国·阶段练习）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键． 当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时， ， ； 如图，当时， ，， ， ， 综上，则的度数为或； 故答案为：或． 【变式2】（23-24八年级上·河北张家口·期末）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质， 根据垂线的定义得到，从而求得，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意，①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上所述：或 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． 通过连接，利用三角形内角和定理，先求出，再求出． 【详解】解：连接， 在中，， 即， ，，， ， ， 在中，， ． 题型08 三角形外角的定义及性质 【典例8】（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 先根据角平分线得到，再由三角形的外角性质得到，代入数据求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）根据要求解答下列问题： (1)求图1中的值； (2)求图2中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用这些定理来建立方程求解． （1）利用三角形内角和为建立方程求解． （2）根据三角形外角等于不相邻两个内角和建立方程求解． 【详解】（1）解：在图1的三角形中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为，可得方程： 解得：． （2）在图2中，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得方程： 解得：． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，已知，试判断、和的关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形外角性质证明即可． 【详解】解：，理由如下： （已知）， 两直线平行，内错角相等， ∵， ． 【变式3】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 题型09 三角形折叠中的角度问题 【典例9】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质得出，再由三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得：， 在中，， 故答案为：． 【变式1】（21-22八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 【变式3】如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度． 【答案】116 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，理解折叠的性质，掌握三角形内角和定理，外角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，根据折叠的性质可得，由三角形的外角的性质可得，再由是的外角，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， 设交于点， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为： ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，是的中线，已知的周长为，的周长为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用中线性质得出，再结合两个三角形周长的关系进行推导． 根据三角形中线的定义可知，然后分别表示出和的周长，通过两者相减得出的值，进而对各选项进行判断． 【详解】解：因为是的中线，所以． 的周长为的周长为． 用的周长减去的周长可得： ， 所以，B选项正确． 对于A选项，仅根据现有条件无法求出的周长； 对于C选项，无法求出的长度； 对于D选项，无法求出的长度． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角等于不相邻的两个内角之和的性质，根据角平分线的性质以及三角形内角之和为180°的性质，分析相互角度关系，把已知角度代入关系式求解，问题即可得到解决． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ， 又， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，的角平分线和的角平分线交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，已知为的中线，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可． 【详解】解：为的中线，的面积为， ， 故答案为：． 7．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，，是的角平分线，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 8．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是的中线，，则的周长比的周长大 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长与的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】是的中线， ， ，，， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图 由题意得：， 则， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，平分，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】，平分， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（13-14七年级下·广东肇庆·期中）如图：，平分，平分，，那么与平行吗？为什么？请完成下面的解题过程． 解：平分，平分（已知） ______，______（                   ） （已知） _______________ ______ ______（已知） _________（                   ） （                   ） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的定义，解题关键是利用角平分线的性质进行角度之间等量关系的转换．根据角平分线的定义得出，，结合已知的，，等量代换得到，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：平分，平分（已知）， ，（角平分线定义）， （已知）， ， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 12．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，是的角平分线，过点B作交的延长线于点C，点F在上，连接交于点G． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义、平行线的判定． （1）由垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，进而得到，利用等量代换得到，再利用内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 13．（11-12七年级下·福建·期中）如图： (1)请在中画出边上的中线和边上的高． (2)与相等吗？试说明理由．（友情提示：表示三角形面积） (3)已知：为的中线，点E为边上的中点，若的面积为20，，求点E到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查画三角形的高线，三角形的中线. （1）根据三角形中线和高的定义作图即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． （3）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长． 【详解】（1）如图，即为所求作的中线，即为所求作的高． （2）∵是中线， ∴， ∵是高， ∴， ∴； （3）如图，作于点H， 是的中线， ， ∵点E为边上的中点， ， ， 的面积为， 的面积是， ， ， ∴． 即点到边的距离为． 14．（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 又， ， ； （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， 在中，， ． 15．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质计算得出的度数，再由三角形内角和定理计算得出的度数，然后由角平分线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2认识三角形之三线与内外角 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1三角形的高中线角平分线 知识点2三角形的内角和 知识清单 知识点3三角形的外角 题型1中线高角平分线的概念辨析 题型2与三角形的高有关的计算 认识三角形二 题型3根据三角形的中线求长度 题型4根据三角形的中线求面积 题型5与角平分线有关的角度计算 题型精讲 题型6三角形内角和定理的证明 题型7三角形内角和定理的应用 题型8三角外角的定义及性质 题型9三角形折蠡中的角度问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形的高、中线、角平分线的定义及性质，掌握其画法，知道中线能平分三 角形面积、三条中线交于重心。 2.掌握三角形内角和定理(180°)及外角性质（等于不相邻两内角和），能运用定理 教学目标 进行角度计算。 3.通过动手操作与推理，培养空间想象、实践能力及运用知识解决问题的能力。 1.重点 (1)明确三角形高、中线、角平分线的概念与画法，掌握三角形内角和定理。 教学重难点 (2)理解三角形外角的定义及其性质，能运用内角和定理与外角性质求角度。2难点 (1)掌握钝角三角形两条高的画法，区分三角形角平分线与角的平分线的不同。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)理解三角形外角性质的推导过程，综合运用高、中线等线段性质与角度定理解题。 知识清单 知识点01三角形的高中线角平分线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 【即学即练2】1.下列叙述正确的是() ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形 的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点 A.②④ B.①②④ C.③④ D.②③④ 2.(23-24八年级上河北唐山期中)如图所示是三位同学的折纸示意图，则AD依次是ABC的() D B' B(C)D ① ② ③ A.中线、角平分线、高 B.高、中线、角平分线 C.角平分线、高、中线 D.角平分线、中线、高 知识点02三角形内角和 三角形的内角和等于180° 【即学即练2】3.(25-26八年级上·甘肃张掖阶段练习)如图，a+B=() 30 A.180° B.150° C.120 D.100° 4.(25-26八年级上甘肃武威阶段练习)在ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,则LC= 知识点03三角形外角 【即学即练3】5.(25-26九年级上·浙江温州阶段练习)如图，在ABC中，∠A=62°，∠B=60°，点D, E分别在边AB,AC上，延长DE至点F,若DE∥BC,则∠AEF的度数为() 2/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.119° B.120° C.121° D.122° 6.一个三角形有两个内角分别为35°和65°，那么这个三角形的外角不可能是() A.145° B.115 C.100° D.80° 题型精讲 题型01中线高角平分线的概念辨析 【典例1】(25-26八年级上·甘肃张掖阶段练习)在数学课上.同学们在作ABC中BC边上的高时，有一 部分同学画出下列几种图形.则错误的个数为() B B B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】(25-26八年级上江苏无锡阶段练习)如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中 线.则下列结论错误的是() B A.BF=CF B.LBAE=LEAC C.LC+LCAD=90D.S△BHE=S△EAc 【变式2】(24-25八年级上·陕西宝鸡阶段练习)关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是() A.三角形的角平分线是直线 B.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C.三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D.三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【变式3】(25-26八年级上·湖北武汉阶段练习)如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD1AC, 3/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 垂足为D,下列说法中，正确的是(). B D A.ABC中，AB是边AC上的高 B.ABC中，BC是边AC上的高 C.ABC中，BD是边AC上的高 D.ABC中，CD是边AC上的高 题型02与三角形的高有关的计算 【典例2】(2024贵州遵义一模)如图，AD,AE分别是ABC的中线、高.已知△ABD的面积是6， AE=3,则BC的长是(). B D A.4 B.6 C.8 D.12 【变式1】(24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习)如图，AD、AE分别是ABC的高和中线.若S。4Bc=20 ,CE=4,则AD= E D 【变式2】(25-26八年级上·福建龙岩阶段练习)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高， BE为三角形的角平分线，AD与BE相交于点F. (1)若∠C=30°，求∠AEB的度数： (2)若BC=13,AC=12,AB=5,求AD的长度， 【变式3】(25-26八年级上·甘肃张掖阶段练习)如图.ABC中，AD、AE分别为ABC的角平分线和高 线，∠B=46°，∠DAE=9°，则∠C= 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03根据三角形的中线求长度 【典例3】(25-26八年级上·河南信阳·阶段练习)如图CM是ABC的中线，BC=8cm,若△BCM的周长 比△ACM的周长大3cm,则AC的长是 B 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)如图，已知AD是ABC的中线，若△ACD的周长比△ABD的 周长长3cm,则AC-AB=_ cm, 【变式2】(25-26八年级上·浙江杭州阶段练习)如图，在ABC中，AD为BC边的中线，△ABD的周长 比△ADC的周长多3cm,AB=8cm,则AC=_ cm. 【变式3】(25-26八年级上·吉林阶段练习)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC周长L比 △ABD周长L2多6cm,ABC的周长L为60cm,BD长为10cm,求AB和AC的长. B 题型04根据三角形的中线求面积 【典例4】(24-25七年级下广东深圳期中)如图，在ABC中，若点D,E分别是BC,AD的中点，且 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABC的面积为12，则阴影部分的面积是」 A B D C 【变式1】(23-24八年级上山东德州期中)如图，在ABC中，己知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的 中点，且SABc=4cm2，则S阴影=一cm2. D 【变式2】(25-26八年级上江苏无锡阶段练习)如图，在ABC中，已知点D,E分别为BC,AD的中 点，EF=3CF,且ABC的面积为16，则△BEF的面积为 E 【变式3】(25-26八年级上·安徽合肥阶段练习)如图，ABC的面积是12，点D,E,F,G分别是 BC,AD,BE,CE的中点，则四边形AFDG的面积是() B D A.6 B.5 C.4.5 D.4 题型05与角平分线有关的角度计算 【典例5】(25-26八年级上河南信阳·阶段练习)如图，在ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点D.若 ∠A=60°，∠C=40°，则∠ADE等于() 6/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E C A.80° B.90° C.100° D.110° 【变式1】(24-25七年级下·全国单元测试)如图，ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC,交 AC于点D,那么LBDC的度数是一 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江佳木斯阶段练习)如图，ABC中，∠B=35°，LC=75°，AD平分 ∠BAC,则∠ADB= 0. B 【变式3】(25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习)如图，在ABC中，BO、CO分别平分∠ABC,∠ACB, CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E. B D (1)∠B0C与∠A的数量关系是 (2)若∠1=70°，求∠2的度数. 题型06三角内角和定理的证明 【典例6】(24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习)在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论. 如图，己知∠A,∠B,∠C是ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°. 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点C作DE∥AB;小星作的辅助线如图②，作AB的延长线AF,作BE∥AC; 小红作的辅助线如图③，作CG∥AB; 7/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 请你认真阅读思考并完成如下问题： G B 图① 图② 图③ (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程. (2)在图2中，求证：LCBF=LA+LC. 【变式1】(24-25八年级上·河北邢台·期末)下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是 () A B 【变式2】(24-25七年级下.上海阶段练习)古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯(Thales,公元前6世纪) 最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格 的证明.之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明. 其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理，请同学们帮助欧几里得 将证明过程补充完整。 已知：如图，在ABC中，求证：∠A+∠B+∠BCA=180°. B 证明：延长线段BC至点F,并过点C作CE∥AB. :CE∥AB, ∴.∠ ∠ =∠ .∠ACB+∠1+∠2=180°. :LACB+L+∠ =180° 【变式3】(2025八年级上·全国专题练习)为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四 8/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 种作辅助线的方法.回答下列问题： F 过AB上一点D作 过点C作CD⊥AB 过点C作EFIAB 延长AC到点F, DEIBC.DFIAC 于点D 过点C作CEIlAB 图① 图② 图③ 图④ (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是 (请填写序号)： (2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明. .三角形的内角和为180°.（答案不唯一，选择一种方法证明即可）. 题型07三角形内角和定理的应用 【典例7】在ABC中，若2(LA+LC)=3LB,则∠B的度数为 【变式1】(25-26八年级上全国·阶段练习)在ABC中，∠A=30°，∠B=50°，点D在AB边上，连接CD ,若△ACD为直角三角形，则LBCD的度数为 故答案为：40°或10°. 【变式2】(23-24八年级上河北张家口·期末)在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AB边上任意一点（点 D不与A、B两点重合)，过点D作AB的垂线，与直线AC交于点E,若∠AED=50°，则∠B的度数为() A.60 B.70° C.70°或20° D.60°或30° 故选：C 【变式3】(25-26八年级上·吉林四平阶段练习)如图，已知∠BAC=42°，∠ABD=26°，∠ACD=33°，求 ∠BDC的度数， B .∠BDC=180°-∠DBC+∠DCB=180°-79°=101°. 题型08三角形外角的定义及性质 【典例8】(25-26八年级上·河南商丘·阶段练习)如图，在ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分 ∠ABC,则∠BDC的度数是() 9/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.85° B.90° C.100° D.110° 【变式1】(25-26八年级上·甘肃张掖阶段练习)根据要求解答下列问题： 30)° 0+20)° K75 (6x+3) 图1 图2 (1)求图1中x的值： (2)求图2中y的值. 【变式2】(25-26八年级上·甘肃武威阶段练习)如图，已知AB∥CD,试判断∠1、∠2和∠3的关系并说 明理由， A D B 【变式3】(24-25八年级上·安微池州期末)如图，CE平分ABC的外角∠ACD,且CE交BA的延长线于 点E. B C D (1)若∠B=32°，∠E=36°，求∠BAC的度数； (2)试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想. 题型09三角形折叠中的角度问题 【典例9】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，在ABC中，∠ABC=70°，∠A=30°，点D 是AC上一点，将ABC沿BD折叠，使C点落在AB边上的点C处，则∠BDC'=°. 10/15