4.1.2三角形的高、角平分线与中线-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、角平分线与中线，通过“过一点画已知直线的垂线”复习旧知，衔接三线定义，构建从垂线到三角形高的知识支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点在于题型由概念辨析到综合应用循序渐进，覆盖锐角、直角、钝角三角形三线位置与性质，结合几何直观与推理意识，如通过中线分面积、角平分线角度计算等实例，培养学生运算能力与空间观念。知识点总结易错提醒，助力学生夯实基础，教师可直接用于课后巩固与专项训练，提升教学效果。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 4.1.2三角形的高、角平分线与中线 第4章 三角形 湘教版八年级数学4.1.2 三角形的高、角平分线与中线同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学4.1.2三角形的高、角平分线与中线专项编写，承接三角形的基本概念与三边关系，聚焦三角形三条重要线段的定义、位置特征、核心性质、面积等分、角度与线段计算等高频考点。题型由概念辨析到计算应用循序渐进，覆盖锐角、直角、钝角三角形三线的区别与易错点，适配新课课后巩固与专项基础训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于三角形中线的说法正确的是（） A. 中线是一条直线 B. 中线平分三角形的面积 C. 中线一定在三角形外部 D. 中线平分三角形的内角 2. 三角形的角平分线是（） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 曲线 3. 钝角三角形的高在三角形外部的条数为（） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 4. 在$$\triangle ABC$$中，AD是BC边上的中线，若$$BC=8$$，则BD的长为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 下列说法错误的是（） A. 锐角三角形的三条高都在三角形内部 B. 直角三角形的两条直角边互为高 C. 三角形的三条中线交于一点 D. 三角形的高一定在三角形内部 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的________。 7. 三角形的一条中线将三角形分成两个________相等的小三角形。 8. 在$$\triangle ABC$$中，AD平分$$\angle BAC$$，若$$\angle BAD=35^\circ$$，则$$\angle BAC=$$________。 9. 直角三角形的三条高，有________条在三角形边上，________条在三角形内部。 10. 在$$\triangle ABC$$中，AD是BC边上的中线，若$$\triangle ABC$$的面积为12，则$$\triangle ABD$$的面积为________。 三、解答题（共60分） 11. 基础概念应用计算（每题6分，共24分） （1）在$$\triangle ABC$$中，AD是BC边上的中线，已知$$AB=5，AC=3，BC=10$$，求BD的长度； （2）在$$\triangle ABC$$中，AE是角平分线，$$\angle B=50^\circ，\angle C=70^\circ$$，求$$\angle BAE$$的度数； （3）已知$$\triangle ABC$$的面积为18，BC边上的高为6，求BC的长； （4）在直角$$\triangle ABC$$中，$$\angle C=90^\circ$$，说出图中的两条高。 12. 线段与角度综合计算（每题8分，共16分） （1）在$$\triangle ABC$$中，AD是中线，已知$$\triangle ABD$$的周长比$$\triangle ACD$$的周长大2，若$$AB=7$$，求AC的长； （2）在$$\triangle ABC$$中，BD是AC边上的高，$$\angle ABD=25^\circ$$，求$$\angle A$$的度数。 13. 面积与三线综合拔高（每题10分，共20分） （1）如图，在$$\triangle ABC$$中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，若$$\triangle ABC$$面积为24，求$$\triangle ABE$$的面积； （2）在$$\triangle ABC$$中，AD⊥BC于D，AE平分$$\angle BAC$$，$$\angle B=30^\circ，\angle C=50^\circ$$，求$$\angle DAE$$的度数。 参考答案与解析 一、选择题 1.B 解析：三角形中线是线段，交于一点，核心性质是等分三角形面积，不平分内角，一定在三角形内部。 2.C 解析：三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线。 3.C 解析：钝角三角形一条高在内部，两条高在三角形外部。 4.B 解析：中线平分对边，$$BD=\frac{1}{2}BC=4$$。 5.D 解析：钝角三角形有两条高在外部，直角三角形两条高在边上，并非所有高都在内部。 二、填空题 6. 高 7. 面积 8. $$70^\circ$$ 解析：角平分线平分内角，$$\angle BAC=2\angle BAD=70^\circ$$。 9. 2；1 10. 6 解析：中线等分面积，$$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=6$$。 三、解答题 11. 解： （1）AD为BC中线，$$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times10=5$$。 （2）$$\angle BAC=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$$，AE平分$$\angle BAC$$，$$\angle BAE=30^\circ$$。 （3）由三角形面积公式$$S=\frac{1}{2}ah$$，得$$18=\frac{1}{2}\times BC\times6$$，解得$$BC=6$$。 （4）直角三角形$$\angle C=90^\circ$$，AC、BC互为对应边上的高。 12.（1）解：AD是中线，$$BD=CD$$，周长差即为$$AB-AC=2$$，$$AC=7-2=5$$。答：AC长为5。 （2）解：BD⊥AC，$$\angle ADB=90^\circ$$，$$\angle A=90^\circ-25^\circ=65^\circ$$。 13.（1）解：AD是BC中线，$$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12$$；BE是AC中线，$$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12$$。答：面积为12。 （2）解：$$\angle BAC=180^\circ-30^\circ-50^\circ=100^\circ$$，AE平分$$\angle BAC$$，$$\angle CAE=50^\circ$$。AD⊥BC，$$\angle CAD=90^\circ-50^\circ=40^\circ$$，$$\angle DAE=\angle CAE-\angle CAD=10^\circ$$。 知识点总结与易错提醒： 1. 三线本质：三角形的高、中线、角平分线全部是线段，区别于直线、射线； 2. 位置规律：锐角三角形三线全在内部；直角三角形两高在直角边、一高在内部；钝角三角形两高在外部、一高在内部； 3. 中线核心性质：平分对边、平分三角形面积，周长差题型为高频考点； 4. 角平分线：平分三角形内角，区别于角的平分线（射线）； 5. 高的计算必须对应底边，面积公式灵活运用，是几何基础计算重点。 你还记得“过一点画已知直线的垂线” 吗？ 新课导入 2 A B C 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? H 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高线， 高 简称三角形的高. 符号语言：如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的BC边上的高. 推进新课 知识点1 三角形的高 A B C H 高 ∠AHB = ∠AHC = 90° 说一说 由三角形的高你能得到什么结论？ 你能画出下面锐角△ABC的三条高吗？ A B C E F G O 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高交于同一点O.这个点叫作三角形的垂心. 直角△ABC的三条高又是怎样的呢？ A B C 直角边BC边上的高是______； 直角边AB边上的高是______； AB CB 斜边AC边上的高是______； D BD 三条高线相交于一点，交点在直角三角形的直角的顶点处. 试画出图中钝角△ABC的三条高 A B C D E F 三条高线相交于一点，交点O在钝角三角形的外部. O 三角形的三条高所在直线交于一点，点为垂心. 1. 如图，AC⊥BC，CD ⊥ AB ，DE⊥BC，垂足分别为点C，D，E，则下列说法不正确的是（ ） A. AC是△ABC的高 B. DE是△BCD的高 C. DE是△ABE的高 D. AD是△ACD的高 C 试一试 2. 如图，AD⊥BE，垂足点D，点C在BE上，以AD为高的三角形有_____个. 6 △ ABD △ ADC △ ADE △ AEC △ ABC △ ABE 2 A B C 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线. D 1 符号语言：如图，∠1=∠2，则线段AD是△ABC的一条角平分线. 知识点2 三角形的角平分线 准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. （1）你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？ （2）你能用折纸的办法得到它们吗？ （3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ？ 做一做 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于同一点，点为内心. 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，∠ACE = 40°，AD，CE是角平分线，则∠DAC =______°， ∠BCE =_______°， ∠ACB =_______°， 30 试一试 40 80 A B C 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点 E 的线段叫作三角形的中线. 符号语言：如图，BE=CE，则线段AE是△ABC的BC边上的中线. 知识点3 三角形的中线 任意画一个三角形，画出三条边上的中线，你发现了什么？ A B C D E F G 重心 三角形的三条中线相交于一点. 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来. （2）图中哪些三角形的面积相等？ 解 （1）图中有6个三角形， 它们分别是：△ABD， △ADE， △AEC， △ABE， △ADC， △ABC. 例题 2 （2）因为AD是△ABC的中线， 所以BD=DC. 因为AE是△ABC的高线，也是△ABD和△ADC的高线， 所以S△ABD = BD·AE，S△ADC = DC·AE 因此S△ABD = S△ADC . 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来. （2）图中哪些三角形的面积相等？ 例题 2 知识点1 三角形的高 1.［2025岳阳期末］如图，在四个选项中，线段表示的边 上的高的图是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 19 2.如图，是锐角三角形，过点作于点，过点 作 ，交的延长线于点 ，则下列说法错误的是( ) B A.是的高 B.是 的高 C.是的高 D.是 的高 返回 中考考法 20 3.如果一个三角形两边上的高所在直线的交点在三角形的内部，那么这 个三角形是( ) A A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 返回 中考考法 21 4.如图，画出 的三条高. 解：如图，线段，， 分别 是，， 边上的高. 返回 中考考法 22 5.如图,,是的高，， ， ，求 的长. 解：因为，是 的高，所以 ，所以 .因为,,,所以 . 返回 中考考法 23 知识点2 三角形的角平分线 6.如图，是 的角平分线，则( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 24 7.如图，是的角平分线，交 于 点，交于点，则图中与 有什么数 量关系？ 解：因为，所以 . 因为，所以 . 因为是 的角平分线， 所以.所以 . 返回 中考考法 25 知识点3 三角形的中线 8.如图，若是的中线，，则 的长度是( ) B （第8题） A.6 B.5 C.8 D.4 返回 中考考法 26 （第9题） 9.［2025长沙月考］如图，在中， ， ，，为 边上的中线，则 与 的周长差为( ) B A.2 B.3 C.4 D.6 返回 中考考法 27 （第10题） 10.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角 形卡片，则他支起的这个点应是三角形______的交点, 即____心. 中线 重 返回 中考考法 28 11.［教材习题变式］如图，在中，是 边上的中 线，的面积是，则的面积为____ . 12 （第11题） 返回 中考考法 29 $