专题4.3 命题与证明（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题4.3 命题与证明 教学目标 1. 明确命题、真/假命题、定义、定理等概念，能将命题改写成“如果……那么……”的形式，会判断命题真假及举反例。 2. 理解证明的必要性，掌握综合法证明的基本步骤与规范格式，能写出文字命题的已知、求证并证明。 3. 初步了解反证法的思路，体会逻辑推理过程，培养严谨的数学思维与推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握命题的概念与结构，能准确区分命题真假，明确证明的意义与基本依据。 （2）熟练掌握直接证明的步骤与规范表达，能完成简单几何命题的证明过程。 2.难点 （1）准确将复杂文字命题转化为“已知、求证”的数学形式，把握证明过程中的逻辑衔接与依据引用。 （2）理解反证法的“假设—推矛盾—证结论”核心逻辑，灵活运用证明方法解决综合几何问题。 知识点01 定义与命题 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 【即学即练1】1．下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【答案】A 【分析】本题考查了命题的识别．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A．两直线平行，内错角相等，是命题，因为它是一个具有判断性的语句，故该选项符合题意； B．画线段，只是陈述一个事实，没有对事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意； C．画一个菱形，是一个操作指令，不是命题，因为它不是判断性语句，是祈使句，故该选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两直线平行吗？不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．下列命题中，真命题的是（    ） A．不是对顶角的两个角不相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．若，则 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相交线和平行线的有关性质、对顶角的定义、绝对值的性质是解题关键．根据相关数学定义、性质及判定定理对各选项依次分析判断． 【详解】A．相等的角不一定是对顶角，则本选项是假命题，不符合题意； B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，则本选项是假命题，不符合题意； C．若，，，则本选项是假命题，不符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，则本选项是真命题，符合题意； 故选：D． 3．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论． 【详解】解：题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果...那么...”的形式是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 题型01 判断是否是命题 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【答案】 是 不是 是 不是 【分析】本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：①对顶角相等，是命题； ②画一个角等于已知角，不是命题； ③两直线平行，同位角相等，是命题； ④a，b两条直线平行吗？是问句，未做判断，不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 题型02 写出命题的题设与结论 【典例2】（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是同位角相等． 【答案】两直线平行 【分析】本题考查命题的定义．将命题改为““如果……那么……”的形式即可判断． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改为“如果两条直线平行，那么同位角相等”，因此该命题的条件是两直线平行． 故答案为：两直线平行． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）命题“若，则”，这个命题的结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查命题的条件和结论，一般命题写成“如果A，那么B”的形式，其中A是题设，B是结论，据此求解即可． 【详解】解：命题“若，则” ，这个命题的题设是，结论是， 故答案为：． 【变式2】（21-22八年级上·广东清远·期末）“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行” 所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分； 故答案为：同位角相等；两直线平行． 【变式3】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 题型03 判断命题的真假 【典例3】（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．（每次多一个0）是有理数 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，无理数的概念，对顶角性质，平行线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，据此依据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、（每次多一个0）是无限不循环小数，是无理数，故原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，故此选项不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题，故此选项符合题意； D、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（22-23七年级下·四川广安·期中）下列命题同位角相等；两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；若，，则；如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等；若，则．其中假命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同位角的定义，平行线的判定和性质，不等式的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：两直线平行，同位角相等，故为假命题， 两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故为真命题， 在同一平面内，若，，则，故为假命题， 如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故为假命题， 若，则，故为真命题， ∴假命题有个． 故选：C． 【点睛】本题考查判断命题的真假，平行线的判定和性质，角平分线的定义，不等式的性质． 【变式2】下面的语句是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．数轴上每一个点都有一个实数与之对应 C．垂线段最短 D．直角的补角是直角 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，准确理解每个选项的定义、性质进行判断是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补，实数与数轴一一对应的关系，垂线段的定义和补角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故选项为假命题，符合题意； 实数与数轴的关系是一一对应，所以数轴上每一个点都有一个实数与之对应，故选项为真命题，不符合题意； 直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，故选项为真命题，不符合题意； 直角的补角为，故选项为真命题，不符合题意． 故选． 【变式3】下列命题是假命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和为 C．相等的两个角不是同位角，就是内错角 D．两条直线被第三条直线所截，若截得的内错角相等，则截得的同位角相等 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题、平行线的性质与判定、对顶角及线段的意义，熟练掌握各个定理是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质与判定、对顶角及线段可进行求解． 【详解】解：A、“两点之间线段最短”是基本的几何公理，是经过大量实践验证的真命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和为”是三角形的基本性质定理，可通过多种方法(如剪拼法、平行线法证明)，是真命题，故不符合题意； C、相等的角有多种情况，除了同位角和内错角，还有对顶角等；对顶角是相等的，但对顶角既不是同位角也不是内错角，所以该命题忽略了对顶角等其他情况，是假命题，故符合题意； D、两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出这两条直线平行；再根据“两直线平行同位角相等”，可知同位角相等，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 题型04 写出命题的逆命题 【典例4】（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为 ． 【答案】如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角 【分析】根据逆命题的书写格式，如果…那么的形式写出即可． 本题考查了写逆命题，精准确定题设和结论是解题的关键． 【详解】解：根据题意，同旁内角互补中的题设是同旁内角，结论是互补， 故其逆命题为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角， 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角． 【变式1】“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 【答案】 等腰三角形有两个角相等 真 【分析】本题考查命题与定理，掌握相关知识是解决问题的关键．交换命题的题设和结论后可得命题的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是等腰三角形有两个角相等，这个命题是真命题． 故答案为：等腰三角形有两个角相等，真． 【变式2】（2023八年级·全国·竞赛）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题， 先说明各命题的逆命题，再判断真假可得答案. 【详解】解：因为A的逆命题是：开方开不尽的数是无理数，是真命题，所以不符合题意； 因为B的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以符合题意； 因为C 的逆命题是：若，则，是真命题，所以不符合题意； 因为D的逆命题是：正多边形的各边都相等，是真命题，所以不符合题意. 故选：B. 【变式3】（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 【答案】若，则 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 题型05 举反例 【典例5】（24-25七年级下·贵州·阶段练习）以下可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较、命题与定理、绝对值的意义，根据题意所表达的意思，逐项分析即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、当，时，，此时，，则，不符合题意； B、当，时，，不符合题意； C、当，时，，此时，，则，符合题意； D、当，时，，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）请你举出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查假命题问题，掌握命题，真命题与假命题的区别与联系，会举反例证明叫命题是解题关键． 验证一个命题是假命题，只需举反例即可． 【详解】解：当时，满足，此时，但不满足． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）能说明“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 根据实数的大小比较法则、实数的立方、假命题的概念解答． 【详解】解：A．时，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； B．时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； C．，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； D．时，，而，说明命题“若，则”是假命题，符合题意； 故选：D 【变式3】（22-23八年级上·全国·期末）对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了如何正确举反例，举反例就是要符合题设不符合结论，根据这个进行举反例．对于要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子进行判断即可． 【详解】解：选项A：此时，不满足，排除； 选项B：此时，不满足，排除； 选项C：此时，且，结论成立，排除； 选项D：此时，满足，但，结论不成立； 因此，D是符合要求的反例． 故选：D ． 题型06 反证法证明 【典例6】（2025八年级上·全国·专题练习）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（   ） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60° 【答案】B 【分析】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口． 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于， ∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 【答案】B 【分析】此题主要考查了反证法，解题的关键是熟练掌握反证法的定义和步骤． 利用反证法的步骤进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中，三个内角都小于60度， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 题型07 定理与证明 【典例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 一、单选题 1．（21-22八年级上·四川内江·期中）下列语句是命题的是（     ） A．画两条相等的线段 B．你认真做作业了吗？ C．延长线段到，使 D．两条直线相交有且只有一个交点 【答案】D 【分析】本题考查命题定义，熟记命题定义是解决问题的关键．能够判断真假的陈述句称为命题，由此逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、画两条相等的线段，祈使句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； B、你认真做作业了吗？疑问句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； C、延长线段到，使，祈使句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； D、两条直线相交有且只有一个交点,是命题，符合题意； 故选：D． 2．（20-21七年级上·山西临汾·期末）用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 【答案】A 【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可． 本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）． 【详解】解：用反证法证明“在一个三角形中，最大的内角不小于”时，应先假设在三角形中，最大的内角小于． 故选：A． 3．（12-13七年级下·广东·阶段练习）下列命题：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也垂直；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；同位角相等．其中假命题的个数是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：根据平行公理可知：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； 故是真命题； 在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； 故是假命题； 根据平行公理可知：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故是真命题； 两直线平行，则这两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，如果两条被截直线不平行，则被第三条直线所截形成的同位角不一定相等； 故是假命题； 综上所述，假命题的个数是个． 故选：C． 4．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 5．（17-18八年级下·四川·阶段练习）下列命题中，逆命题正确的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．若两个角是直角，那么这两个角相等 D． 如果两个实数相等，则它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题的逆命题，判断命题的真假，平行线的判定方法，对顶角的定义等；写出各个命题的逆命题逐一进行判断真假，即可求解． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行；此命题是真命题，故符合题意； B、逆命题为：相等的角是对顶角；相等的角不一定是对顶角，此命题是假命题，故不符合题意； C、逆命题为：若两个角相等，那么这两个角是直角；若两个角相等，那么这两个角不一定是直角，此命题是假命题，故不符合题意； D、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，则它们相等；如果两个实数的绝对值相等，则它们相等或互为相反数，此命题是假命题，故不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）下列命题中，假命题是 （填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线及其性质，直线的位置关系，钝角的定义，不等式的性质，根据以上基础概念逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题； ②同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故②是假命题； ③大于度，小于平角的角是钝角，故③是假命题； ④两直线平行，同位角相等，故④是假命题； ⑤若，则，描述正确，故⑤是真命题． 故①②③④是假命题， 故答案为：①②③④ 7．（22-23八年级上·全国·期中）“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题． 【答案】 如果，那么 假 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是如果，结论是， ∴逆命题是如果，那么， 当，时，，但， ∴该命题是假命题． 故答案为：如果，那么；假． 8．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）推理：谁是小雷锋？ 学校表彰了 4 位同学，其中有一人是主动打扫了图书馆卫生的“小雷锋”．甲说：“我没打扫图书馆卫生．” 乙说：“是丁打扫的图书馆卫生．” 丙说：“我没打扫图书馆卫生．” 丁说：“是甲打扫的图书馆卫生．” 已知他们 4 人中只有 1 人说了真话，则主动打扫图书馆卫生的是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了逻辑推理．解题的关键在于找出矛盾关系，再结合只有一人说了真话这一条件来推断出实际情况． 【详解】解：∵甲说 “我没打扫图书馆卫生”，丁说 “是甲打扫的图书馆卫生”， ∴甲和丁的话相互矛盾． ∴甲和丁之中必有一个人说的是真话，一个人说的是假话． ∵ 4 人中只有 1 人说了真话，而真话在甲和丁之中， ∴乙和丙说的都是假话． ∵乙说 “是丁打扫的图书馆卫生” 是假话， ∴不是丁打扫的． ∵丙说 “我没打扫图书馆卫生” 是假话， ∴是丙打扫的图书馆卫生． 综上，主动打扫图书馆卫生的是丙． 故答案为：丙． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行 【分析】本题考查了命题改写，掌握“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， 写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”． 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 10．（19-20八年级上·浙江温州·期中）写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ． 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论．把命题的条件和结论交换即可得其逆命题． 【详解】解：“同角的余角相等”的逆命题是，如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角 故答案为：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角． ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)同位角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． (2)在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键，确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法即可求解． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行； 题设：同位角相等，结论：两直线平行， ∴改写为：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． （2）解：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 题设：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形，结论：这两个三角形全等， ∴改写为：在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 根据命题的定义即可求解． 【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 【答案】(1)假命题，反例见解析； (2)真命题． (3)假命题，反例见解析． 【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例． （1）根据绝对值的性质，即可解答； （2）根据能被5整除的数的特征即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：，但是． （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：为锐角． 14．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 命题与证明 教学目标 1. 明确命题、真/假命题、定义、定理等概念，能将命题改写成“如果……那么……”的形式，会判断命题真假及举反例。 2. 理解证明的必要性，掌握综合法证明的基本步骤与规范格式，能写出文字命题的已知、求证并证明。 3. 初步了解反证法的思路，体会逻辑推理过程，培养严谨的数学思维与推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握命题的概念与结构，能准确区分命题真假，明确证明的意义与基本依据。 （2）熟练掌握直接证明的步骤与规范表达，能完成简单几何命题的证明过程。 2.难点 （1）准确将复杂文字命题转化为“已知、求证”的数学形式，把握证明过程中的逻辑衔接与依据引用。 （2）理解反证法的“假设—推矛盾—证结论”核心逻辑，灵活运用证明方法解决综合几何问题。 知识点01 定义与命题 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 【即学即练1】1．下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 2．下列命题中，真命题的是（    ） A．不是对顶角的两个角不相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．若，则 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 3．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 题型01 判断是否是命题 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 故选：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 题型02 写出命题的题设与结论 【典例2】（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是同位角相等． 故答案为：两直线平行． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）命题“若，则”，这个命题的结论是 ． 故答案为：． 【变式2】（21-22八年级上·广东清远·期末）“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 故答案为：同位角相等；两直线平行． 【变式3】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． ∴ ． 题型03 判断命题的真假 【典例3】（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．（每次多一个0）是有理数 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．内错角相等 故选：C． 【变式1】（22-23七年级下·四川广安·期中）下列命题同位角相等；两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；若，，则；如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等；若，则．其中假命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【点睛】本题考查判断命题的真假，平行线的判定和性质，角平分线的定义，不等式的性质． 【变式2】下面的语句是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．数轴上每一个点都有一个实数与之对应 C．垂线段最短 D．直角的补角是直角 故选． 【变式3】下列命题是假命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和为 C．相等的两个角不是同位角，就是内错角 D．两条直线被第三条直线所截，若截得的内错角相等，则截得的同位角相等 故选：C． 题型04 写出命题的逆命题 【典例4】（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为 ． 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角． 【变式1】“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 故答案为：等腰三角形有两个角相等，真． 【变式2】（2023八年级·全国·竞赛）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【变式3】（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题： ． 题型05 举反例 【典例5】（24-25七年级下·贵州·阶段练习）以下可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）请你举出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）能说明“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23八年级上·全国·期末）对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 题型06 反证法证明 【典例6】（2025八年级上·全国·专题练习）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（   ） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60° 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 题型07 定理与证明 【典例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【变式3】（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 一、单选题 1．（21-22八年级上·四川内江·期中）下列语句是命题的是（     ） A．画两条相等的线段 B．你认真做作业了吗？ C．延长线段到，使 D．两条直线相交有且只有一个交点 2．（20-21七年级上·山西临汾·期末）用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 3．（12-13七年级下·广东·阶段练习）下列命题：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也垂直；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；同位角相等．其中假命题的个数是（    ） A． B．1 C． D． 4．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 5．（17-18八年级下·四川·阶段练习）下列命题中，逆命题正确的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．若两个角是直角，那么这两个角相等 D． 如果两个实数相等，则它们的绝对值相等 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）下列命题中，假命题是 （填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 7．（22-23八年级上·全国·期中）“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题． 8．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）推理：谁是小雷锋？ 学校表彰了 4 位同学，其中有一人是主动打扫了图书馆卫生的“小雷锋”．甲说：“我没打扫图书馆卫生．” 乙说：“是丁打扫的图书馆卫生．” 丙说：“我没打扫图书馆卫生．” 丁说：“是甲打扫的图书馆卫生．” 已知他们 4 人中只有 1 人说了真话，则主动打扫图书馆卫生的是 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 10．（19-20八年级上·浙江温州·期中）写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)同位角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 14．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $