4.1.2 三角形的高、中线和角平分线 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线和角平分线，通过问题引导（定义、画法）和合作探究（画不同三角形的高、观察交点位置），衔接三角形基本概念，搭建从具体操作到抽象性质的学习支架。 其亮点在于通过动手操作（折纸、画图）培养几何直观（数学眼光），例题中推理计算（如等面积法求高、中线分面积）发展推理意识（数学思维），规范符号表达（如∠BAD=1/2∠BAC）强化模型意识（数学语言）。采用合作探究与典例精析结合，小结梳理易错点，助力学生巩固知识，教师可高效教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.1.2三角形的高、中线和角平分线 2026年8月8日 湘教版数学八年级上册4.1.2三角形的高、中线和角平分线同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在三角形外部。 2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。任意三角形的三条中线都在三角形内部，且三条中线交于一点（重心），中线能将三角形分成面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线均在三角形内部，且交于一点（内心），可平分对应内角。 4. 核心结论：三角形的高、中线、角平分线均为线段，而非直线或射线；中线等分面积是考试高频考点，不同类型三角形的高的位置是易错重点。 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的________。 2. 三角形的中线将三角形分成两个________相等的三角形。 3. 直角三角形的两条直角边互为对方的________。 4. 在△ABC中，AD是角平分线，∠BAC=80°，则∠BAD=________°。 5. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若BC=6cm，则BD=________cm。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于三角形高线的说法正确的是（ ） A. 锐角三角形的高都在三角形内部 B. 钝角三角形没有高 C. 直角三角形只有一条高 D. 三角形的高是一条直线 2. 三角形的重心是三角形三条（ ）的交点 A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 垂直平分线 3. 能将三角形面积平分的线段是（ ） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 任意线段 4. 在钝角三角形中，三条高的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 0条 5. 已知AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为10，则△ABC的面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 四、解答题（每题8分，共32分） 1. 已知△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=50°，∠C=60°，求∠DAC的度数。 2. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长差。 3. 已知△ABC的面积为24cm²，AD是BC边上的中线，求△ABD的面积。 4. 在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°，求∠ADB的度数。 五、应用题（14分） 在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，已知BC=8cm，△ABC的面积为20cm²，求AD的长度。 六、拓展提升题（14分） 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数。 七、参考答案与详细解析 （一）填空题答案 1. 高 解析：直接依据三角形高的定义作答。 2. 面积 解析：三角形中线平分对边，两个小三角形等底同高，面积相等。 3. 高 解析：直角三角形的直角边互相垂直，互为对应边上的高。 4. 40 解析：角平分线平分内角，∠BAD=∠BAC÷2=80°÷2=40°。 5. 3 解析：中线平分对边，BD=BC÷2=6÷2=3cm。 （二）选择题答案 1.A 解析：任意三角形都有三条高，B、C错误；三角形的高是线段，D错误。 2.B 解析：三条中线的交点为三角形重心，三条角平分线交点为内心。 3.B 解析：中线等分三角形面积，高和角平分线不具备该性质。 4.C 解析：无论锐角、直角、钝角三角形，都有三条高，只是位置不同。 5.B 解析：中线平分面积，△ABC面积=2×S△ABD=20。 （三）解答题解析 1. 解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°。在△ADC中，∠DAC=180°-90°-60°=30°。 2. 解：∵AD是中线，∴BD=CD。周长差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=5-3=2cm。 3. 解：∵AD是中线，中线平分三角形面积，∴S△ABD=24÷2=12cm²。 4. 解：∠BAC=180°-40°-60°=80°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=40°。∠ADB=180°-40°-40°=100°。 （四）应用题解析 解：∵AD是等腰△ABC底边BC的中线，∴AD⊥BC。由三角形面积公式S=$$\frac{1}{2}$$×BC×AD，代入得20=$$\frac{1}{2}$$×8×AD，解得AD=5cm。答：AD的长度为5cm。 （五）拓展题解析 解：∠BAC=180°-30°-70°=80°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°。∵AD是高，∠BAD=90°-30°=60°。∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°。 本节习题聚焦三角形高、中线、角平分线三大核心线段，涵盖概念辨析、角度计算、面积求解、周长差值计算等高频考点，题型由基础到拔高，贴合湘教版教材重难点，能有效巩固三角形基础几何知识，提升简单几何推理与运算能力。 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠AHB = ∠AHC = 90° A B C H 垂足 注意：标明垂直记号和垂足的字母. 高 三角形的高 1 ② AH⊥BC，垂足为 H； ③ 点 H 在 BC 上，且∠AHB = 90° (或∠AHC = 90°). ① AH 是△ABC 的高； A B C H 高的描述方法（如图）：有三种 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系? (3) 锐角三角形的三条高是在三角形 的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. O A B C D E F 合作探究 直角边 BC 上的高是 ； 直角边 AB 上的高是 . (2) 斜边 AC 上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高； AB CB 它们有怎样的位置关系? D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高是哪条线段？ AB 边上的高是哪条线段？ BC 边上的高是哪条线段？ BF CE AD A B C D F (3) 钝角三角形的三条高相交 吗？ (4) 它们所在的直线交于一点 吗？这点位于何处？ O E 钝角三角形的三条高不相交. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为 ． 方法总结：首先判定△ABC 为锐角三角形，得出 BP 最小等于 AC 边上的高；然后利用面积相等作为桥梁(可不求面积)去求这条高．此法通常称为“等面积法”． _____ 知识点1 三角形的高 1.［2025岳阳期末］如图，在四个选项中，线段表示的边 上的高的图是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.如图，是锐角三角形，过点作于点，过点 作 ，交的延长线于点 ，则下列说法错误的是( ) B A.是的高 B.是 的高 C.是的高 D.是 的高 返回 举一反三 10 3.如果一个三角形两边上的高所在直线的交点在三角形的内部，那么这 个三角形是( ) A A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 返回 举一反三 11 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 所在的射线即为∠BAC 的平分线. A B C D 三角形的角平分线 2 思考：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能通过折纸的方法得到它吗? 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线. ∠1 =∠2 = ∠BAC 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于同一点. 例3 如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ CD 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. A B C E D 典例精析 4.如图，画出 的三条高. 解：如图，线段，， 分别 是，， 边上的高. 返回 举一反三 16 5.如图,,是的高，， ， ，求 的长. 解：因为，是 的高，所以 ，所以 .因为,,,所以 . 返回 举一反三 17 知识点2 三角形的角平分线 6.如图，是 的角平分线，则( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 18 定义： 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BE = CE = BC E 如图，BE = CE，则线段 AE 是△ABC 的 BC 边上的中线． 三角形的中线 3 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 例4 如图，AD 是△ABC 的中线， AE 是△ABC 的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来； 解：图中有 6 个三角形， 它们分别是： △ABD， △ADE， △AEC， △ABE， △ADC， △ABC. （2）其中哪些三角形的面积相等？ 解：因为 AD 是△ABC 的中线， 所以 BD = DC. 因为 AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高， 因此 S△ABD = S△ADC . 所以 S△ABD = BD • AE， S△ADC = DC • AE， 总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分. 22 解：∵AD 是△ABC 的中线，∴CD = BD. ∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm， ∴AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm). 又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm， ∴AB - AC = 3 cm. ∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm. 例5 如图，△ABC 中，AB > AC，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长. A C D B 7.如图，是的角平分线，交 于 点，交于点，则图中与 有什么数 量关系？ 解：因为，所以 . 因为，所以 . 因为是 的角平分线， 所以.所以 . 返回 举一反三 24 知识点3 三角形的中线 8.如图，若是的中线，，则 的长度是( ) B （第8题） A.6 B.5 C.8 D.4 返回 举一反三 25 （第9题） 9.［2025长沙月考］如图，在中， ， ，，为 边上的中线，则 与 的周长差为( ) B A.2 B.3 C.4 D.6 返回 举一反三 26 （第10题） 10.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角 形卡片，则他支起的这个点应是三角形______的交点, 即____心. 中线 重 返回 举一反三 27 11.［教材习题变式］如图，在中，是 边上的中 线，的面积是，则的面积为____ . 12 （第11题） 返回 举一反三 28 （第12题） 12.［2024德州中考］如图，在中， 是 高，是中线，，，则 的长 为( ) B A.1.5 B.3 C.4 D.6 返回 举一反三 29 （第13题） 13.［2025长沙期末］如图，，， 分别是 的中线，角平分线，高，下列各式中错误 的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 30 （第14题） 14.如图所示的网格由边长相同的小正方形组 成，点，，，，，， 均在小正方形 的顶点上，则 的重心是( ) B A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 31 （第15题） 15.［2025温州期中］如图，是 的中 线，，，垂足分别为， .已 知，，则 的长为( ) C A.3 B.4 C.6 D.8 返回 举一反三 32 （第16题） 16.如图，在中，点，，分别为， ， 的中点，且 ，则阴影部分的面积为 _______. 返回 举一反三 33 17.如图①，在中，，为边上一点， 于点 ，于点 . 举一反三 34 （1）请作出边上的高 . 解：如图①， 即为所求. （2）请你通过观察、测量，找到，， 之间的数量关系： _______________. 举一反三 35 （3）为了说明，， 之间的数量关系，小嘉是这样做的：连接 ，则__________，__________，所以 ______ _______________， 还可以表示为__________. 举一反三 36 （4）当在如图②的位置时，上面，， 之间的数量关系是否 仍然成立？请说明理由. 解：仍然成立.理由：如图②，连接 . 因为，， ， 因为，所以，所以 . 所以 . 返回 举一反三 37 三角形的重要线段 高 注意钝角三角形两短边上高的画法 中线 会把原三角形的面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 是线段，不是射线 课堂小结 谢谢观看 THANKS $