专题4.1 正弦和余弦、正切（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

专题4.1 正弦和余弦、正切 教学目标 1. 理解正弦、余弦、正切的概念，能在直角三角形中用符号准确表示边角比值，并知晓其只与锐角大小相关。 2. 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能运用其计算边长、由值求角，会用计算器处理非特殊角的相关计算。 3. 能运用锐角三角函数解直角三角形，并解决测量高度、距离等简单实际问题，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）核心是正弦、余弦、正切的定义，即明确直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边的比值关系。 （2）熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并能结合其进行解直角三角形的运算。 2.难点 （1）抽象理解三角函数的本质，即为何锐角确定后，对应的边长比值是固定值，与三角形大小无关。 （2）实际问题中，难以准确将情境抽象为直角三角形模型，无法灵活选择合适的三角函数求解未知量。 知识点01 正弦 在Rt△ABC中，∠C=90° 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 【即学即练1】1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故选A． 2．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．根据勾股定理求出斜边的长，再根据三角函数的定义求解． 【详解】解：由勾股定理知，． ， 故答案为：． 知识点02 余弦 在Rt△ABC中，∠C=90° 余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 【即学即练2】3．（25-26九年级上·重庆·开学考试）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 4．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 知识点03 正切 在Rt△ABC中，∠C=90° 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 【即学即练3】5．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，记作．锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 根据三角函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意； ，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意； ，故D选项不成立，符合题意． 故选D． 6．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，于点D，，， ，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了正切、正弦、余弦的定义，勾股定理，由正切的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 题型01 正弦、余弦、正切的概念辨析 【典例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角的正弦值等于其对边长度与斜边长度的比值"是解题的关键. 【详解】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 【变式2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 题型02 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 【典例2】（25-26九年级上·海南·开学考试）在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级下·上海·期中）在中，是锐角，，则 【答案】或 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的余弦的含义，熟记余弦的定义再进行计算是解本题的关键．分和两种情况讨论即可，先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，是锐角，， 当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴； 故答案为：或． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义． 直接根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴的正切值的倒数为． 故答案为：． 【变式3】在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．根据锐角三角函数求解即可． 【详解】解：在中，， 所以， 故选：D． 题型03 由正弦、余弦、正切的值求边长 【典例3】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，根据题意，利用锐角三角函数可以设，，然后根据勾股定理列方程即可求得的长．解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，， 设，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 题型04 由正弦、余弦、正切的值求坐标 【典例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角函数值以及关于y轴对称的点的坐标规律. 根据计算得出点M的坐标，再根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质求出对称点的坐标. 【详解】解： 所以点的坐标为， 所以点关于y轴对称的点的坐标为 故选： A． 【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标平面中，点A的坐标，如果射线与x轴正半轴的夹角为α，那么 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，根据题意画出图形，过点作轴于点，勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系内，点Q的坐标为，射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列四个选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．根据点构造直角三角形，利用三角函数定义逐一验证选项即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作轴于点， ∵点Q的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∴，选项A正确，符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】过点P作轴于点A，根据正切定义计算m，再利用勾股定理，正弦定义解答即可． 本题考查了角的正切，正弦和勾股定理，熟练掌握三角函数和定理是解题的关键． 【详解】解：过点P作轴于点A， 根据P是第一象限内的点，其坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05 与特殊角的三角函数有关的混合运算 【典例5】（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】4 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减． 【详解】解： ． 【变式3】（上海市张江集团学校2025-2026学年上学期数学九月份阶段试卷）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算以及分母有理化，还有四则运算的顺序．熟练掌握特殊三角函数值、分母有理化的方法以及四则运算规则是解题的关键． 本题是一个包含特殊三角函数值的混合运算题，解题思路是先分别将各个特殊三角函数值代入原式，然后按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】解： ． 题型06 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 【典例6】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 题型07 由正弦、余弦、正切的值求角度 【典例7】（25-26九年级上·上海·课后作业）已知是锐角，且，那么 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】∵，是锐角， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025九年级上·上海·专题练习）在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形的内角和定理，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性可得，，，从而可得，，，进而可得，，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形，如图①，过O作于H，由等腰三角形的性质推出，，由，求出，得到，由勾股定理的逆定理得到，求出，由等腰三角形的性质即可求出；如图②，求出，由等腰三角形的性质即可求出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，过O作于H， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图②， 由图①知，， ， ， ， 综上所述，或． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知，均为锐角，且满足，那么 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了绝对值和平方数的非负性，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据绝对值和平方数的非负性，得，，利用特殊角的三角函数值分别求出、的值，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， ． 故答案为：． 题型08 同角（互余）两角的三角函数的关系 【典例8】（24-25九年级上·浙江杭州·期中） （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 题型09 锐角三角函数的增减性 【典例9】（25-26九年级上·全国·课后作业）比较下列三角函数值的大小（选填“>”“<”或“=”）： （1） ． （2） ． 【答案】 < > 【分析】本题考查了正余弦的转换方法以及正弦值的变化规律，掌握这些知识点是解题的关键． 首先根据正余弦的转换方法，得，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析； 首先根据正余弦的转换方法，得，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析. 【详解】解：∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． ∵，正弦值随着角的增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为： 【变式1】（24-25九年级上·安徽六安·期末）比较大小： ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 【变式3】（2025九年级上·山东·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 一、单选题 1．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于，利用证明，根据及全等三角形的性质得出是等腰直角三角形，，根据三角形三条中线交于一点得出，根据中位线的性质得出，即可得出，根据正切的定义即可得答案． 【详解】解：如图，设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵、交于点，，分别是边，上的中线， ∴是边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，，则斜边上的高等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由与的值，求出的长，根据勾股定理求出的长，最后根据面积法求出斜边上的高. 【详解】在中，， 解得斜边上的高． 故选：C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键． 5．（21-22九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点A作于点D，先根据等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠．已知矩形纸片的长为6，宽为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及三角函数的定义，解决问题的关键是熟练掌握这些性质并灵活运用． 利用勾股定理求出长度，利用三角函数求解的正弦． 【详解】解：由题意，得， ． 设，则． 在中，， 解得 ． 故答案为：． 7．（2020·四川巴中·模拟预测）如图，已知点A，B，C在的正方形网格的格点上，则的值为 ． 【答案】1 【分析】连接，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，结合三角函数解答即可． 本题主要考查了勾股定理与网格，求正弦值，余弦函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设小正方形的边长为1，根据题意，得， ，， 由， 故是直角三角形， 故 故答案为：1． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求正切，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，根据等腰三角形的性质，可得，再由，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 9．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，于点．若为的中点，求的值． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据直角三角形的性质可得，根据等边对等角可得，进而得到. 【详解】解：． ， ． 为的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，求角的正弦值，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 12．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2)3 【分析】本题考查实数的运算以及特殊三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）利用特殊角的三角函数值计算可得到结果； （2）利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的运算法则即可计算得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 14．（2025·浙江衢州·二模）如图，直角三角形中，是中线，是角平分线，与交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质及解直角三角形的知识， （1）根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出，从而得，证出是等边三角形，利用三线合一即可得出结果； （2）先求出，在中利用三角函数求出即可求出结果． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 是等边三角形， 是的角平分线， ； （2）解：是等边三角形， 是 的角平分线， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． 15．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点． (1)求的长； (2)若点是中点，连结，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据垂直定义可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用同角的余角相等，得，把角转化掉再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 在中，； （2）解：， ， 为的中点， ， ， ， ， ． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质；熟练利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由三角函数得，设，，由勾股定理得，即可求解； （2）由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解． 【详解】（1）解：是边上的高，， ， 设，， ， ， 解得：， ； （2）解：是边的中点，是边上的高， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.1 正弦和余弦、正切 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1正弦 知识清单 知识点2余弦 知识点3正切 题型1正弦、余弦、正切的概念辨析 题型2直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 正弦和余弦、正切 题型3由正弦、余弦、正切的值求边长 题型4由正弦、余弦、正切的值求坐标 题型5与特殊角的三角函数有关的混合运算 题型精讲 题型6由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 题型7由正弦、余弦、正切的值求角度 题型8同角（互余）两角的三角函数的关系 题型9锐角三角函数的增减性 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解正弦、余弦、正切的概念，能在直角三角形中用符号准确表示边角比值，并知 晓其只与锐角大小相关。 2.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能运用其计算边长、由值求角，会用计算 教学目标 器处理非特殊角的相关计算。 3.能运用锐角三角函数解直角三角形，并解决测量高度、距离等简单实际问题，体会 数形结合思想。 1.重点 (1)核心是正弦、余弦、正切的定义，即明确直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边 的比值关系。 教学重难点 (2)熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并能结合其进行解直角三角 形的运算。 2.难点 (1)抽象理解三角函数的本质，即为何锐角确定后，对应的边长比值是固定值，与三 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角形大小无关。 (2)实际问题中，难以准确将情境抽象为直角三角形模型，无法灵活选择合适的三角 函数求解未知量。 知识清单 知识点01正弦 在Rt△ABC中，∠C=90 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA. 即smA=对边g 斜边。 【即学即练1】1.（2425九年级下黑龙江哈尔滨期申)在R△4BC中，∠C=90,sm8=音，则c0s4的 值为() A高 12 B. 13 C. 号 2.(2025九年级上·上海.专题练习)在aABC中，∠C=90°，a=3,b=5,则sinA=」 知识点02余弦 在Rt△ABC中，∠C-90° 余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA. wom4器-色 【即学即练2】3.(25-26九年级上·重庆开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高， CD=6,BD=9,则cosA的值为() B A.3 6 D.23 13 4.(23-24九年级上广西梧州期末)如图，己知，在ABC中，AB=AC=10,AD⊥BC,cosB= 3 求 BC的值. 2/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点03正切 在Rt△ABC中，∠C=90° 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA. 即anA=对边。a 邻边b 【即学即练3】5.(24-25九年级下山东日照·开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对 的边分别为a、b、c,下列等式中不成立的是() Aam8-合 B.cosB= C.sinA= D.tan4= a 6.(25-26九年级上山东聊城阶段练习)如图，ABC中，AD⊥BC于点D,BC=14,AD=12, am∠B4D-子，求snC,cosC的值。 D 题型精讲 题型01正弦、余弦、正切的概念辨析 【典例1】(25-26九年级上全国·课后作业)如图，ABC中，∠C=90°，则∠A的正弦值可以表示为() B AC AC B A. B. C. D. AB BC AB C 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，在Rt ABC中，LABC=90°，BD1AC于点D.下列不 能表示cosA的是() A. AB B.AD C.CD BD D. AC AB BC BC 【变式2】(2025·天津红桥·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D,则下列结论 中正确的是() B D A.sin B=BC B B.cosB=AD AB C.tanC=4B BC D.tanC= CD 【变式3】(2425九年级上重庆阶段练习)如图，在R△A8C中，∠C=90°，c0s4=专，则an1的值为 () 4 A. 3 B. 4 D. 题型02直角三角形中求正弦、余弦、正切的值 【典例2K25-26九年级上海南开学考试)在ABC中，∠C=90°，AB=2,BC=1,则sinB的值是 【变式1】(23-24九年级下·上海期中)在RtAABC中，∠B是锐角，AC=3,AB=5,则c0s∠B= 4/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.BC=AC2+AB2=34, B .BC=AB2-AC2=4, C B 【变式2】(2025九年级上·全国.专题练习)在ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=3,则∠A的正切值的 倒数为 【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,AC=12,则tanB的值是() N卫 C.12 13 D号 题型03由正弦、余弦、正切的值求边长 【奥例3】<25-26九年级上山东东营开学考试)在48C中，若∠C=90,BC=2,sinA=},则AB的长为 () A.司 B.2 C.8 D.10 【变式1】(2425九年级上甘肃兰州期末)如图，在R1△ABC中，∠C=909,AB=6,c0sB= 3 ,则BC的 长为() A B A.4.5 B.5 C.4 D.3√5 【变式2】(2025广东深圳模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O, 4BC=∠DAC=90P,an∠ACB=),0-6,则an∠ACD的值为， 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 【变式3】21-22九年级上黑龙江哈尔滨阶段练习)R△A8C中，∠C=90,amB写，4B=10,则 AC=」 题型04由正弦、余弦、正切的值求坐标 【典例4】(25-26九年级上全国课后作业)点M(-sin60°，sin30)关于y轴对称的点的坐标是() V31 V31 A. 2’2 B Γ22 9 【变式1】(24-25九年级上·上海阶段练习)在直角坐标平面x0y中，点A的坐标(3,4)，如果射线OA与x 轴正半轴的夹角为a,那么sina= 【变式2】(24-25九年级上·上海宝山阶段练习)在平面直角坐标系x0y内，点Q的坐标为(4,3)，射线00 与x轴正半轴的夹角为a(0°<a<90),那么下列四个选项中正确的是() A.tanc= B.sina=3 3 3 C.cota= D.cosa= 4 4 【变式3】(24-25九年级上山东东营·期末)如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是3，m 4 ，且OP与x轴正半轴的夹角a的正切值是3，则sina的值为一 P(3,m) 人 衣 题型05与特殊角的三角函数有关的混合运算 【典例5】(2025天津二模)计算：√5cos30°=（) A.3 B.1 c D. 2 2 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(2024上海模报预)计第：sn30+6-3-5+引 【变式2】024-25九年级上甘肃兰州期末)计算：6+x-3°-（ tan45°， 【变式3】（上海市张江集团学校2025-2026学年上学期数学九月份阶段试卷）计算： 3tan30°-tan45°+2sin60°+2cos260°-， 2 1+tan60° 题型O6由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 【典例6】(2425九年级上江苏徐州阶段练习)在4BC中，若a4=1,$inB=5,则ABC的形状是 2 () A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.一般锐角三角形 【变式1】(22-23八年级上全国期中)若(N5anA-3+2cosB-V3=0,则aABC(） A.是直角三角形 B.是等边三角形 C.是含有60°的任意三角形 D.是顶角为钝角的等腰三角形 【变式2】(2025湖南长沙.二模)在ABC中，A、B都是锐角，sinA=5 ,tanB=√5，下列说法正确的 2 是() A.∠A=30 B.∠B=30° C.ABC是等边三角形 D.ABC是直角三角形 【变式3】(25-26九年级上全国课后作业)已知4BC中的∠A与∠B满足1-an4'+5inB-5 =0 2 (①)试判断ABC的形状. (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 题型07由正弦、余弦、正切的值求角度 【典例7】(25.26九年级上上海课后作业)已知u是锐角，且c0sa=5,那么a= 2 【变式1】(2025九年级上上海专题练习)在48C中，若镜角∠4，∠B满足1cos4-1+1smB- 2 20 ,则∠C的度数是 【变式2】(2025·湖南益阳·模拟预测)己知0A=0B=0C=1,AB=√2，AC=√3，则L0BC=() 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.60° B.75 C.30°或60° D.15°或75° 【变式3】(24-25九年级上·全国随堂练习)己知a,B均为锐角，且满足tana- +(tanB-1)2=0,那 么a+B= 题型08同角（互余）两角的三角函数的关系 【典例8】(24-25九年级上·浙江杭州·期中)cos57°sin53°（选填“>”或“=”或“<”）. 交式1】水2425九年致下受州黔东南阶段练习在R1a4BC中，LC=90°，n42,则cosB等于(） A.分 B. 3 C.2 D.4 3 2 【变式2】(24-25九年级上：广西梧州期末)已知∠A,∠B都是锐角，且sinA=cosB,那么∠A与∠B之 间满足的关系是() A.∠A=∠B B.∠A+∠B=90° C.∠A-LB=90°D.∠B-∠A=90 【变式3】(23-24九年级上·安微六安·期末)下列各式中正确的是() A.sin46°>cos44o B.2sin40°=-sin80° C.c0s44°<c0s46 D.sin244°+sin246°=1 题型09锐角三角函数的增减性 【典例9】(25-26九年级上·全国·课后作业)比较下列三角函数值的大小（选填“>“<”或=”)： (1)sin40° c0s409 (2)sin37° c0s56°. 【变式1】(24-25九年级上·安徽六安期末)比较大小：sin47° sin43°.（填“>”，“=”或“<） 【变式2】(2025九年级下·全国专题练习)已知为锐角，用“>”或“<”填空： (1)若tana>tan34°，则o 34°； (2)若a<62°，则tana -tan62°. 【变式3】(2025九年级上·山东专题练习)如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确 的是() a A.sina的值越大，梯子越陡 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.cosa的值越大，梯子越陡 C.tana的值越小，梯子越陆 D.陡缓程度与La的函数值无关 强化训练 一、单选题 1.(24-25九年级下，贵州黔东南阶段练习)计算2c0s30°的值为() A.3 2 B.5 C.1 D.2 2.（2024广东二模)在R△48C中，∠C=90°，4C=4,sin8-号，则AB的值是() A.5 B.9 C.6 D.3 3.(2025·广东深圳模拟预测)在ABC中，AB=AC,BD,CE分别是边AC,AB上的中线，且 BD⊥CE,那么tan∠ABC的值为() A.3 B.2 C.2 D.5 级上全国课后作业)在Rt ABC中，LC=90,AB=10,simB=，则斜题上 A号 c D. 5.(21-22九年级上海南海口·期中)如图，在ABC中，AB=AC=7,BC=10,则sinB的值为() A B A.26 B.26 7 5 c. > 二、填空题 6.(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠.己知矩形纸片 ABCD的长为6，宽为2，则sin∠1= 9/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A M D B 7.(2020四川巴中模拟预测)如图，已知点A,B,C在3×3的正方形网格的格点上，则 sin2∠BAC+cos2∠BAC的值为， A 8.(25-26九年级上江苏苏州开学考试)如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=16,若∠BPC=∠BAC ,则tan∠BPC= B 9.(2025山东青岛模拟预测)计算：tan60°×cos30°= 10.(24-25九年级上陕西咸阳期末)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB交AB于点E,连接BD,若 DE=VBE,则cos/DBE的值是」 三、解答题 11.(25-26九年级上·全国·课后作业)如下图，在ABC中，AD⊥BC于点D.若AD=9,DC=5,E为AC 的中点，求sin∠EDC的值. 10/12