专题1.4 相似三角形的性质（6大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，系统梳理从对应角相等、对应边成比例的基本性质，到对应高、中线、角平分线等线段比等于相似比，再到周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的递进关系，构建衔接判定与综合应用的学习支架。 该资料以培养数学思维与几何直观为亮点，通过性质推导过程（如面积比证明结合面积公式与对应高关系）锻炼逻辑推理能力，设计从基础计算到复杂图形（如平行四边形、矩形中相似）的分层题型，融入中考真题强化模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习查漏补缺，提升综合解题能力。

专题1.4 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】1．（2026·广东东莞·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边，的中点，则线段DE的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】根据网格可知的长度，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据网格可知，, ∵点D，E分别是边，的中点， ∴, ∴, ∴, ∴ ∴． 2．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，由平行四边形的性质容易证明，则，，因此，．结合为线段中点可得，由平行可判定，则，最后计算出的面积即可． 【详解】解：∵，的面积分别为和， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在中，点E是边上的点，线段与交于点F，如果，，那么的长是______． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例求出，根据，进而可以解决问题． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，，则的度数是（   ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为，求得，再根据相似三角形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到．交于点，连接．若，则___________． 【答案】20 【分析】由旋转的性质和等边对等角得到，再由相似三角形的性质推出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，据此求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形外角的性质和三角形内角和定理，证明是解题的关键． 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【答案】2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 则 ∵为边的中点， ∴， ∴， 则， 故答案为：2． 【变式1】如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理. 先证明，得到，再根据勾股定理求出，即可求出的长. 【详解】解：， ． ， ． ， ． ． ． ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ． 【答案】2或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； 当时，则， 又是的外角， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式3】在矩形中，，E是的中点，在直线上或边上有一点F，使是直角三角形，则的长为 ． 【答案】6或或8 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是矩形，得，，再结合是直角三角形，进行分类讨论，根据相似三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 如图所示： 当时， 则， ∴ 四边形是矩形， ∴； 如图所示： 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 则． 如图所示： 当时， ∵ 则 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：或或8， 故答案为：6或或8， 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是和， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的对应中线的为， 设较长的中线是， 则， 解得，， 经检验，符合题意． 故答案为：． 【变式1】已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【答案】9 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9． 【变式2】已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据相似比等于对应边的比，即高的比求解即可． 【详解】解：∵和是它们的对应高线， ∴与的相似比是， 故答案为：． 【变式3】如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似比等于对应角平分线比是解题的关键．先证明，再由相似比等于对应角平分线比即可求解． 【详解】解：∵点是的角平分线的中点， ∴, ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 【变式1】已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是 ． 【答案】/1:2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线是解题的关键． 根据三角形中位线得到，则，根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵D、E分别是、的中点， ∴， ∴， ∴与的周长比 故答案为． 【变式2】已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 【答案】15 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 【变式3】如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【答案】150 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 【详解】解：因为两个相似三角形的面积比为， 所以两个相似三角形的相似比为， 所以两个三角形的周长比等于． 因为较小的三角形的周长是， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．首先证明，结合题意可知两三角形的相似比为，进而可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即两三角形的相似比为， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【变式1】如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，设，先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：∵， 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 先根据平行四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质求出，根据同高，求出，进而求出四边形的面积． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 和分别以为底，它们高相同， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形的面积为： ， 故答案为：． 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可； （2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，， 与的周长比为：． 【变式1】如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是解题的关键． （1）由，推导出，由旋转得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论； （2）由相似三角形的性质得，由，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点、分别是边、上的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）①为；②的面积为；（2）的面积为 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质可证得，利用相似三角形的性质即可求解； ②利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得，通过的面积即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，解得：， 为2； ②由①知，，， 和的相似比为1：4， ． 的面积为16， ， 的面积为1． （2）由②，知． 的面积为2， ， ． 四边形是平行四边形，， ，， ，，， ，， 和的相似比为， ． ， ， ， 的面积， 的面积为12． 【变式3】锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)正方形与的公共部分的面积为时，为或4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据，求得，设交于，由得到，推出，设正方形边长为，则，，得到，求出的值即可得到答案； （2）分两种情况：：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积；当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，为边上的高线，， ， ， 设交于，   ， ， ， ， 正方形边长为，则，， ， 解得：， 当恰好落在边上时，； （2）解：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积， ， 解得：， ，符合题意， ， 当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，   ， 设，则， 由得， 解得：， 矩形的面积为： ，即， 解得：，（舍去）， 综上所述，正方形与的公共部分的面积为时，为或4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 一、单选题 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】证明，然后根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长的周长． ∵的周长为6， ∴的周长为∶． 3．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先推导出，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（   ） A．12 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由作图可得，，平分，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，结合，得，则，再证明，得出，再证明，得出，然后根据线段和差列方程求解． 【详解】解：由作图可得，，平分； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； ∵， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题思路是通过角度关系证明，再利用相似性质计算；考查的知识点是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，用到的思想是转化思想，方法是相似三角形判定与性质应用，技巧是通过角度转化找相似三角形，解题关键是证明三角形相似，易错点是相似三角形对应边识别错误． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为． 7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点分别在的边上，，分别是的中点，若，则_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵M，N分别是的中点， ∴分别为的中线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2026·北京门头沟·二模）如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】证明得，求出，再根据勾股定理得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 在中，． 9．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件可求，，然后证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中点，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形，相似三角形的知识，解题的关键是根据菱形的性质，得到，根据相似三角形的判定，可得，可以得到，求出，即可， 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，，若的面积为9，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，据此求出，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为25， ∴． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆成如图所示的样子，为公共顶点，． (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； (2)若它们的斜边长为，固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），求的值．（选择下边一种情况解答） 【答案】(1)相似三角形有：，证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）根据等腰直角三角形的性质得，再结合三角形外角的性质可得，即可得到，同理可得． （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解∶相似三角形有：．证明如下： 对于： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 对于： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形斜边长为， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是矩形，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．直线分别与直线，直线相交于点． (1)如图1，当时，的度数为______． (2)如图2，当点在的延长线上时． （ⅰ）求证：． （ⅱ）求的长． (3)当点在线段上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得,，进而根据四边形的内角和为，即可求解； （2）（ⅰ）连接．证明，进而得出根据平行线的性质进而得出，则，等量代换，即可得证； （ⅱ）在中，，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）当点在线段上时，，由（2）（ⅰ）得，在，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵将绕点逆时针旋转，得到，， ∴,， ∴， ∴． （2）（ⅰ）证明：如图1，连接． 在和中， ， ． ， ， ， ． ， ． （ⅱ）在中，， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得． （3）解：如图2，当点在线段上时，， ， 由（2）（ⅰ）得． 在中， ， 解得． 一、单选题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，若三角板与其投影的相似比是，则三角板的面积与其投影的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果. 【详解】解：∵三角板与其投影的相似比是， ∴三角板的面积与其投影的面积比是. 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 3．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 4．（2026·重庆·三模）如图，在正方形中，点M为正方形外部一点，连接、、，将沿翻折至正方形所在平面内，点C的对应点E恰好落在线段上，连接，若，，则的面积为（     ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】先求出，再证是等腰直角三角形，求出，得，然后证明，求出，进而借助勾股定理求出，，，，即可求解． 【详解】解：连接，过点D作交于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠性质得，，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，由勾股定理得，， 解得或（舍）， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查综合性知识，关键在于“构造辅助线”，即连接，过点D作交于点N． 5．（2026·河北保定·一模）如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道典型的平行四边形几何综合题，主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用． 过点作于点．利用，求出，过点作交延长线于点，证明，得出，．根据，证明，推导出，利用相似比建立方程求出．最后在中利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点， ∵，∴设，则． ∵，∴． 在中，由勾股定理得， 解得（不合题意舍去）， ∴，，， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴，， 设，则， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴． ∵， ∴∽， ∴，即，解得， ∴． 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题的核心在于通过构造辅助线，利用角度关系和勾股定理求出关键线段，进而通过相似三角形求解目标线段． 1．方程思想（设参法）：利用三角函数值设未知数，结合勾股定理列方程求解，是处理直角三角形边长问题的通法． 2．构造全等：通过作垂线构造直角三角形，将平行四边形的边角关系进行转移（将转移到），是解决线段转移的关键． 3．相似转化：本题难点在于处理倍角关系（），解题中通过角度推导转化为相似三角形的判定条件，从而将未知线段纳入比例关系中求解． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 7．（25-26九年级上·四川达州·期末）在平行四边形中，是上一点，、交于点，若，，则的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合相似三角形的判定定理得到相似三角形，再利用相似比求解线段长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与的相似比为， ∴：：3． ∵， ∴． 故答案为：6． 8．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；根据题意，求出，分类讨论：当时，，当时，，分别求出，即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：； 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质，角的和差关系可得出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵平分交于点， ∴， ∵的垂直平分线交的延长线于点， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）在四边形中，，，，，点在上且，连接，平分．点在的延长线上，且，则线段的长为________． 【答案】 【分析】延长，两线交于点，可证，所以，求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，设，则，最后通过勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：延长，两线交于点， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ； 如图所示，过点D作于点H，则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，E、F分别是边上的动点，且． (1)求证：； (2)当，若，请求出． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角形相似的判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质，相似三角形的性质解答即可 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）解：由题意， ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∴． 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，证明，得到，则，证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 13．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在 中， 点D、E分别在边上， 且， (1)若，求的长； (2)若求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出答案； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ， 即 ， 解得 14．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使； (2)在图②中的边上找到点，连结，使； (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形面积与线段比例的关系、锐角三角函数的几何意义，熟练掌握“三角形面积比等于底边长的比（同高）” “值为直角三角形对边与邻边的比”是解题的关键． （1）要使，需是中点，利用网格找中点即可． （2）要使，需，在上按比例找点． （3）要使，需构造对边为1、邻边为2的直角三角形，利用网格在上找点满足此条件． 【详解】（1）解：如图①所示． 设小正方形的边长为， ∵， ∴； （2）解：如图②所示． 如图，设小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③所示． 如图，设小正方形的边长为， 在中，． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差． 如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，在中，，则______； (2)如图3，在中，，为边上的高，，求的值； (3)在中，边上的高为12，则______． 【答案】(1)2 (2)13 (3)2或 【分析】本题考查的是勾股定理，题目没给图要进行分类讨论，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，得出，由勾股定理得，根据边高差定义，代入计算即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质得出，根据边高差定义，代入计算即可求解； （3）分为2种情况讨论，根据勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：在中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴, 故答案为：2； （2）解：∵在中，，为边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去） ∴； （3）解：如图，当是锐角三角形时， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当是钝角三角形时， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上, 的值为2或． 故答案为：2或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4相似三角形的性质 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01相似三角形的性质 2知识清单 题型01利用相似三角形对应角相等求角 题型02利用相似三角形对应边成比例求边 相似三角形的性质 题型03利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 3.题型精讲 题型04利用相似三角形对应周长的比成比例 题型05利用相似三角形对应面积的比成比例 题型06相似三角形的性质与判定综合问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明 晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相 似比的关系。 教学目标 2.能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能 力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成 独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣。 1.重点 (1)掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似 三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行 教学重难点 简单计算和证明。 (2)理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导 其他性质的思路。 1/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对 应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解。 (2)在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综 合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力，对学生来说有一定挑战。 知识清单 知识点01相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比， 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段 3.相似三角形周长的比等于相似比 AB BC CA △ABC AA'B'C,则Ag-BC=CF= 由比例性质可得： AB+BC+CA kA'B'+KB'C4+kC'A'-k AB4BC4CA AB'+B'C+C'A' 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方， ABBC。CA AABC∽AA'B'C, 则ABCC太分别作出△MBC与AMBC的高AD和A'D:则 SAABC C.AD 2 k.BC.kA 2 -=2 B'C.AD LBC.AD 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】1.(2026广东东莞·二模)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B,C都在格点 上，点D,E分别是边AC,AB的中点，则线段DE的长为() 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 2.(2026浙江·一模)如图，平行四边形ABCD,E为线段AD中点，G为BC延长线上一点，连接AG 分别交BE、CD于点H、点F,已知△AHE,△ABH的面积分别为I和3，则△FCG的面积为(). E A.1 B.3 c D.2 3.(25-26九年级上北京通州阶段检测)如图，在口ABCD中，点E是AD边上的点，线段BE与AC交 于点F,如果AE:AD=1:3,AF=3,那么AC的长是 题型精讲 题型01利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】(23-24八年级下吉林长春期末)如图，△ACP∽aABC,若∠A=100°，∠ACP=20°，则 ∠PCB的度数是() P B A.60° B.50° C.40° D.30° 【变式1】(24-25九年级上四川成都期中)已知△ABC∽△DEF,若∠A=25°，∠B=75°，则∠F的度 数为( 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.750 B.25o C.80° D.100° 【变式2】(25-26九年级上河北张家口阶段检测)如图，△ADE一△ABC.若∠A=65°，∠B=35°，则 ∠AED= E D B 【变式3】(25-26九年级上安徽期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.将△ABC绕 点B逆时针旋转一定角度后得到△EBD.BE交AC于点F,连接AE,若△AEF∽△BAE,则∠CBE= D 题型02利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，在口ABCD中，E为BC边的中点，连接AE,交对角线BD于点F,己知BD=6,则BF 的值为 B E 【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE LAB于点E,AD=BC,AD=V2,AB=4DE,则线 段CD的长为一 D A E B 【变式2】如图，在△ABC中，AC=BC=4,AB=6,点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接CP,作∠CPE=∠A,PE与边BC交于点E,当△CPE是等腰三角形时，AP的长是 【变式3】在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,E是AD的中点，在直线CD上或BC边上有一点F,使 △BEF是直角三角形，则CF的长为 题型03利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm,若在这两个三角形的一组对应中线中，较 短的中线是4cm,那么较长的中线是 cm 【变式1】己知△ABC∽△ABC,△ABC的周长与△4BC的周长的比值是2，BE、BE分别是它们对 应边上的中线，且BE=6,则BE=一、 【变式2】己知△ABCAABC,AD和A'D是它们的对应高线.若AD=8,AD'=6.则△ABC与△AB'C'的 相似比是 【变式3】如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F, AE 且∠ADE=∠C,则AB D 题型04利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】己知△ABC∽△DEF,它们对应中线的比AM:DN=2:3,那么它们的周长比是 【变式I】已知△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE,则△ADE与△ABC的周长比是 【变式2】己知△DEF∽△ABC且相似比为4：3，若△DEF的周长为20，则△ABC的周长是 【变式3】如果两个相似三角形的面积之比为4：9，较小的三角形的周长是100cm,那么另一个的三角形 的周长为一cm. 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05利用相似三角形对应面积的比成比例 AD 1 【典例S】如图，在△ABC中，点DE分别是边AB'AC上的点，DE∥BC,且BD2,若△ADE的 面积是3cm,则四边形BDEC的面积为. cm2 B 【变式I】如图，己知AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，DE是RtAADC斜边AC上的高线，如果 1 AD:BD=1:2ScE=2那么Sc等于 B 【变式2】如图，等腰△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使 A的对应点满足AA=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 3 B G 【变式3】如图，已知在ABCD中，E是AD上一点，且△AEF的面积与△BFC的面积比是I:9, SA4Er=2cm,则四边形EFCD的面积为一。 E 题型06相似三角形的性质与判定综合问题 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例6】如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE,连接BD,CE. B E D (I)求证：△CAE∽aBAD； (2)若AC:BC=1:2,求△CAE与△BAD的周长比. 【变式I】如图1，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的中点，将△ADE绕着点A逆时针旋转角度O, 得到图2，其中0°<a<90°，连结BD、CE」 D E 图1 图2 (1)求证：△ABD~△ACE: (2)当∠ADB=90°，AC=4时，求CE的长 【变式2】【初步探究】 (I)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,AC,BC边上，迬接DE,EF.已知四边形BFED 是平行四边形，BC=4DE ①若AB=8,求AD的长： ②若△ABC的面积为16，求△ADE的面积： 【拓展提开】 (2)若△ADE的面积为2，求BFED的面积. A D F 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】锐角△ABC中，BC=6,AD为BC边上的高线，S△MBc=12,两动点M,N分别在边AB,AC 上滑动，且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPON(如图1)，设其边长为x. M D 图1 图2 (1)当P№恰好落在边BC上（如图2），时，求x的值； 16 (2)正方形MPON与△4BC公共部分的面积为3时，求x的值. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026四I川内江中考真题)如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD:AB=13,则△ADE与△ABC的面 积之比为() D E B A.1:2 B.13 C.1:4 D.19 BO 3 2.(25-26九年级下云南昭通期中)如图，4C和BD相交于点0，∠A=∠C,D02,若。4B0的周 长为6，则△CD0的周长为() D 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.5 C.4 D.2 DE 1 3.(25-26九年级下福建泉州：期中)如图，点B是。ABCD的边AD上的一点，且AE2,连接BE并延 长交CD的延长线于点F,若DF=4,则CF的长为() B A.4 B.8 C.10 D.12 4.(2026河南平顶山三模)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为BC,CD边的中点，连接 PE AE,BF交于点P,则P的值为（) D A 3 c D. 5.(2026山东济南·二模)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于点F;以点 A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AD于M,N两点：分别以点M,N为圆心，大于2MN的长 为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G,连接AG并延长交BC于点E,连接EF,BD,BD分别交 AE,EF于P,O两点，若AB=2DF,PO=8,则BD的长为() F M NG B E A.12 B.20 C.30 D.40 二、填空题 6.(25-26九年级上江苏泰州期中)如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M为BC的中点，点N在 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD上，且∠AMN=90°，则CN= D 7.(25-26九年级上辽宁沈阳·期中)如图，点D,E分别在△ABC的边AC,AB上，△ADE一△ABC, M,N分别是DE,BC的中点，若-{，则S。 AN2,则5c E D 8.(2026北京门头沟二模)如图，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一点，AF⊥DE交BC于点F, F是CE的中点.若AD=6,BF=2,则AF的长为一· D 9.(25-26九年级下浙江杭州期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，D是AB的中点，E 是c一点已知B-6B服35,5C-5 ，则 BDE=- B 10.(2026陕西宝鸡二模)如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、G在BD上，点F是BC的中点， 连接AE、FG,∠AEB=∠BGF.若AE=8,则GF的长为 A D E B 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 AD 3 11. (25-26九年级上广西梧州：期未末)如图，在。ABC中，DE∥BC,AB5,若△4DE的面积为9， 求四边形BCED的面积. D 12.(24-25九年级上江苏宿迁期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. D (I)求证：△ACDP△ABC: ②若4C=6,AD= 5,求AB的长. 13.(25-26八年级下·江苏苏州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD‖AC,AD⊥AB,BD, AD交于点D, B A (I)求证：△ABC∽△BDA: (2)若AC=3,BC=4,求BD的长. 14.(25-26九年级上：辽宁沈阳阶段检测)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和 AFG摆成如图所示的样子，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=9O°. 图1 图2 (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若它们的斜边长为2V2,△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、 E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，求BECD的值.（选择下边一种情况解答） 15.(2026安徽六安模拟预测)如图，四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋 转，得到△AEF,点B,C的对应点分别为点E,F.直线EF分别与直线BC,直线AC相交于点G,H. D E B G 图1 图2 (1)如图1，当∠CAF=28°时，∠BGE的度数为 (2)如图2，当点F在AD的延长线上时 (i)求证：FG=AC, (ii)求CH的长. (3)当点E在线段AC上时，请直接写出BG的长. 能力提升 一、单选题 1.(2026云南昆明模拟预测)如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似 图形，若三角板与其投影的相似比是2：5，则三角板的面积与其投影的面积比是() A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 2.(2026西藏拉萨模拟预测)如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,BD=2,则△ADE与△ABC的 面积比为() 12116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D E B C A.9:25 B.35 C.9:16 D.34 3.(2026河北中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,BC=3AD,过点A作AEI川DC交BC于 点E,将△ABE沿AE翻折，得到△ABE.B'A,B'E分别与直线DC交于M,N两点，则△MB'N与 △ABE的面积之比为() D B A. c. 4.(2026重庆三模)如图，在正方形ABCD中，点M为正方形ABCD外部一点，连接CM、DM、AM, 将△CMD沿DM翻折至正方形ABCD所在平面内，点C的对应点E恰好落在线段AM上，连接BE,若 AM=12,CD=3W10,则△ABE的面积为() A D E B M A.8V10 B.9 C.910 D.10 5.(2026河北保定一模)如图，在ABCD中，连接AC,AC=BC=5,tanB=3,点E在AD的上方， 且EA⊥AC,连接EC,ED,若∠DEC=2LECA,则DE的长为() B 13116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B. 5V10 3 C.4vò 5 D 3 3 二、填空题 6.(25-26八年级下·江苏苏州期末)已知△ABC∽aDEF,△ABC与△DEF的面积之比为14，则△ABC与 △DEF的周长之比为. 7.(25-26九年级上四川达州期末)在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AC、BE交于点O,若 AE:ED=12,OE=2,则OB的长为— 8.(2026湖北黄冈一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,D是AC的中点， 点E在AB上.若△ADE与△ABC相似，则DE= cm. D 9.(2026浙江嘉兴·二模)如下图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,AD的垂直平分线交BC 的延长线于点E,连接AE,若BE=5BC=10,则DE=一· E DC 10.(2026内蒙古通辽模拟预测)在四边形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AB=12,BC=5,点E在 AB上且AE:EB=1:2,连接CE,CE平分∠BCD.点F在BC的延长线上，且DF=DC,则线段CF的 长为 14116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B F 三、解答题 11.(25-26九年级上湖南衡阳期中)如图，在口ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的动点，且 ∠DCF=∠DAE A F D B (I)求证：△DCF∽△DAE: (2)当AB=2,AD=4,若CE=DE,请求出DF. 12.(25-26九年级上·上海浦东新期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为点D, 点E是边AC上一点，EF⊥BC,垂足为点F,AD、BE交于点M. (I)如果BE平分∠ABC,求证：BM·CE=AM·BE: EF AB2 (②)如果BD=CF'求证：ADAC· 13.(25-26九年级上·上海浦东新期未)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且 DE∥BC, A B (①)若AD=3,DB=2,DE=6,求BC的长； 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若SADE=9,SABc=25,求AD:AB的值. 14.(25-26九年级上·吉林长春·阶段检测)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶 点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作 图痕迹。 B B B 图① 图② 图③ (I)在图①中的BC边上找到点D,连结AD,使SDB=S4CD; (2)在图②中的BC边上找到点E,连结AE,使SABE=2S4CE: (③)在图③中的AC边上找到点F,连结BF, 使an∠CBF= 2· 15.(25-26八年级上江苏连云港期中)我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边 上高的长度之差. 如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC-AD,记为h(BC). D 图1 图2 图3 (I)如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAD=∠CAD,AB=5,BC=6,则h(BC)= (2)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，BD=16,CD=9,求h(BC)的值： (3)在△ABC中，AB=15,AC=13,BC边上的高为12，则h(BC)=一. 16116