专题1.4 相似三角形的性质（6大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，系统梳理从对应角相等、对应边成比例的基本性质，到对应高、中线、角平分线等线段比等于相似比，再到周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的递进关系，构建衔接判定与综合应用的学习支架。 该资料以培养数学思维与几何直观为亮点，通过性质推导过程（如面积比证明结合面积公式与对应高关系）锻炼逻辑推理能力，设计从基础计算到复杂图形（如平行四边形、矩形中相似）的分层题型，融入中考真题强化模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习查漏补缺，提升综合解题能力。

专题1.4 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】1．（2026·广东东莞·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边，的中点，则线段DE的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（    ）． A．1 B． C． D．2 3．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在中，点E是边上的点，线段与交于点F，如果，，那么的长是______． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，，则的度数是（   ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到．交于点，连接．若，则___________． 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【变式1】如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【变式2】如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ． 【变式3】在矩形中，，E是的中点，在直线上或边上有一点F，使是直角三角形，则的长为 ． 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是 ． 【变式1】已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【变式2】已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 【变式3】如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，则 ． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【变式1】已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是 ． 【变式2】已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 【变式3】如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【变式1】如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于 ． 【变式2】如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【变式3】如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【变式1】如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【变式2】【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，连接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提升】 （2）若的面积为，求的面积． 【变式3】锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 一、单选题 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 3．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．10 D．12 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（   ） A．12 B．20 C．30 D．40 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则______． 7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点分别在的边上，，分别是的中点，若，则_________． 8．（2026·北京门头沟·二模）如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 9．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，，若的面积为9，求四边形的面积． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆成如图所示的样子，为公共顶点，． (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； (2)若它们的斜边长为，固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），求的值．（选择下边一种情况解答） 15．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是矩形，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．直线分别与直线，直线相交于点． (1)如图1，当时，的度数为______． (2)如图2，当点在的延长线上时． （ⅰ）求证：． （ⅱ）求的长． (3)当点在线段上时，请直接写出的长． 一、单选题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，若三角板与其投影的相似比是，则三角板的面积与其投影的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·三模）如图，在正方形中，点M为正方形外部一点，连接、、，将沿翻折至正方形所在平面内，点C的对应点E恰好落在线段上，连接，若，，则的面积为（     ） A． B．9 C． D．10 5．（2026·河北保定·一模）如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 7．（25-26九年级上·四川达州·期末）在平行四边形中，是上一点，、交于点，若，，则的长为_______． 8．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）在四边形中，，，，，点在上且，连接，平分．点在的延长线上，且，则线段的长为________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，E、F分别是边上的动点，且． (1)求证：； (2)当，若，请求出． 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 13．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在 中， 点D、E分别在边上， 且， (1)若，求的长； (2)若求的值． 14．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使； (2)在图②中的边上找到点，连结，使； (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差． 如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，在中，，则______； (2)如图3，在中，，为边上的高，，求的值； (3)在中，边上的高为12，则______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练】1．（2026·广东东莞·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边，的中点，则线段DE的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】根据网格可知的长度，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据网格可知，, ∵点D，E分别是边，的中点， ∴, ∴, ∴, ∴ ∴． 2．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，由平行四边形的性质容易证明，则，，因此，．结合为线段中点可得，由平行可判定，则，最后计算出的面积即可． 【详解】解：∵，的面积分别为和， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在中，点E是边上的点，线段与交于点F，如果，，那么的长是______． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例求出，根据，进而可以解决问题． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，，若，，则的度数是（   ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为，求得，再根据相似三角形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到．交于点，连接．若，则___________． 【答案】20 【分析】由旋转的性质和等边对等角得到，再由相似三角形的性质推出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，据此求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形外角的性质和三角形内角和定理，证明是解题的关键． 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【答案】2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 则 ∵为边的中点， ∴， ∴， 则， 故答案为：2． 【变式1】如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理. 先证明，得到，再根据勾股定理求出，即可求出的长. 【详解】解：， ． ， ． ， ． ． ． ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ． 【答案】2或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； 当时，则， 又是的外角， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式3】在矩形中，，E是的中点，在直线上或边上有一点F，使是直角三角形，则的长为 ． 【答案】6或或8 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是矩形，得，，再结合是直角三角形，进行分类讨论，根据相似三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 如图所示： 当时， 则， ∴ 四边形是矩形， ∴； 如图所示： 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 则． 如图所示： 当时， ∵ 则 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：或或8， 故答案为：6或或8， 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是和， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的对应中线的为， 设较长的中线是， 则， 解得，， 经检验，符合题意． 故答案为：． 【变式1】已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【答案】9 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9． 【变式2】已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据相似比等于对应边的比，即高的比求解即可． 【详解】解：∵和是它们的对应高线， ∴与的相似比是， 故答案为：． 【变式3】如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似比等于对应角平分线比是解题的关键．先证明，再由相似比等于对应角平分线比即可求解． 【详解】解：∵点是的角平分线的中点， ∴, ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 【变式1】已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是 ． 【答案】/1:2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线是解题的关键． 根据三角形中位线得到，则，根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵D、E分别是、的中点， ∴， ∴， ∴与的周长比 故答案为． 【变式2】已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 【答案】15 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 【变式3】如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【答案】150 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 【详解】解：因为两个相似三角形的面积比为， 所以两个相似三角形的相似比为， 所以两个三角形的周长比等于． 因为较小的三角形的周长是， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．首先证明，结合题意可知两三角形的相似比为，进而可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即两三角形的相似比为， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【变式1】如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，设，先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：∵， 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 先根据平行四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质求出，根据同高，求出，进而求出四边形的面积． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 和分别以为底，它们高相同， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形的面积为： ， 故答案为：． 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可； （2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，， 与的周长比为：． 【变式1】如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是解题的关键． （1）由，推导出，由旋转得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论； （2）由相似三角形的性质得，由，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点、分别是边、上的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，连接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提升】 （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）①为；②的面积为；（2）的面积为 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质可证得，利用相似三角形的性质即可求解； ②利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得，通过的面积即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，解得：， 为2； ②由①知，，， 和的相似比为1：4， ． 的面积为16， ， 的面积为1． （2）由②，知． 的面积为2， ， ． 四边形是平行四边形，， ，， ，，， ，， 和的相似比为， ． ， ， ， 的面积， 的面积为12． 【变式3】锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)正方形与的公共部分的面积为时，为或4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据，求得，设交于，由得到，推出，设正方形边长为，则，，得到，求出的值即可得到答案； （2）分两种情况：：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积；当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，为边上的高线，， ， ， 设交于，   ， ， ， ， 正方形边长为，则，， ， 解得：， 当恰好落在边上时，； （2）解：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积， ， 解得：， ，符合题意， ， 当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，   ， 设，则， 由得， 解得：， 矩形的面积为： ，即， 解得：，（舍去）， 综上所述，正方形与的公共部分的面积为时，为或4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 一、单选题 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】证明，然后根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长的周长． ∵的周长为6， ∴的周长为∶． 3．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先推导出，得到，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（   ） A．12 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由作图可得，，平分，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，结合，得，则，再证明，得出，再证明，得出，然后根据线段和差列方程求解． 【详解】解：由作图可得，，平分； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； ∵， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题思路是通过角度关系证明，再利用相似性质计算；考查的知识点是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，用到的思想是转化思想，方法是相似三角形判定与性质应用，技巧是通过角度转化找相似三角形，解题关键是证明三角形相似，易错点是相似三角形对应边识别错误． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为． 7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点分别在的边上，，分别是的中点，若，则_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵M，N分别是的中点， ∴分别为的中线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2026·北京门头沟·二模）如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】证明得，求出，再根据勾股定理得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 在中，． 9．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件可求，，然后证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中点，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形，相似三角形的知识，解题的关键是根据菱形的性质，得到，根据相似三角形的判定，可得，可以得到，求出，即可， 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，，若的面积为9，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，据此求出，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为25， ∴． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆成如图所示的样子，为公共顶点，． (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； (2)若它们的斜边长为，固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），求的值．（选择下边一种情况解答） 【答案】(1)相似三角形有：，证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）根据等腰直角三角形的性质得，再结合三角形外角的性质可得，即可得到，同理可得． （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解∶相似三角形有：．证明如下： 对于： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 对于： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形斜边长为， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是矩形，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．直线分别与直线，直线相交于点． (1)如图1，当时，的度数为______． (2)如图2，当点在的延长线上时． （ⅰ）求证：． （ⅱ）求的长． (3)当点在线段上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得,，进而根据四边形的内角和为，即可求解； （2）（ⅰ）连接．证明，进而得出根据平行线的性质进而得出，则，等量代换，即可得证； （ⅱ）在中，，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）当点在线段上时，，由（2）（ⅰ）得，在，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵将绕点逆时针旋转，得到，， ∴,， ∴， ∴． （2）（ⅰ）证明：如图1，连接． 在和中， ， ． ， ， ， ． ， ． （ⅱ）在中，， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得． （3）解：如图2，当点在线段上时，， ， 由（2）（ⅰ）得． 在中， ， 解得． 一、单选题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，若三角板与其投影的相似比是，则三角板的面积与其投影的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果. 【详解】解：∵三角板与其投影的相似比是， ∴三角板的面积与其投影的面积比是. 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 3．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 4．（2026·重庆·三模）如图，在正方形中，点M为正方形外部一点，连接、、，将沿翻折至正方形所在平面内，点C的对应点E恰好落在线段上，连接，若，，则的面积为（     ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】先求出，再证是等腰直角三角形，求出，得，然后证明，求出，进而借助勾股定理求出，，，，即可求解． 【详解】解：连接，过点D作交于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠性质得，，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，由勾股定理得，， 解得或（舍）， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查综合性知识，关键在于“构造辅助线”，即连接，过点D作交于点N． 5．（2026·河北保定·一模）如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道典型的平行四边形几何综合题，主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用． 过点作于点．利用，求出，过点作交延长线于点，证明，得出，．根据，证明，推导出，利用相似比建立方程求出．最后在中利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点， ∵，∴设，则． ∵，∴． 在中，由勾股定理得， 解得（不合题意舍去）， ∴，，， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴，， 设，则， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴． ∵， ∴∽， ∴，即，解得， ∴． 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题的核心在于通过构造辅助线，利用角度关系和勾股定理求出关键线段，进而通过相似三角形求解目标线段． 1．方程思想（设参法）：利用三角函数值设未知数，结合勾股定理列方程求解，是处理直角三角形边长问题的通法． 2．构造全等：通过作垂线构造直角三角形，将平行四边形的边角关系进行转移（将转移到），是解决线段转移的关键． 3．相似转化：本题难点在于处理倍角关系（），解题中通过角度推导转化为相似三角形的判定条件，从而将未知线段纳入比例关系中求解． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 7．（25-26九年级上·四川达州·期末）在平行四边形中，是上一点，、交于点，若，，则的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合相似三角形的判定定理得到相似三角形，再利用相似比求解线段长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与的相似比为， ∴：：3． ∵， ∴． 故答案为：6． 8．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；根据题意，求出，分类讨论：当时，，当时，，分别求出，即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：； 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质，角的和差关系可得出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵平分交于点， ∴， ∵的垂直平分线交的延长线于点， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）在四边形中，，，，，点在上且，连接，平分．点在的延长线上，且，则线段的长为________． 【答案】 【分析】延长，两线交于点，可证，所以，求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，设，则，最后通过勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：延长，两线交于点， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ； 如图所示，过点D作于点H，则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，E、F分别是边上的动点，且． (1)求证：； (2)当，若，请求出． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角形相似的判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质，相似三角形的性质解答即可 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）解：由题意， ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∴． 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，证明，得到，则，证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 13．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在 中， 点D、E分别在边上， 且， (1)若，求的长； (2)若求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出答案； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ， 即 ， 解得 14．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使； (2)在图②中的边上找到点，连结，使； (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形面积与线段比例的关系、锐角三角函数的几何意义，熟练掌握“三角形面积比等于底边长的比（同高）” “值为直角三角形对边与邻边的比”是解题的关键． （1）要使，需是中点，利用网格找中点即可． （2）要使，需，在上按比例找点． （3）要使，需构造对边为1、邻边为2的直角三角形，利用网格在上找点满足此条件． 【详解】（1）解：如图①所示． 设小正方形的边长为， ∵， ∴； （2）解：如图②所示． 如图，设小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③所示． 如图，设小正方形的边长为， 在中，． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差． 如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，在中，，则______； (2)如图3，在中，，为边上的高，，求的值； (3)在中，边上的高为12，则______． 【答案】(1)2 (2)13 (3)2或 【分析】本题考查的是勾股定理，题目没给图要进行分类讨论，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，得出，由勾股定理得，根据边高差定义，代入计算即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质得出，根据边高差定义，代入计算即可求解； （3）分为2种情况讨论，根据勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：在中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴, 故答案为：2； （2）解：∵在中，，为边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去） ∴； （3）解：如图，当是锐角三角形时， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当是钝角三角形时， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上, 的值为2或． 故答案为：2或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $