精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

重庆市南开中学高 2026 届高三第二次质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合  ， 则 . 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案. 【详解】 . 故选：A 3. 已知一扇形的周长为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形周长和面积公式直接可得解. 【详解】由已知可得扇形周长， 即，解得， 所以扇形面积， 故选：A. 4. 已知的内角 所对的边分别为，，则 的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积． 【详解】因为，故， 而，故， 故，故三角形的面积为， 故选：D． 5. 高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5 分， 则男生的平均分比全班的平均分（ ） A. 多 1.5 分 B. 多 2.5 分 C. 多 3.5 分 D. 多 4.5 分 【答案】C 【解析】 【分析】由数据的均值性质，根据样本平均值估计总体平均值，从而得所求. 【详解】设男生平均分为，女生平均分为； 则， 总体平均分为， 则男生的平均分减全班的平均分为（分）， 故男生的平均分比全班的平均分多 3.5 分. 故选：C. 6. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B，结合三角函数单调性及判断；对于C，通过当时反例判断；对D，分类讨论的大小关系，结合余弦函数单调性判断. 【详解】对于A：因为函数在单调递增， 所以当时，，得， 又，所以，A错误； 对于B：当时，因为函数在单调递增， 所以，得，又， 所以此时，B错误； 对于C：当时，因为函数在单调递增， 所以，所以，得， 又得， 所以此时，C错误； 对于D：当时，，得， 此时得，所以， 所以; 当时，，得， 此时得，所以， 所以; 当时，，得， 此时得，所以， 所以; 综上，，D正确. 故选：D. 7. 已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于对任意恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，结合周期公式可求出，由已知可得的最大值为，求出的表达式，结合不等式即可求得答案. 【详解】由于，故， 因为函数的图象的两相邻对称轴之间的距离小于，故， 又对任意恒成立，故， 即，则，则， 结合，可知时，取最小值2，即实数的最小值为2， 故选：B 8. 设 且 ，若函数的最小值为2，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，令，根据基本不等式可得，由条件结合对数函数性质可得，且，由此可求. 【详解】由已知， 所以， 令，又， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为函数的最小值为2， 所以，解得. 故选：D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 则以下说法正确的有（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由图可知，结合，可得，即可判断选项A；由，利用代入检验法，结合正弦函数的性质即可判断选项B；根据图象的周期变换可得，即可判断选项C；由的周期为，区间的长度为2个周期，结合正弦函数性质即可判断选项D. 【详解】由图可知，∴. 又，∴，，∴，故选项A错误； ∵，∴图象关于直线对称，故选项B正确； ∵函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，∴，故选项C正确； 由可知函数的周期为，区间的长度为，即2个周期，结合正弦函数性质可知：在上必不单调，故选项D错误. 故选：BC. 10. 定义在上的偶函数的导函数为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数且一个周期为4 D. 是的一个极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】由是偶函数可得，根据函数求导法则及复合函数求导法则，两边同时求导可得，即可判断选项A；由及是偶函数可得，即可判断选项B；由可得 ，根据周期函数的定义即可判断选项C正确；取特殊函数，即可判断选项D. 【详解】∵是定义在上的偶函数，∴，两边同时求导可得，∴为奇函数，故选项A正确； ∵，，∴，∴ 的图象关于点中心对称，故选项B错误； ∵，∴，∴是周期函数且一个周期为4，故选项C正确； 取特殊函数，则不是函数的极值点，故选项D错误. 故选：AC. 11. 在 中， 为边 上一点， ，则（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 当 面积最小时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，，用二倍角公式可求得，判断选项，进而可知为直角，利用三角函数求得各边关系判断选项；分别在和用正弦定理判断选项；利用三角形面积公式，用表示，进而用二次函数性质求解. 【详解】对于选项 因为，，所以. 因此，故选项错误. 对于选项， 因为，，所以. 因此. 由选项可知，，所以，. 因此，即. 故，解得，故选项正确. 对于选项， 当时，，即为中点. 对于，由正弦定理得，，即. 对于，由正弦定理得，，即. 又因为，所以. 所以，即，故选项正确. 对于选项， ，，所以. 在中，由正弦定理得，，化简得. 在中，由正弦定理得，，化简得. 因此， 设. 则. 由二次函数性质可知，， 当时，取最大值，且最大值为正. 即当，取最小值， 此时，故选项正确. 故选： 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，故. 故答案为： 13. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为_____. 【答案】. 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为边的关系，进而求出角，再根据锐角三角形的性质确定角的取值范围，最后根据二倍角公式、余弦函数的图像性质以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，，根据正弦定理得，，化简整理得，根据余弦定理，得， 又为锐角三角形，所以， 所以，即， 又为锐角三角形，所以，即，解得， 所以， 令， 令，则， 其对称轴为，所以时，取得最小值，即， 当时，；当时，； 所以的取值范围是， 即的取值范围是. 故答案为： 14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为. 例如:其中为参数是一个函数簇. 若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数. 已知函数簇其中为参数，若 “” 是 “ 存在包络函数” 的充要条件，则 _____；函数的表达式为_____ 【答案】 ①. ， ②. ， 【解析】 【分析】利用求导，结合基本函数与的图象研究，可判断的正负和原函数的极小值点，从而可得到求解. 【详解】由求导得：， 下面在同一个坐标系中作出函数与的图象，如下图， 当时，函数与的图象有一个交点横坐标可设， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 此时函数在处取到极小值，且， 假设函数在点处的切线过原点得：， 即过原点的直线与曲线相切，且切点为. 所以当时，可知，此时函数单调递增，无极小值点， 则当时，函数与的图象有两个交点横坐标可设，，且，如下图， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 此时函数在处取到极小值，且， 综上，时，函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且为充要条件， 此时， 由所有的点构成的曲线满足： ，代入，可得 ，且或， 所以函数的表达式为，. 故答案为：，， 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （1）从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. （2）现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案； （2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，， 因为，所以 . 【小问2详解】 设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得； 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为. 16. 如图1，在平行四边形中，，，.现将沿着翻折至，使得点到达点的位置且平面平面（如图2），点是线段的中点，点在线段上. （1）求证:平面平面; （2）若平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，结合面面垂直性质定理证明平面，由此可得，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）由平面，根据线面平行性质定理证明，由此可得是的中点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式可得结论. 【小问1详解】 由题可知，和都是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，为中点，，所以， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 【小问2详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以，又为中点， 所以是的中点， 以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可知，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则， 则，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17. 过点的动直线与抛物线相交于两点，线段的中点为. （1）求点的轨迹的方程； （2）设为轨迹上的两点，且，设轨迹在处的切线交于点，若在直线上，求直线的斜率. 【答案】（1），或； （2）1. 【解析】 【分析】（1）设为，联立抛物线，由根的判别式求出或，由韦达定理得到两根之和，两根之积，设，表达出，消去可得，求出轨迹方程； （2）设，由得到①，求导，得到切线方程，联立两切线方程，将代入，得到，将其代入①中得，从而得到直线的斜率为. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线与只有1个交点，不合要求， 设直线方程为，联立，得， ，解得或， 设，则， 设点，则，， 故消去可得， 其中或，故或， 所以点的轨迹的方程为，或； 【小问2详解】 设，则，， 或，或， 则 ， 故①， ，故轨迹在处的切线斜率分别为， 轨迹在处的切线方程分别为， ， 即，， 联立两切线方程，消去得， 故， 在直线上，故将代入上式得， 即， 因为，所以，故， 即， 将其代入①中得， 即， 令，则，即，解得，故， 直线的斜率为. 18. 如图，在平面四边形中， ， 为线段 上一点，且，. （1）若，求； （2）记，，， （ i ） 证明：； （ii） 求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，再在中，由正弦定理可得解； （2）（i）由三角形内角和为，及诱导公式可知，再在与中分别用余弦定理可得，再在及中用余弦定理可得与，即可得证；（ii）根据两角和与差的余弦公式化简可得解. 【小问1详解】 在中，由，且， 可得，， 由余弦定理可得， 即，即， 又，所以， 即， 所以在中， 由正弦定理可知， 即，即； 【小问2详解】 （i）在中，易知， 则， 所以， 在中，由余弦定理可知， 又在中， 由余弦定理可知， 则，化简可得， 即， 所以， 在中，由余弦定理可知， 在中，， 则由余弦定理可知， 所以， 即成立； （ii）由（i）可得， 即， 又， 则， 整理可得， 即，， 又在中可知， 所以， 则. 19. 已知函数. （1）当 时，求函数在区间的最值; （2）若，求 的取值范围； （3）当 时，求证: ． 【答案】（1）最大值为，最小值为0 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调性，得到最值； （2）令，求导，分，，三种情况讨论，利用导数确定参数的取值范围； （3）令，求导再令，继续求导，利用导数确定单调性，根据最值证明恒成立即可． 【小问1详解】 当 时，，， ，，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，又， 所以函数在区间的最大值为，最小值为0； 【小问2详解】 令， ， 当时，， ， 在单调递增，，即成立； 当时，， 若，即时，，， ， 在上单调递减， ， 又，所以，即， 则， 在单调递增，， 若，即，存在，使得时，， ，所以不满足成立， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 令， ， 令， ， 当时，， 所以，单调递增，， 即，单调递减，， 当时， ，又，所以， 即，单调递增，， 综上，当 时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学高 2026 届高三第二次质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知一扇形的周长为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角 所对的边分别为，，则 的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5 分， 则男生的平均分比全班的平均分（ ） A. 多 1.5 分 B. 多 2.5 分 C. 多 3.5 分 D. 多 4.5 分 6. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于对任意恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设 且 ，若函数的最小值为2，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 则以下说法正确的有（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 10. 定义在上的偶函数的导函数为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数且一个周期为4 D. 是的一个极值点 11. 在 中， 为边 上一点， ，则（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 当 面积最小时， 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知 ，则 _____. 13. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为_____. 14. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为. 例如:其中为参数是一个函数簇. 若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数. 已知函数簇其中为参数，若 “” 是 “ 存在包络函数” 的充要条件，则 _____；函数的表达式为_____ 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （1）从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. （2）现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 16. 如图1，在平行四边形中，，，.现将沿着翻折至，使得点到达点的位置且平面平面（如图2），点是线段的中点，点在线段上. （1）求证:平面平面; （2）若平面，求二面角的余弦值. 17. 过点的动直线与抛物线相交于两点，线段的中点为. （1）求点的轨迹的方程； （2）设为轨迹上的两点，且，设轨迹在处的切线交于点，若在直线上，求直线的斜率. 18. 如图，在平面四边形中， ， 为线段 上一点，且，. （1）若，求； （2）记，，， （ i ） 证明：； （ii） 求的值. 19. 已知函数. （1）当 时，求函数在区间的最值; （2）若，求 的取值范围； （3）当 时，求证: ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $