专题12 解直角三角形的应用的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12解直角三角形的应用的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、仰角俯角问题 类型二、坡度坡比问题 类型三、方向角问题 类型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、仰角俯角问题 1.画图建模：先根据题意画出示意图。标出观测点、目标点和水平线。 从下往上看，视线与水平线的夹角是仰角 从上往下看，视线与水平线的夹角是俯角 这两个角在图中是相等的 2.构造直角三角形：把题目中的已知条件和要求的边长，标在示意图上。 找到或构造出包含仰角或俯角的直角三角形 这个三角形是解题的关键 3.解直角三角形：分析直角三角形中己知元素和未知元素的关系。 选用合适的三角函数（正弦、余弦、正切） 列出关系式并求解 例1.(24-25九年级上河南周口期末)2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在 无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电 更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电.如图，某人利用无人机测量大楼BC的高度，无人机在空中 点A处，测得点A与地面的距离为70m,测得点C的俯角LEAC=15°；控制无人机水平移动至点D,测得 AD=15m,楼顶C点的俯角LEDC=45°.点A,B,C,D在同一平面内，求大楼的高度BC.(参考数据： sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√2≈1.41，结果精确到0.lm) 1/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 717777177777777777 【变式1-1】(2025浙江杭州二模)如图，高层大楼CD前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼 房AB.某校数学实践活动小组想要测量高层大楼CD的高度，他们在楼房AB的窗户口点E处测得车库地 面边缘点F的俯角为20°，测得大楼CD顶端D的仰角为60°.已知BE=6m,车库长度CF=15m(点B, F,C在同一水平直线上，参考数据：c0s20°≈0.94，tan20°≈0.36，√3≈1.73，结果精确到0.1) F 【变式1-2】(2025·湖南长沙模拟预测)在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度” 的探究活动.如图，小星在A处测得旗杆顶端C的仰角为30°，小麓在B处测得旗杆顶端C的仰角为45°， 己知两人所处位置的水平距离MN=33米，A处距地面的垂直高度AM=4米，B处距地面的垂直高度 BN=3米，点M,F,N在同一条直线上. 30 452B (I)求DE的长度： (2)求旗杆CF的高度.（结果保留根号） 【变式1-3】(2025江西模拟预测)如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝 永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.数学实践小组要测量滕王 阁的高度，如图2，小组成员甲在点A处测得滕王阁最高点C的仰角∠CAE=45°，再沿正对滕王阁方向 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=58°，AB=21.6m,小组成员乙在点G处竖立标杆FG,点D、标 杆顶F、最高点C在一条直线上，FG=1.6m,GD=2m. SD E 图1 图2 (1)求滕王阁的高度CE;(结果精确到1m,参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) (2)求乙同学与滕王阁之间的距离EG. 类型二、坡度坡比问题 1.明确坡度定义：坡度i是斜坡的垂直高度h和水平宽度1的比。 公式是i=h/1 有时也写成1：m的形式，意思是高度上升1份，水平前进m份 坡度也等于坡角a的正切值，即i=tana 2.构造直角三角形：根据题意画出示意图。 把斜坡的垂直高度、水平宽度和斜坡长度构成一个直角三角形 标出已知的坡度和其他条件 3.解直角三角形：根据已知条件和坡度的定义，找出边角关系。 选择合适的三角函数（通常是正切）来计算 求出未知的边长或角度 例2.(24-25九年级上·陕西咸阳·期末)如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即AB=24米， CD∥AB,天桥架空高度为6米(CD与AB之间的距离为6米)，若天桥两边的斜坡AD,BC的坡度均为 2:3,求人行天桥的桥面CD的长度. D C A B 【变式2-1】(2024广东·二模)阳光下，电线杆AB落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是CD和BC, 小亮量得CD=8m,BC=20m,斜坡CD的坡度为1：√5，小亮的身高1.65m,此时他在水平地面上的影子长 为3.3m,求电线杆的长度（结果保留根号） 3/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 【变式2-2】(2025·山东·模拟预测)如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已 知坡道AB的坡比i=1:2.4,AC的长为7.2米，CD的长为0.4米. B (I)请求出DE的长： (②)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到 AB的距离). 【变式2-3】(2025湖南长沙：三模)今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图，斜坡AB的长为200√3米，斜 坡BC的长为200√2米，坡度是1：1，已知A点海拔121米，C点海拔721米. C M (I)求斜坡AB的坡度； (②)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度， 类型三、方向角问题 1. 理解方向角：方向角是从正北或正南方向开始，顺时针或逆时针转到目标方向的水平角。 例如"北偏东30°"，是从正北向东转30 "南偏西45°”，是从正南向西转45 没有"东偏北"或"西偏南"的说法 2.画方位图：这是最核心的一步。 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 以观测点为原点，画出十字坐标系 标出正北、正南、正东、正西四个方向 根据方向角，画出目标位置，形成三角形 3.解三角形：确定三角形的己知条件。 利用三角形内角和等知识求出未知角 结合三角函数或勾股定理计算边长 例3.(25-26九年级上·重庆阶段练习)中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆.中秋佳节将至，明月湖公园设 置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北 方向，D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向，DC=22千米，BC=1千米 北 西个东 南 45 309 B ()求AB的长度；（结果保留根号) (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以2km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打卡 点，小开以4km/h的速度从A打卡点沿A→B方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米 后恰好与小开相距2√3千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73） 【变式3-1】(2025·广东深圳模拟预测)如图为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，点B、 A在C的正东方向，点D在点C的正北方向，D、E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C、 D相距1000√3m,E在BD的中点处. D 东 E 45 B (I)求景点B、E之间的距离； (②)求景点B、A之间的距离（结果保留根号）. 【变式3-2】(25-26九年级上重庆阶段练习)“梨花风起正清明，游子寻春半出城”.如图，某校在公园开 展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门(A地)步行出发，约定在停车场(D地)汇合.小依先沿北偏 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 东60°的方向走600√2m到达和善亭(B地)，然后继续向东北方向走200m到达和雅亭(C地)，到达C地 后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场(D地)，D地在C地的南偏东30方向，小 钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭(E地)，再沿北偏东15°方向到达D地，E地恰在C地的正南 方向 459 159 609 AD E (I)请求出CE的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为1.5ms,小钟步行的速度为1.2m/s,请问小依和小钟谁先到达停车场(D地)？通 过计算说明.（计算结果保留到整数，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45) 【变式3-3】(2025山西临汾模拟预测)如图，A,B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西 60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25√2海里. 60 D (1)求观测点B与C点之间的距离： (②)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立 即前往营救，其航行速度为60海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间. 类型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 1.画示意图，构建模型：这是最关键的一步。 根据题意画出直角三角形 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 标出仰角、俯角或坡度 把已知边长和要求的边长标在图上 2.明确边角关系：在构建好的直角三角形中，确定已知角和已知边。 判断已知边是这个角的对边、邻边还是斜边 坡度讠是垂直高度与水平宽度的比，等于坡角的正切值 3.选用公式，计算求解：根据第二步的判断，选择正确的三角函数公式。 通常用正切来解决这两类问题 列出关系式并求解 例4.(2025九年级四川宜宾专题练习)校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大楼的顶部 竖有一块广告牌CD,小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走 到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，己知山坡AB的坡度i=1:√3，AB=12米，AE=24米.（测角器 5c0s53°≈3 4 的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin53° tan53°s4) 3 D 口 45 53 吕 A E (I)求点B距水平地面AE的高度； (2)求广告牌CD的高度， 【变式4-1】(24-25九年级上辽宁阜新期末)如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚 美”的宣传牌CD.该校九年级(1班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部 D的仰角为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8米，AE=16米，已知斜坡 AB的坡角为45°，（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，√2≈1.41；精确到0.01米） D /1TT77>56。 A (I)求综合楼的高度DE; 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求宣传牌的高度CD 【变式4-2】(25-26九年级上黑龙江大庆·开学考试)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处 测得条幅顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条 幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:√5（即 tan∠DEM=1:V3),且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上. B 大 楼 D30° 45° E C (1)求D点距水平面EN的高度？（保留根号） (2)求条幅AB的长度？（结果精确到1米）（参考数据：V3≈1.73，√2≈1.41） 【变式4-3】(2025·四川广元模拟预测)如图，信号塔CD坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔 的高度，他在山脚下的点A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着坡度为i=1√3的斜坡向上走了100米到达点 B处，此时测得塔尖D的仰角为60°，（图中各点均在同一平面内） B660 130 X45 (I)求点B到地面的距离； (2)求信号塔CD的高度（结果保留根号）： (3)若维护人员从点A处沿水平方向前行一段距离到点F处，测得塔尖D的仰角为30°，求AF的长度， 8/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9w 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上河南周口期末)如图，B为一建筑物BC的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D 处测得B点的仰角a,若测角仪高AD=m,AC=n,则建筑物BC的高可表示为() A C A.m+nsina B.m+ncosa C.m +n tan a D.m+n 2.(25-26九年级上·重庆阶段练习)春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为 1:2.4,AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是 60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为() BD水平线 4.2 B. 6,23 5 c(g*5米 D.2V5米 3.(2024广东·二模)某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲 侦测员在A处测得点0位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点0位于南偏西73.7°，测得AC=840m, BC=500m，请求出点0到BC的距离(）m(参考数据sin73.7°≈24， 25’c0s73.77， 25,tan73.7°≈24) 7 北 个东 73.7° C A.160 B.330 C.480 D.520 9/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 4.(25-26九年级上山东淄博阶段练习)河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度=1：√5，AB=6m,则BC 的长是」 5.(2025广东深圳模拟预测)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁 P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方 向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小 时的速度继续航行一小时即可到达.（结果保留根号） 避风港 北 B 6.(2025广东广州模拟预测)如图，在两座楼房之间有一旗杆，高15m,从其中一座楼房顶端点A经过旗 杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C,且俯角为60°，又从点A处测得点D的俯角B为30°，若旗杆底 部点G为BC的中点，则楼房AB的高为」 m,楼房CD的高为 m. A B D B 三、解答题 7.(2024湖南长沙.模拟预测)某次海上搜救行动中，搜救船正以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测 得小岛C在它的北偏东60°方向，搜救船匀速行驶2小时后到达B处，又测得小岛C在它的北偏西45°方向. 己知小岛C上有火山喷发，对周围30k的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受 10/14 专题12 解直角三角形的应用的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、仰角俯角问题 类型二、坡度坡比问题 类型三、方向角问题 类型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 压轴专练 类型一、仰角俯角问题 1.画图建模：先根据题意画出示意图。标出观测点、目标点和水平线。 - 从下往上看，视线与水平线的夹角是仰角 - 从上往下看，视线与水平线的夹角是俯角 - 这两个角在图中是相等的 2.构造直角三角形：把题目中的已知条件和要求的边长，标在示意图上。 - 找到或构造出包含仰角或俯角的直角三角形 - 这个三角形是解题的关键 3.解直角三角形：分析直角三角形中已知元素和未知元素的关系。 - 选用合适的三角函数（正弦、余弦、正切） - 列出关系式并求解 例1．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 【变式1-1】（2025·浙江杭州·二模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯角仰角问题．过点E作于点H，在中，解直角三角形求出，继而求出，在中，根据三角函数的定义求出，即可求出. 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得： ，，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴ 答：高层大楼的高度约为． 【变式1-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米） (2)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，掌握解直角三角形的计算是关键． （1）根据题意得到四边形和四边形为矩形，结合图形即可求解； （2）根据题意，设长为x米，则（米），根据，，分别求出，结合列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形， 米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，， ， ，， ， 由（1）得四边形和四边形为矩形， ， 米， ， 解得， 米， 答：旗杆的高度为米． 【变式1-3】（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 类型二、坡度坡比问题 1.明确坡度定义：坡度i是斜坡的垂直高度h和水平宽度l的比。 - 公式是i = h / l  - 有时也写成1:m的形式，意思是高度上升1份，水平前进m份 - 坡度也等于坡角α的正切值，即i = tanα  2.构造直角三角形：根据题意画出示意图。 - 把斜坡的垂直高度、水平宽度和斜坡长度构成一个直角三角形 - 标出已知的坡度和其他条件 3.解直角三角形：根据已知条件和坡度的定义，找出边角关系。 - 选择合适的三角函数（通常是正切）来计算 - 求出未知的边长或角度 例2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【答案】人行天桥的桥面的长度为6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得：，米， ∵天桥两边的斜坡，的坡度均为， ∴, ∴米， ∵米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． 【变式2-1】（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的应用，利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即在同一时刻物高与影长的比相等．过点D作交的延长线于点E，于F， 根据坡度的定义可得，再根据三角函数可得，再根据相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，于F， 则， 四边形为矩形， ， 在中，斜坡的坡度为， 则， ， ，， ， ∵小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为， ， ， ， 答：电线杆的长度为． 【变式2-2】（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 【变式2-3】（2025·湖南长沙·三模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡到达B点，再从B点沿斜坡到达山顶C点，路线如图，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求斜坡的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 【答案】(1) (2)1000米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，利用斜坡的坡度，求出，的长，结合已知条件，得到，的长，从而得到结果； （2）根据题意，得到，的长，利用勾股定理得到结果． 【详解】（1）解：作于点，作 于点，作于点，连接， 斜坡的长为米，坡度是， ，， 米， 点海拔121米，点海拔721米， 米， （米， 斜坡的长为米， （米， ， 即斜坡的坡度是； （2）解：米，（米）， （米）， 答：钢缆的长度是1000米． 类型三、方向角问题 1. 理解方向角：方向角是从正北或正南方向开始，顺时针或逆时针转到目标方向的水平角。 - 例如"北偏东30°"，是从正北向东转30° - "南偏西45°"，是从正南向西转45° - 没有"东偏北"或"西偏南"的说法 2. 画方位图：这是最核心的一步。 - 以观测点为原点，画出十字坐标系 - 标出正北、正南、正东、正西四个方向 - 根据方向角，画出目标位置，形成三角形 3. 解三角形：确定三角形的已知条件。 - 利用三角形内角和等知识求出未知角 - 结合三角函数或勾股定理计算边长 例3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 【变式3-1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． （1）利用角的正弦即可求得的长，从而易得的长； （2）过点作于点，在中利用三角函数可求出、的长，在等腰中即可求得． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 【变式3-2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)小依先到停车场，说明见过程 【分析】本题考查了解直角三角形，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点B作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求得即可解答； （2）延长交于点I，过点E作于点H，解直角三角形求得小依和小钟走过的路程，再计算时间即可． 【详解】（1）解：过点B作于点F，过点B作于点G，则四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴； （2）解：小依先到停车场，说明如下： 如图，延长交于点I，过点E作于点H， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则小依走过的路程为， ∴小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， ∴小钟所用的时间约为， ∵， ∴小依先到停车场． 【变式3-3】（2025·山西临汾·模拟预测）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】(1)海里 (2)小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 类型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 1.画示意图，构建模型：这是最关键的一步。 - 根据题意画出直角三角形 - 标出仰角、俯角或坡度 - 把已知边长和要求的边长标在图上 2.明确边角关系：在构建好的直角三角形中，确定已知角和已知边。 - 判断已知边是这个角的对边、邻边还是斜边 - 坡度i是垂直高度与水平宽度的比，等于坡角的正切值 3.选用公式，计算求解：根据第二步的判断，选择正确的三角函数公式。 - 通常用正切来解决这两类问题 - 列出关系式并求解 例4．（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 【变式4-3】（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长． 【详解】解：过点D作于F， 由题意知：，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】延长交延长线于点E，过点A作于点F，则，利用正切的概念求出，判断为等边三角形，求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点E，过点A作于点F，则， ∵河堤的坡度为， ∴， ∴设， ∵米， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ，， ∵， ∴是等边三角形， ∵米， ∴米， ∴米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为米． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度． 中，斜坡的坡度，求出，由直角三角形的性质即可得出答案 【详解】解：中，斜坡的坡度， ∴， ∵， 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 6．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 【答案】 30 20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 三、解答题 7．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由题意得，，，，过作于，解直角三角形可得，，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 8．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． 10．（2025·河南郑州·三模）开森和希宝两位同学开展实际测量活动，他们选择测量郊区一新建房屋（如图①）的高度，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据轴对称的性质可得，再利用平行线的性质求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可求解； （2）过点作于点，根据题意得．设，则，在中，利用锐角三角函数定义表示出 ，在中，利用锐角三角函数的定义解得，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， 屋顶到横梁的距离为． （2）过点作于点， 由题意得，四边形为矩形， ． 设，则． 在中，， ． 在中，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， ， ， 房屋的高约． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达港 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． （2）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 12．（2025·甘肃张掖·三模）如图，某植物园有两棵树，小树与大树分别表示为线段，数学兴趣小组想测量两棵树的高度差．两棵树之间有阻隔，无法直接测量小树与大树之间的距离．他们采用如下方案： ①小军站在小树的一侧点B处，观测点从A出发，观测小树的顶端与大树的顶端，点A，C，E在同一直线上，记录下观测角； ②小军沿着方向退至点，观测点从出发，观测大树的顶端，记录下观测角． 已知点B到小树的距离，，且，，，，点M，，B，D，F，N在同一水平直线上，图中所有的点均在同一平面内． 请计算大树比小树高多少米？（参考数据：，，结果取整数） 【答案】大树比小树约高2m 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长与交于点，与交于点，过点作于点，设，分别解，列出方程求出的值，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长与交于点，与交于点，过点作于点，则四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴，，，， ∴． 设，则， ． 又 ， ． 又， ． ，解得， 大树比小树约高2m． 13．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 【答案】(1)斜坡A地到B地的距离为100米 (2)小明跑到A地时，无人机已经回到A地 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，过点作，解直角三角形求出的长，根据坡度求出，进而推出为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为100米； （2）解：是，理由如下： 在中，， ∴， 在中，， ∴小明跑到A地时需要秒； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴小明跑到A地时，无人机已经回到A地． 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图①是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图②所示．在垂直地面的这座塔前阶梯下有一平台，小张在平台处测得塔顶端的仰角为，，走上阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． (1)求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离； (2)求这座塔的高度． （参考数据：，，，，结果均保留整数） 【答案】(1)阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为 (2)这座塔的高度约为 【分析】本题考查了坡度的概念、三角函数的应用以及矩形的判定和性质，解题的关键在于 理解坡度的含义和运用三角函数求解高度． （1）和的延长线相交于点，过点作于M点，如图，先根据坡度的定义得到，则可设则，然后求出x即可； （2）先在中利用正弦计算出，再利用四边形为矩形得到，然后计算即可． 【详解】（1）解：和的延长线相交于点，过点作于， 阶梯的坡度， ， 设，， ， ， 解得， 答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为； （2）在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 答：这座塔的高度约为． 15．（2025·新疆伊犁·模拟预测）在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼的高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，根据坡比得出（米） ，（米），在中，，列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图， 的坡度， ， 设，则， ∴， ∵的长为米， ∴， 解得：， ∴（米），（米） 在中，， 即， ， 解得米． 答：教学楼的高度为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $