精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2025-2026学年高三上学期月考（一）数学试题

柘荣一中2025-2026学年第一学期高三月考（一） 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 2. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A B. C. D. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量满足且，则 B. 已知随机变量～，若，则 C 若事件相互独立，则 D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 5. 若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知函数，则下列说法不正确（ ） A. 在上单调递减 B. 是的零点 C. 的极小值为0 D. 的极大值点为 7. 函数在区间单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，E为的中点，沿将翻折至的位置得到四棱锥，且直线与直线所成的角为45°.则的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间有5个零点 D. 关于对称 10. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为的正方体中，点P在正方体内（包含边界）运动.则下列说法正确的是（ ） A. 若动点P在面上的运动，且，则点P轨迹的长度为 B. 直线与所成角为，则动点P所围成的图形的面积是 C. 若P为线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 D. 若动点P在面内运动，且，则线段长的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知的定义域为，则的定义域为_________. 13. 某企业有两条生产某种零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产线的生产效率的两倍．若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015，第 2 条生产线出现废品的概率约为 0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，则该零件为废品的概率为_____________. 14. 已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______． 四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分） 15. 已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数． （1）求和解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16. 为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 （2）若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.072 2706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间与极值； （2）若函数在上仅有2个零点，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点M为线段上的动点（包含端点） （1）若为的中点.证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 19. 已知函数. （1）当时，求函数在的最小值； （2）当时，求函数在的最大值； （3）求证：对，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柘荣一中2025-2026学年第一学期高三月考（一） 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 2. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性可求得不等式的解，根据推出关系和充分、必要条件定义可得到结论. 【详解】若，则，解得：， 对于A，，，则“”为“”的必要不充分条件，A错误； 对于B，，，则“”为“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，“”为“”的充要条件，C错误； 对于D，，，则“”为“”的必要不充分条件，D错误. 故选：B. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量满足且，则 B. 已知随机变量～，若，则 C. 若事件相互独立，则 D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】对于A：因且，所以，故A正确； 对于B：随机变量～，则，解得：，故B正确； 对于C：若事件、相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、， 因为，所以组数据的相关性更强，故D错误. 故选：D 5. 若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】条件表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答． 【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足. 故选：D. 6 已知函数，则下列说法不正确（ ） A. 在上单调递减 B. 是的零点 C. 的极小值为0 D. 的极大值点为 【答案】D 【解析】 【分析】由导数确定单调性，从而可得极值点，计算函数值后可判断各选项． 【详解】, 当时，，所以在上单调递减，时，，在上单调递增，是极小值，，因此ABC正确，D错误， 故选：D． 7. 函数在区间单调递减，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性和对数型复合函数定义域的求法可构造方程组求得结果. 【详解】设 由复合函数单调性可知：若在区间上单调递减， 则在上单调递减且在上恒成立， ，解得：，即的取值范围为. 故选：C. 8. 如图，在平行四边形中，，，E为的中点，沿将翻折至的位置得到四棱锥，且直线与直线所成的角为45°.则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作辅助线，取的中点为，连接.取的中点为，连接.先证明，再确定，进而根据勾股定理可求出的长. 【详解】取的中点为，连接，取的中点为，连接. 因为，，所以. 因为，所以为正三角形，所以， 因为，所以. 因为，所以. 又，所以，所以，所以. 又分别为的中点，所以. 所以.又，平面. 所以平面，又平面，所以. 又，所以四边形为平行四边形. 所以，所以. 又直线与直线所成的角为，所以直线与直线所成的角为， 即. 在中，，， 所以，根据勾股定理得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间有5个零点 D. 关于对称 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到周期，可求函数值. 【详解】对A：因为函数是定义在上的奇函数，所以，. 又对任意实数，恒有成立，所以， 所以，即，故A正确； 对B：由，根据可得：， 由，根据可得：，. 所以， 又，所以. 所以，故B正确； 对C：由B可知，函数在上的零点有：共7个，故C错误； 对D：因为且，所以，所以函数的图象关于点中心对称，没有足够的理由说明的图象关于轴对称，故D错误. 故选：AB 10. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，不在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A正确； 不在的概率为，则， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为的正方体中，点P在正方体内（包含边界）运动.则下列说法正确的是（ ） A. 若动点P在面上的运动，且，则点P轨迹的长度为 B. 直线与所成角为，则动点P所围成的图形的面积是 C. 若P为线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 D. 若动点P在面内运动，且，则线段长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直可得，即可根据弧长公式求解A，根据线线角的定义可得点的轨迹为线段，以及，即可根据扇形面积公式求解B，由线面平行的性质，结合等体积法即可求解C，建立空间坐标系，根据两点距离公式，即可求解D. 【详解】对于A，动点P在面上的运动， 平面，平面，故， 由于,，故， 故点的轨迹为以为圆心，以半径为1的圆弧，故点P轨迹的长度为，A正确， 对于B，当在平面上运动且位于处，满足时，此时， 故此时（不与重合）时，直线与所成角为， 当在平面上运动且位于处，满足时，此时， 故此时（不与重合）时，直线与所成角为， 当在平面上运动时，考虑到平面， 要使直线与所成角为，，故需满足， 故此时点的轨迹为以为圆心，以半径为1的圆弧（如图）， 由于平面，故不能在平面运动， 当在平面上运动时，若满足与所成角为， 不妨设此时点位于处，过作，则为，故， 考虑到的最大值为体对角线，其中为棱长， 此时不满足，故不能在平面运动，同理可得不能在平面上运动， 因此点的轨迹为线段，以及， 故围成的面积为以为顶点，为底面圆心，1为底面半径的圆锥侧面面积的， 由于，故，故B正确， 对于C，由于平面，平面，故平面， 因此为线段上的动点时，此时到平面的距离与到平面的距离相等， 故，故C错误， 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 由于动点P在面内运动，则， 故， 故，则， 化简可得，即， 故，则， ， 故当时，此时取到最小值，故D正确， 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知的定义域为，则的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由题意得：. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 13. 某企业有两条生产某种零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产线的生产效率的两倍．若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015，第 2 条生产线出现废品的概率约为 0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，则该零件为废品的概率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】设“随机抽取一件该企业生产该零件为废品”， “随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， “随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，又，， 于是 . 故答案为：. 14. 已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设向量与的夹角为，，则， ， 所以当时，取得最小值为， 即， 所以. 如图所示，设，三角形是等边三角形， 设是的中点，则， 由于，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为， 根据圆的几何性质可知，即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题. 四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分） 15. 已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数． （1）求和的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数定义以及奇函数性质计算可得解析式； （2）由解析式可得函数单调递减，再由奇函数性质解不等式即可得出结果. 【小问1详解】 设且， 可得 即是定义在上的奇函数， 因此， 即对恒成立， 解得， 所以； 【小问2详解】 易知， 因此可得为定义在上的单调递减函数； 恒成立， 所以恒成立， 即恒成立，因此恒成立， 可得，解得. 16. 为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 （2）若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0.100 0.050 0025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）无关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题中的数据可得列联表，由列联表可求得，从而可判断结果； （2）根据题意，所有可能的值为，再分别求出概率后可得分布列及数学期望. 【小问1详解】 抽取的该校100名高中学生中感兴趣的人数为人， 列联表补充如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男 女 合计 零假设学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． 则， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． 【小问2详解】 所有可能的值为. ，， ，， 的分布列为： 3 的数学期望：. 17. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间与极值； （2）若函数在上仅有2个零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解方程求出，再代入，对求导，即可得出答案. （2）分离参数可得，此题可转化为函数的图象与函数的图象有2个不同的交点，对求导，求出的单调性和最值，即可得出答案. 【小问1详解】 是函数的极值点， ，解得， ， 可知：是函数的极大值点，满足题意.. 令可得或；令可得， 所以的单调增区间为：，单调减区间为：； 极大值为,极小值为； 【小问2详解】 函数在上仅有2个零点不是函数的零点） 则令，所以， 可转化为函数的图象与函数的图象有2个不同的交点， 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增， 时，函数取得极小值即最小值，. 当趋近于时，趋近正无穷，因为， 所以，解得： 的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点M为线段上的动点（包含端点） （1）若为的中点.证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直判定即可证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 由题意，平面平面，平面平面，,平面， 所以平面，平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面 【小问2详解】 设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为长方形，故， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，故， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为，，则，化简可得， 解得，（舍去） ， 此时可得,即为的中点，故 19. 已知函数. （1）当时，求函数在的最小值； （2）当时，求函数在的最大值； （3）求证：对，都有. 【答案】（1）答案见解析 （2）0 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分类讨论和时，的正负，得到函数的单调区间，从而求出函数在的最小值； （2）当时，，得到在上单调递减，从而； （3）由（2）知， ，得到，求出，分以及可证明结论. 【小问1详解】 由题可得，因为，所以， 当时，，所以函数在上单调递增，， 当时，令，即， 因为在上单调递减，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 由于，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，当时，， 当时，， 当时， 【小问2详解】 由题可得，因为时，， 当，，等号仅在某些特殊值时取得，所以在上单调递减， 所以 【小问3详解】 由（2）知，当，时，，即， 令，则 ， 令，① ，② ①②可得：， 化简得：， 所以， 当或2时，， 则成立 当时，， 则成立； 当时，， 所以， 综上：对，都有，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $