第五单元 四则混合运算（二）（2）（解决问题专项） 数学冀教版五年级上册

该小学数学讲义通过分类梳理相遇问题、工程与生产问题等5类典型应用题，以“关键识别+解题要点”框架呈现每类问题的核心公式与分步思路，形成结构化知识脉络，清晰展现四则混合运算在实际情境中的应用重点与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从夯实基础到思维拓展逐步提升，如相遇问题通过典型例题与变式训练强化“速度和×时间=总路程”模型应用，培养运算能力与模型意识。答案解析详细且分步骤，助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

第五单元 四则混合运算（二） 1.相遇问题 –关键识别：两物体同时从两地出发，相向而行，求相遇时间、总路程等，涉及速 度、时间、路程的关系。 –解题要点： 总路程 =（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间； 相遇时间 = 总路程 ÷（甲速度 + 乙速度）； 可分步计算，先算各自路程再相加，或先算速度和再乘时间，也可列综合算式。 2.工程与生产问题 –关键识别：已知工作效率、工作时间、工作总量中的两个量，求第三个量；或效率 有变化，求完成时间等，如加工服装、做书架等。 –解题要点：工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率； 若效率变化，先算工作总量，再算实际工作效率，最后求工作时间。 3. 行程问题（非相遇类） –关键识别：涉及速度、时间、路程，已知部分路程和速度，求剩余时间等，如小明 去科学城的行程。 –解题要点： 路程 = 速度 × 时间； 时间 = 路程 ÷ 速度； 先算已行路程，再算剩余路程，最后求剩余时间。 4. 价格与费用问题 –关键识别：已知总价、部分单价和数量，求另一部分单价；或已知起步价和超出部 分单价，求路程等，如买门票、出租车费。 –解题要点： 总价 = 单价 × 数量； 先算已知部分的总价，再用总花费减已知部分总价，最后求未知单价或数量。 5. “计划与实际” 对比问题 –关键识别：已知计划的效率、时间，实际效率变化，求实际时间；或已知看书计划 页数、时间，实际看书速度变化，求时间差等。 –解题要点： 先算计划的工作总量（如书的总页数 = 计划每天看的页数 × 计划天数）； 再算实际工作时间（总页数 ÷ 实际每天的效率）； 最后求时间差（计划时间 - 实际时间）。 类型1：相遇问题 典型例题1：两列特快列车同时从北京和广州相对开出，一列速度是 119 千米 / 时，另一列速度是 125 千米 / 时，经过 9.5 小时相遇。北京和广州之间的距离是多少千米？ 思路分析：相遇问题中，总路程等于两列火车的速度和乘以相遇时间。我们可以先算出两列火车的（ ），即（ ），再乘以相遇时间（ ）得到总路程。 答题区： 变式训练：甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 80 千米 / 时，乙车速度为 70 千米 / 时，经过 5 小时相遇。A、B 两地相距多少千米？ 类型2：工程与生产问题 典型例题2：一个服装厂改进了裁剪方式，每套比原来节省了0.2米布。原来做1800套服装的布，现在可以做多少套？ 思路分析：用原来一套衣服用布的米数×（ ），求出布的总数，再用（ ）÷现在每套衣服的米数即可。 答题区： 变式训练： 某服装厂接到加工 660 套西服的订单，约定 8 天完成。前 3 天平均每天加工 75 套，剩下的要在 5 天内完成，剩下的每天至少要加工多少套？ 类型3：行程问题（非相遇类） 典型例题3：从小明家到科学城大约是 1000 米，小明已经走了 12 分钟，每分钟大约走 50 米，大约再走几分钟就能到科学城？ 思路分析：先算出小明已经走的路程，再用总路程减去已走路程得到剩余路程，最后用剩余路 程除以（ ），得到还需要走的时间。 答题区： 变式训练： 小红从家到学校有879 米，她已经走了 10 分钟，每分钟走 60 米，剩下的路程她想 4.5 分钟走完，剩下的路程每分钟要走多少米？ 类型4：价格与费用问题 典型例题4：爸爸从超市买回2.4千克牛肉和2千克鸡蛋，一共用了118元，鸡蛋每千克5.6元，牛肉每千克多少元？ 思路分析：根据金额＝数量×单价，求出鸡蛋价格，用总金额减去（ ），再除以牛 肉重量即可解答。 答题区： 变式训练： 3 位老师带领 45 名学生去参观海底世界，买门票一共花了 1995 元。成人票每张 65 元，学生票每张多少元钱？ 类型5：“计划与实际” 对比问题 典型例题5：丫丫买来一本《童话故事》，计划每天看 20 页，2 周看完。照丫丫第一天看的页数计算（第一天看了 28 页），看完这本书比计划要少用几天？ 思路分析：先算出这本书的总页数，再用总页数除以实际每天看的页数，得到实际看完需要的 天数，最后用计划天数减去实际天数，得到（ ）。 答题区： 变式训练： 一个口罩生产厂日产量5万个，后因市场需求增加生产线，每天多生产口罩1.25万个，现在有这样的4家工厂，生产200万个口罩需要几天？ A夯实基础 一、填空题。 1.计算1.4×[（7.5＋38.4）÷0.9]时，应先算( )法，结果是( )。 2.把3.85－0.47＝3.38，3.45－3.38＝0.07，9.8×0.07＝0.686合并成一个综合算式是( )。 二、解答题。 1.石家庄到北京的路程大约是300千米，客车从北京开往石家庄，货车从石家庄开往北京。两车同时出发，大约经过多少小时相遇？ 2.明明和亮亮分别从自己家同时出发相向而行，明明骑自行车每分钟行0.2千米，亮亮坐出租车每分钟行0.9千米，12分钟后两人相遇。两家相距多少千米？ 3.妈妈给小丽买了一套漫画书和一套童话书共花了294元，已知每套漫画书12本，每本12.5元，每套童话书15本，每本童话书多少元？ 4.从一个长方形上剪去一个最大的正方形后，剩下的面积是216平方厘米，已知原来长方形的宽是18厘米，原来这个长方形的面积是多少平方厘米？（用两种方法计算） B培优拔高 1.小卖部以每根1.5元的价格购进一批跳绳，以每根2.5元的价格售出。当卖到还剩40根时，不仅收回全部成本，还获利50元，小卖部一共购进跳绳多少根？ 2.某工程队修建一条长为1050米的天然气管道，由两个小组同时从两端开始挖管道沟。预计第一组每天挖46米，第二组每天挖43米。挖通这条管道沟大约需要多少天？ 3.如图，张亮和王强同时从南兴村和北旺村出发，相向而行，2.5小时后在途中相遇。南兴村和北旺村之间的距离有多少千米？ 4.某地出租车收费方法如下：乘车路程不超过3千米时，收费9元（起步价）；超过3千米时，超过部分按每千米1.2元加收车费（不足1千米按1千米算）。某乘客一次乘车付车费22.2元，他乘车的最长路程是多少千米？ 5.爸爸买了3.5千克西红柿和一些辣椒，共用去42.9元。每千克辣椒5.2元，每千克西红柿7.8元，爸爸买了多少千克辣椒？ 6.某工程队原来每天可以修路0.94千米，后来增加了设备，每天可以多修0.2千米。如果用这样2个增加设备后的工程队，修一条45.6千米的路，一共需要多少天？ C思维拓展 1.工人要给20平方米的展厅铺地砖。面积是0.16平方米的方砖每块18.4元，铺每平方米地面的人工费是12.5元；面积是0.25平方米的方砖每块25元，铺每平方米地面的人工费是11.5元。铺哪种方砖花费少？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：速度和 125+119 9.5 答题区： （125+119）×9.5=2318（千米） 答：北京和广州之间的距离是2318千米。 变式训练答案： （70+80）×5=750（千米） 答：A、B 两地相距750千米. 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析： 原来做的套数 布的总数 答题区： 3.8×1800÷（3.8－0.2）＝1900（套） 答：现在可以做1900套。 变式训练答案： （660 - 3×75）÷5=87（套） 答：剩下的每天至少要加工 87 套。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析： 速度 答题区： （1000-12×50）÷50=8（分钟） 答：大约再走8分钟就能到科学城。 变式训练答案： （879-60×10）÷4.5=62（米） 答：剩下的路程每分钟要走62米。 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析： 2千克鸡蛋价格 答题区： （118－2×5.6）÷2.4＝44.5（元） 答：牛肉每千克44.5元。 变式训练答案： （1995-3×65）÷45=40（元） 答：学生票每张40元。 类型5答案解析 典型例题5： 思路分析： 少用的天数 答题区： 20×2×7=280（页） 2×7 - 280÷28=4（天） 答：看完这本书比计划要少用4天。 变式训练答案： 200÷[（5＋1.25）×4]＝8（天） 答：生产200万个扩招需要8天。 A夯实基础 一、填空题 1.答案： 加 71.4 解析：略。 2.答案： 9.8×[3.45－（3.85－0.47）]＝0.686 解析：略。 二、解答题。 1.答案：300÷（90＋60）＝2（小时） 答：大约经过2小时相遇。 解析：已知石家庄到北京路程（总路程）为300千米。货车速度是60千米/时，客车速度是90千米/时。两车速度和为货车速度与客车速度相加，即（60＋90）。根据相遇问题公式：相遇时间＝总路程÷速度和，用300除以（60＋90）可得相遇时间。 2.答案：（0.2＋0.9）×12＝13.2（千米） 答：两家相距13.2千米。 解析：略。 3.答案：（294－12×12.5）÷15＝9.6（元） 答：每本童话书9.6元。 解析：用漫画书每本的价格乘购买的本数，可以算出买漫画书花了多少钱，根据减法的意义，用总共花的钱数减去购买漫画书花的钱数，可以求出购买童话书花的钱数，再用求出的该钱数除以童话书的本书，即可算出童话书每本多少钱。 4.答案：方法一： （216÷18＋18）×18＝540（平方厘米） 方法二： 18×18＋216＝540（平方厘米） 答：原来这个长方形的面积是540平方厘米。 解析：略。 B培优拔高 1.答案：（50＋1.5×40）÷（2.5－1.5）＋40＝150（根） 答：小卖部一共购进150根跳绳。 解析：当卖到还剩40根时，就收回成本，还获利50元，则卖掉的绳子实际获利（50＋1.5×40）元，每根绳子获利（2.5－1.5）元，可求卖掉的绳子数，则购进的绳子数可求。 2.答案:1050÷（46＋43）≈12（天） 答：挖通这条管道沟大约需要12天。 解析：根据题意，两个小组同时从两端开始挖管道沟，先把两个小组每天的挖掘量相加，求出两组一天的挖掘量，再用天然气管道总长除以两组一天的挖掘量，即是挖通这条管道沟大约需要的天数。 3.答案：（6＋5.5）×2.5＝28.75（千米） 答：南兴村和北旺村之间的距离有28.75千米。 解析：根据路程＝速度和×时间，用6＋5.5＝11.5千米求出张亮和王强1小时行的千米数（速度和），再乘2.5即可求出南兴村和北旺村之间的距离。 4.答案：（22.2－9）÷1.2＋3＝14（千米） 答：他乘车的最长路程是14千米。 解析：用付的车费减去9元，求出超过3千米付的钱数，再用这个钱数除以1.2即可求出行驶了多远，再加上3即可求出乘车的最长路程。 5.答案：（42.9－7.8×3.5）÷5.2＝3（千克） 答：爸爸买了3千克辣椒。 解析：根据单价×数量＝总价，用每千克西红柿的价格乘西红柿的重量求出购买西红柿的总钱数，再用买西红柿和辣椒一共花的钱数减去购买西红柿的总钱数，求出购买辣椒的总钱数，再根据总价÷单价＝数量，求出爸爸买了多少千克辣椒。 6.答案：45.6÷[（0.94＋0.2）×2]＝20（天） 答：一共需要20天。 解析：已知原来每天可以修路0.94千米，现在每天可以多修0.2千米，则现在每天修（0.94＋0.2）千米，再乘2，即是2个工程队每天修路的长度；再用这条路的全长除以每天修路的长度，求出一共需要的天数。 C思维拓展 1.答案：20÷0.16＝125（块）    18.4×125＋12.5×20＝2550（元） 20÷0.25＝80（块）        25×80＋11.5×20＝2230（元） 2230＜2550 铺面积是0.25平方米的方砖花费少。 答：铺面积是0.25平方米的方砖花费少。 解析：先用20÷0.16和20÷0.25列式算出面积是0.16平方米的方砖和面积是0.25平方米的方砖各需要多少块，再用各自需要的块数×各自的单价求出两种方砖各自需要的钱数，再用每平方米各自的人工费用乘20求出各自需要的人工费用，再把两种方砖各自需要的钱数与各自需要的人工费用相加求出各自的费用和，最后把两种方砖需要的总花费进行比较即可。 学科网（北京）股份有限公司 $