6.2黄金分割（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦“黄金分割”核心内容，涵盖概念、黄金比（√5-1/2≈0.618）及分割点计算。通过东方明珠塔设计、芭蕾舞演员踮脚尖等实例导入，引导学生度量线段比值建立模型，衔接图形相似知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，体现数学审美价值培养数学眼光，如用建筑实例引导观察比例。通过“度量-推测-证明”过程培养推理意识，如典例列方程推导黄金比。题型含辨析、计算、构造，助学生用数学语言表达，如纬度范围计算实例。学生能感受数学应用，教师可借实例和题型提升教学效率。

苏科版·九年级下册 6.2 黄金分割 第六章 图形的相似 章节导读 学 习 目 标 1 2 通过建筑、艺术上的例子，理解黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念 能根据黄金分割的相关概念进行简单的计算 新知探究 凡是美的东西，都有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致。 ——毕达哥拉斯 新知探究 思 考 1. 东方明珠塔，塔高468米。 在设计的最初，设计师将塔身设计为直线型 ( 如图1 )； 后来，为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观，设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处设计一个球体 ( 如图2 )。 新知探究 我们可以建立如图所示的数学模型，度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值。 “黄金分割点”究竟特别在哪里呢？ 解：计算可得：AB : AC ≈ 0.62；BC : AB ≈ 0.62。 推测：AB : AC = BC : AB。 新知探究 思 考 2. 芭蕾舞演员表演时，身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。为什么舞台上翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖呢？ 解：因为踮起脚尖可以让芭蕾舞演员的下半身显得更加修长，给人以匀称、协调的美感。 新知探究 让我们从数学角度来分析“这种美感”产生的根源 度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值。 解：计算可得：AB : AC ≈ 0.62；BC : AB ≈ 0.62。 推测：AB : AC = BC : AB。 典例分析 A B C 典例 如图，点B在线段AC上，且 = 。设AC = 1，求AB的长。 解：设AB = x，则BC = AC - AB = 1 - x。 由 = ，得： = x，即x2 + x - 1 = 0。 解这个方程，得：x1 = ，x2 = ( 不合题意，舍去 )。 ∴AB的长为。 新知探究 计算：的近似值 ( 保留到千分位 )。 解： ≈ 0.618。 我们会发现0.618或0.62这个值的出现并不是偶然， 它就是黄金比值的约值。 新知探究 黄金分割： 如图，点B把线段AC分成两部分，如果 = ( BC < AB )， 那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。 AB与AC ( 或 BC与AB )的比称为黄金比，它们的比值为， 在计算时，通常取它的近似值0.618。 知识要点 A B C 新知探究 知识要点 A B C 上述 = 可转化为： ( 1 ) AB2 = BC · AC；( 2 ) = 。 新知探究 “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用。 我国的国歌歌词是散文式的自由体新诗，作曲家聂耳在谱曲时，创造性地将它谱成由6个长短不等的乐句组成的自由体乐段。歌曲高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比振奋。 新知探究 你能举例说明黄金分割在生活中的应用吗？ 解：数学课本是长方形，其宽与长的比约为0.618； 一片树叶也蕴含着“黄金分割”； 鹦鹉螺外壳，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618。 新知探究 探 究 1. 一条线段有几个黄金分割点？( 以线段AC为例 ) 解：如图，① 当 = 时，B1为线段AC的分割点； ② 当 = 时，B2为线段AC的分割点； 综上，一条线段的黄金分割点有2个。 A C B2 B1 新知探究 探 究 2. 已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度。 解：如图，B点有两种可能性，需分类讨论： ① AB1 < B1C， ∵点B1为线段AC的黄金分割点，∴ = ， ∴ = = 1 - = 1 - = ， ∴AB1 = ( 1 - )AC = AC； A C B2 B1 新知探究 探 究 2. 已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度。 ② AB2 > BC2， ∵点B2为线段AC的黄金分割点，∴ = ， ∴AB2 = AC； 综上，AB = AC或AB = AC。 A C B2 B1 题型探究 【例1】如图，P为线段AB的黄金分割点，且AP > BP，则下列结论成立的个数是________个。 ( 1 ) = ； ( 2 ) AB : AP = AP : PB； ( 3 ) BP2 = AP·AB； ( 4 ) ≈ 0.618。 黄金分割有关的辨析 题型一 解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP > BP， ∴ = ≈ 0.618，即 = ，AP2 = BP·AB， ∴( 1 ) ( 2 ) ( 4 )正确，( 3 )错误。 A P B 3 题型探究 【例2】地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家，那么黄金地带纬度的范围是______________。( 黄金比为0.618 ) 根据黄金分割求值 题型二 解：∵90° × 0.618 = 55.62°， 90° - 55.62° = 34.38°， ∴黄金地带纬度的范围是：34.38°～55.62°。 34.38°～55.62° 题型探究 【例3】已知点P是线段AB的黄金分割点，AB = 6，那么AP的长是__________________。 根据黄金分割求值 题型二 解：① AP < PB， ∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP = AB = × 6 = 9 - 3； ② AP > PB， ∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP = AB = × 6 = 3 - 3； 综上，AP = 9 - 3或3 - 3。 9 - 3或3 - 3 题型探究 【例4】如图，C是AB的黄金分割点，BG = AB，以CA为边的正方形的面积为S1，以BC、BG为边的矩形的面积为S2，则S1 ________ S2 ( 填“ > ” “ < ” “ = ” )。 根据黄金分割求值 题型二 解：由题意可得：S1 : S2 = ， ∵C是AB的黄金分割点，且AC > BC， ∴ = ，即AC2 = BC·AB， ∵BG = AB，∴AC2 = BC·BG， ∴S1 : S2 = =1，即S1 = S2。 = A C B G D E F 题型探究 【例5】如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB = AD = CD = 2，且BD < CD，则AC的长度是________。 根据黄金分割求值 题型二 解：如图，过A作AE⊥BD于E， ∵D是边BC的“黄金分割”点，且BD < DC，CD = 2， ∴BD = × CD = -1， ∵AB = AD，AE⊥BD，∴BE = DE = BD = ， ∴CE = CD + DE = 2 + = ， D C B A E 题型探究 【例5】如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB = AD = CD = 2，且BD < CD，则AC的长度是________。 根据黄金分割求值 题型二 在Rt△AEB中，由勾股定理得： AE2 = AB2 - BE2 = 22 - ( )2 = ， 在Rt△ACE中，由勾股定理得： AC = = = + 1。 + 1 D C B A E 题型探究 【例6】采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使BD = AB，连接DA，在DA上截取DE = DB；在AB上截取AC = AE。点C就是线段AB的黄金分割点，你能说说其中的道理吗？ 黄金分割点的判断 题型三 分析：证明AC = AB即可。 证明：设AB = 2a，则BD = a，DE = a， 在Rt△ABD中，AD = = a， ∴AE = AD - DE = a - a = ( - 1 )a，∴AC = AE = ( - 1 )a， 即AC = AB，∴点C就是线段AB的黄金分割点。 课堂小结 黄金分割： 如图，点B把线段AC分成两部分，如果 = ( BC < AB )， 那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。 AB与AC ( 或 BC与AB )的比称为黄金比，它们的比值为， 在计算时，通常取它的近似值0.618。 感谢聆听! $