6.2黄金分割 导学案 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦“黄金分割”，涵盖概念理解、黄金比计算、尺规作图及应用。以东方明珠塔实例导入，通过活动1求比值引出黄金比，活动2尺规作图深化理解，衔接线段比、成比例线段知识，搭建递进式学习支架。 资料特色在于融合生活实例与实践操作，以问题探究驱动学习，培养抽象能力与几何直观。例题分层设计，练习联系生活，课后拓展创新作法，助力学生用数学眼光观察世界，提升推理能力与应用意识，实现知识建构与素养发展统一。

6.2黄金分割 【学习目标】 1. 理解黄金分割的概念，会利用黄金分割的比例式或黄金比进行计算； 2. 会用尺规找任一条线段的黄金分割点； 3. 进一步理解线段的比、成比例线段，增强综合运用能力. 【学习过程】 活动1上海东方明珠塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽，计算图中线段AB 与 AC、BC 与AB的比值，我们发现,假设,你能求出k 的值吗 数学认识： 活动2用直尺和圆规作线段AC(如图)的一个黄金分割点。 我的作法： 例1(1)一扇窗户的两邻边之比为黄金比，已知它的一边长为3.24m, 它的邻边的长为 (精确到0 .01m). (2)已知点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC),若AB=4, 则AC= (保留根号) 例2.如果矩形相邻的两条边的比为黄金比，那么这种矩形叫做黄金矩形. 如图，矩形ABCD是黄金矩形，将该矩形折叠，点B 落在边AD 上的点F 处，折痕为 AE. 矩形CDFE 是黄金矩形吗?请说明理由. 课时练习 1. 东方明珠电视塔高468m, 如果把塔身看作一条线段AC, 中间的球体看作点B, 那么点 B 是线段AC 的黄金分割点，则AB 的长度是(精确到0.1m). 2.①一条线段的黄金分割点有 个； ②如图，若点B 是线段AC 的黄金分割点(AB>BC),AC=20cm,则 AB 的长为 3. 如图，点C 把线段AB分成两条线段AC和BC. 如果, 那么下列说法错的是( ). A. 线段AB被点C 黄金分割B. 点 C叫做线段AB的黄金分割点 C.AB 与 AC 的比做黄金比D.BC 与AC的比做黄金比 4. 已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP<PB, 则( ) A.AP²=AB·PB B.AB²=AP·PB C.PB²=APAB D.AP²+BP²=AB² 5.如 图 ，C 、D 是线段AB的两个黄金分割点，AB=1,求线段CD的长. 课后作业 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm, 则它的宽约为 ( ). A.12.36cm B.13.6 cm C.32.36cm D.7.64 cm 2. 已知点P是线段AB 的黄金分割点，①若PA>PB, 则PA:PB= ; ② 若AB=2, 则PB= ( 结 果 保 留 根 号 ) . 3. 如 图 ，C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC.写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项。 4. 如 图 ， 点P 是线段AB的黄金分割点，且PA>PB,若S₁表示以AP 为边的正方形的面积，S₂ 表示长为AB 、宽 为PB的矩形面积，比较S₁与S₂的大小，并说明理由. 5.如图，乐器上的一根弦AB=80cm, 两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，试确定支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A 的距离， 6.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图，设AB 是已知线段，以AB 为边作正方形ABCD; 取AB 的中点 P, 连接PD: 延长BA至点F, 使PF=PD: 以线段AF为边作正方形AFEH,H就是AD的黄金分割点。你能 说说这种作法的道理吗? 一、活动1：求黄金比k的值 答案： 解析： 设线段AC为全长（设AC = 1），由，可得： 。 根据比例关系，代入得： ，交叉相乘得。 整理为一元二次方程：，用求根公式，解得： 。 因为线段比为正数，舍去负根，得（这个比值就是黄金比）。 二、活动2：尺规作线段的黄金分割点（以作线段$AC$的黄金分割点$B$为例，要求$AB > BC$） 作法： 1. 过线段AC的端点C，作，使（用圆规截取CD长度）； 2. 连接AD，用圆规在$AD$上截取DE = CD； 3. 用圆规在线段AC上截取AB = AE； 4. 点B即为线段AC的黄金分割点（满足）。 三、例题答案 例1 (1) 答案：约 解析：黄金比约为0.618（较短边:较长边），分两种情况： - 若是较长边，则邻边（较短边）； - 若3.24m是较短边，则邻边（较长边）。 (2) 答案： 解析：点C是黄金分割点（AC > BC），较长线段。 代入AB=4，得。 例2 答案：矩形CDFE是黄金矩形 解析：设黄金矩形ABCD的长BC = a，宽AB = b，因是黄金矩形，故（黄金比的倒数，较长边$:$较短边），即。 - 折叠后，（折痕$AE$为对称轴），故AF = AB = b； - AD = BC = a，点F在AD上，故FD = AD - AF = a - b； - 矩形CDFE的长CD = AB = b，宽FD = a - b，计算比值： 故（黄金比）。 因此，矩形CDFE是黄金矩形。 四、课时练习答案 1. 答案：约 2. ① 答案：2 解析：一条线段有两个黄金分割点，分别靠近两个端点（一个分线段为“长:短=黄金比倒数”，一个为“短:长=黄金比”）。 ② 答案：） 解析：。 3. 答案：C 解析：黄金比是，而AB:AC是黄金比的倒数，不叫黄金比，故C错误。 4. 答案：C 解析：AP < PB，则PB是较长线段，黄金分割的核心比例是，交叉相乘得，故选C。 5. 答案： 解析：AB=1，两个黄金分割点C（靠近B）、D（靠近A）： - 较长线段长度为，较短线段长度为； - （D靠近A，较短线段），（C靠近B，较长线段）； - 。 五、课后作业答案 1. 答案：A 2. ① 答案： 解析：PA > PB，。 ② 答案： 解析：AB=2，PA > PB时，PB是较短线段，。 3. 黄金分割比例式： 比例中项：线段AC（在比例式中，AC是AB和BC的比例中项）。 4. 答案： 解析： -（正方形面积），（矩形面积）； - 因P是黄金分割点（PA > PB），故，交叉相乘得； - 因此。 5. 答案：支撑点C到B的距离约，支撑点D到A的距离约 解析： - ，C靠近B（较短线段BC），D靠近A（较短线段AD）； - 较短线段长度； - 故。 6. 作法道理： 设AB=1，正方形ABCD中， AD=1，P是AB中点，故； - ； - 延长BA至F，使，故； - 正方形AFEH中，，而（黄金比）； - 因此H是AD的黄金分割点。 学科网（北京）股份有限公司 $