5.3直角三角形全等的判定（题型专练）数学湘教版2024八年级上册

5.3直角三角形全等的判定 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用HL证明三角形全等 题型二 HL与全等三角形的性质综合应用 题型三 添加条件使直角三角形全等 题型四 确定全等直角三角形的对数 题型五 灵活选用判定方法证明直角三角形全等 题型六 全等直角三角形的应用 能力提升题 题型一 与直角三角形全等有关的几何多结论问题 题型二 全等直角三角形的综合问题 题型一 利用HL证明三角形全等 1．如图，可直接用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 故选：C 2．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 3．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 4．如图，点在线段上，，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，再根据直角三角形的全等判定定理“”证明即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 5．如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：≌ (2)若，试求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)20 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法； （1）利用HL即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴≌（HL）； （2）解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 HL与全等三角形的性质综合应用 6．如图，，，垂足分别为A，D，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角． 先证明，可知，，，即，再证明，根据等边对等角得到，进而根据三角形内角和计算即可． 【详解】证明：如图， ∵，， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴（）， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：C． 7．如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 8．63．如图，已知于点D， 于点E，相交于点 F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，掌握定理是解决问题的关键．利用可证明，可证明，则结论可证． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ， ． 9．如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与勾股定理，确定用定理进行证明是关键． （1）由题意可知和为直角三角形，根据定理证明即可； （2）由可知，在中，根据勾股定理可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴和为直角三角形， 在和中，， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 10.如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，，，，、的角平分线交于点F．求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，添加合适的辅助线利用三角形内角和为是解决本题的关键． 先证明，再根据角平分线的性质可得，，再由同旁内角可得，即可得，由此可解． 【详解】解：连接，如图， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三 添加条件使直角三角形全等 11．如图，，垂足分别是E，F，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．分析已知条件为两直角边对应相等，根据“”为直角边和斜边对应相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且这两条线段为直角边，若利用“”证明，则添加的条件应为斜边对应相等， ∴需添加的条件是， 故选：B． 12．如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合. 故选：B． 13．10．如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法“”，根据直角三角形中一组直角边相等，只需要添加斜边相等即可，掌握判定方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要根据“”判定，则需要添加斜边， 故选：． 14.如图，，且，能保证成立的条件有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①∵，， ∴ 又∵， ∴ 条件③，不能证明 故选：C． 题型四 确定全等直角三角形的对数 15．如图，中，，于D，于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、．做题时要由易到难，不重不漏．，，，，，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ； ， ， ，， ，， 综上，共有6对全等直角三角形， 故选：D． 16．如图，线段被垂直平分，连接则图中全等的三角形一共有几组（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 根据线段垂直平分线的性质得，根据“边边边”证明，再根据“斜边直角边”得，同理可得，则答案可证. 【详解】解：∵线段被垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴； 同理可得. 综上所述，图中有3对全等的三角形． 故选：C． 题型五 灵活选用判定方法证明直角三角形全等 17．下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等直角三角形的判定， 根据直角三角形全等的判定定理逐个解答即可． 【详解】解：因为两个锐角对应相等，没有边的参与，这两个三角形不全等，所以①不符合题意； 因为两条直角边对应相等，根据“边角边”可知这两个直角三角形全等，所以②符合题意； 因为斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可知这两个直角三角形全等，所以③符合题意； 因为一锐角和斜边对应相等，根据“角角边”可知这两个直角三角形全等，所以④符合题意； 因为一锐角和一直角边对应相等，根据“角角边或角边角”可知这两个直角三角形全等，所以⑤符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：B． 18．在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：,掌握全等的条件是解题的关键 ．依据全等的判定方法判定即可． 【详解】解：①若， 因为，但没有提及或，所以无法确定和一定全等，如图， 故选:D． ②若， ，， ， ②成立．如图， 故选：． 19．在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ①在和中， ， ∴，故本选项正确； ②在和中， ， ∴，故本选项正确； ③在和中， ， ∴，故本选项正确； ④∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴，故本选项正确； ∴能判定的条件为：①②③④， 答案：D． 20．已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定． 根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可． 【详解】证明：，，， （全等的判定方法为） ，即为等边三角形． 即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形， 只有选项B符合； 故选：B． 21．如图，是的中线，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用证明，得到，再利用即可证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 22．如图，在中，，垂足为，点在上，，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． （）由垂直的定义得到，再由判定方法即可证明； （）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用可证明，则，再由线段的和差关系可证明结论； （2）利用证明，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型六 全等直角三角形的应用 25．如图，四边形纸片中，．过点A作，垂足为点E．若，则该纸片的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角度关系以及直角三角形的面积计算等知识，通过构造辅助线和利用全等三角形的性质是解题的关键．过点作，交延长线于，连接，由可证，可得，，由可证得，可得，，可求的长，由面积关系可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 该纸片的面积． 26．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质．先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 27．如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，求的度数． 【答案】65° 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，即可得到． 【详解】解：在和中， ， ， ， ． 28．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A、B间的距离，同学们给出了以下建议： (1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A、B的点O，连接、，并分别延长至点C，延长至点D，使，最后测出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由； (2)乙同学的方案如下：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定定理是解决问题的关键． （1）通过证明即可得出结论； （2）先判断出与均为直角三角形，再利用证明全等即可得出结论． 【详解】（1）解：在和中 ， ， , ， 故甲同学的方案可行； （2）解：， 垂直平分， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， 故乙同学的方案可行． ． 题型一 与直角三角形全等有关的几何多结论问题 29．如图，在中，，，有以下结论： ①； ②为边的中点； ③； ④是的一条角平分线． 其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键． 利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴，，， ∴为边的中点，是的一条角平分线，故②③④正确． 综上所述：正确的结论有①②③④共4个. 故选：D． 30．已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．① D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理 ；解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 利用定理得出，进而判断①成立；根据平行线的性质再结合三角形内角和及、与、的关系，判断②成立；根据已知条件，无法通过三角形全等判定方法得出与相关的三角形全等，判断③不成立． 【详解】∵于M， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴． ∵， ∴．，，． 在中，， ∴，结论②正确． ∵， ∴． ， 但无法判定，进而不能确定．结论③错误； 综上，正确的结论是①②， 故选A． 31．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：；；；，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得，判断②；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得，判断③；连接，根据旋转的性质，可得，，根据等边三角形的判定和性质，可得是等边三角形，，根据三角形三边的关系，可得，进行判断④即可． 【详解】解：由旋转性质可知，，旋转角 ． ∴， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴，故①正确． ∵， ∴ ． ∵是的延长线， ∴，故②正确． 如图，连接， ∵，，且由旋转， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴ ∵ ∴（） ． ∴，故③正确． 连接， 由旋转可得：，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ④错误． 综上，正确的是①②③ ． 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系． 32．如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是（    ）． A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】主要题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟记全等三角形的判 定与性质是解题的关键． 如图：连接和，根据线段垂直平分线求出，根据角平分线性质求出，证出，根据全等三 角形的性质及线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接和， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵平分，， ∴，故①正确，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即④正确，符合题意； 根据题意，无法求出，故③错误，不符合题意． 综上，正确的有①②④． 故选∶D． 33．如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断①正确；设，则，表示和的长，可判断②正确；③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；设设则，，再表示出与即可判断④不正确． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； 设，则， ，， 中，，， ， 故②不正确； ③如图，过作于，连接， 在等边三角形中， ， 平分，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故③正确； 设 在中，， ，是的中点，，则， 设则，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故④错误， 故①③正确． 故选：B． 题型二 全等直角三角形的综合问题 34．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（    ）时， 和全等． A．3 B．6 C．3或 D．3或6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分类讨论：①当时，②当时，即可求解；能根据对应边的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：， ， ①当时， 在和中 ， （）； ②当时， 同理可证：（）； 3或6时，和全等； 故选：D． 35．如图1，已知A，E，F，C在同一条直线上，，过E，F分别作，，． (1)求证：平分； (2)若的边沿方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定； （１）由可得出，结合即可证出，根据全等三角形的性质可得出，结合对顶角相等及，即可证出，再根据全等三角形的性质即可得出，即平分； （２）同（１）可证出，，再根据全等三角形的性质可得出，即平分． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：平分成立，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 36．【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． 【答案】（1）8（2）斜边上的高为（3）①② 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，数形结合并熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的值， （2）设斜边高为h，由面积法可求得答案； （3）①根据P在上时，P的运动长度为可得； ②当点P在的角平分线上，过点P作，可证，再在中由勾股定理得到关于t的方程，进而可以求解． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， （2）设边上的高为h， 则， ∴， ∴，即斜边上的高为； （3）①当点P在上时，点P的运动长度为， ∴， 故答案为：； ②若点P在的角平分线上时，过点P作， 如图： ∵平分，，， ∴， 由①知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 37．如图，在中，，延长至使得，过作且满足，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，作的平分线交于点，若为中点， 连接，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，则，即可作答． （2）先得，再结合，以及外角性质，得，则，又因为为中点，故， ∴，运用三角形内角和性质，得．即． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：∵是的平分线， ∴， 由（1）得 ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 即， ∴， 则， ∴． 即． 38．已知：如图1，在中，，直线过点，连接、，且，． (1)求证：； (2)如图2，若点为边的中点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若过点作的垂线交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用证出即可解答； （2）连接，，证出是等腰直角三角形，得到，再证出即可解答； （3）延长交于，作于，证出是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求出的长度，再证出，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，，四点共圆， ∴， 同理可证， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）延长交于，作于，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆等知识，合理添加辅助线是解题的关键． 39．在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系．理由如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3直角三角形全等的判定 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 利用HL证明三角形全等 题型二 HL与全等三角形的性质综合应用 题型三 添加条件使直角三角形全等 题型四 确定全等直角三角形的对数 题型五 灵活选用判定方法证明直角三角形全等 题型六 全等直角三角形的应用 能力提升题 题型一 与直角三角形全等有关的几何多结论问题 题型二 全等直角三角形的综合问题 题型一 利用HL证明三角形全等 1．如图，可直接用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点在线段上，，，，，求证：． 5．如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：≌ (2)若，试求的面积． 题型二 HL与全等三角形的性质综合应用 6．如图，，，垂足分别为A，D，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 8．63．如图，已知于点D， 于点E，相交于点 F．求证：． 9．如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，求的长． 10.如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，，，，、的角平分线交于点F．求：的度数． 题型三 添加条件使直角三角形全等 11．如图，，垂足分别是E，F，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 12．如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（   ） A． B． C． D． 13．10．如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 14.如图，，且，能保证成立的条件有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 确定全等直角三角形的对数 15．如图，中，，于D，于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 16．如图，线段被垂直平分，连接则图中全等的三角形一共有几组（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型五 灵活选用判定方法证明直角三角形全等 17．下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 18．在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 19．在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 21．如图，是的中线，，于，于．求证：． 22．如图，在中，，垂足为，点在上，，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)求的度数． 23．如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： (1)； (2)． 24．如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 题型六 全等直角三角形的应用 25．如图，四边形纸片中，．过点A作，垂足为点E．若，则该纸片的面积为（   ） A． B． C． D． 26．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（   ） A． B． C． D． 27．如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，求的度数． 28．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A、B间的距离，同学们给出了以下建议： (1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A、B的点O，连接、，并分别延长至点C，延长至点D，使，最后测出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由； (2)乙同学的方案如下：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由． ． 题型一 与直角三角形全等有关的几何多结论问题 29．如图，在中，，，有以下结论： ①； ②为边的中点； ③； ④是的一条角平分线． 其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．① D．①②③ 31．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：；；；，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 32．如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是（    ）． A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 33．如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 题型二 全等直角三角形的综合问题 34．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（    ）时， 和全等． A．3 B．6 C．3或 D．3或6 35．如图1，已知A，E，F，C在同一条直线上，，过E，F分别作，，． (1)求证：平分； (2)若的边沿方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由． 36．【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． 37．如图，在中，，延长至使得，过作且满足，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，作的平分线交于点，若为中点， 连接，求的度数． 38．已知：如图1，在中，，直线过点，连接、，且，． (1)求证：； (2)如图2，若点为边的中点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若过点作的垂线交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点，若，，求的长． 39．在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $