专题05 巧作辅助圆解题（隐圆问题）（举一反三专项训练）数学人教版九年级上册

专题05 巧作辅助圆解题（隐圆问题）（举一反三专项训练） 【人教版】 【题型1 定点定长模型】 2 【题型2 对角互补模型】 3 【题型3 定弦定角模型】 4 【题型4 定角定高模型（探照灯模型）】 5 【题型5 最大张角模型（米勒定理）】 8 类型一 定点定长模型 如图，若P为动点，且，则A、B、P三点在同一个圆上． 类型二 对角互补模型（四点共圆模型） 如图①，在四边形ABCD中，（也满足）．如图②，在四边形ABCD中，． 结论：点A、B、C、D在同一个圆上． 类型三 定弦定角模型 已知弦AB与顶角均为定值，则： （1）如图①，当时，弦AB与点C在圆心异侧，点C的运动轨迹为； （2）如图②，当时，弦AB为直径，点C的运动轨迹为整个⊙O（不包含A、B两点）； （3）如图③，当时，弦AB与点C在圆心同侧，点C的运动轨迹为． 类型四 定角定高模型（探照灯模型） 如图，直线 BC 外一点A，A到直线BC的距离h为定值（定高），为定角，则由A、B、C三点可作出一个圆． 结论：即当点A、O、H共线时，圆的半径OA 取最小值，BC 取最小值． 类型五 最大张角模型（米勒定理) 如图，点A、B是的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则由A、B、C三点可作出一个圆． 结论：当且仅当三角形ABC的外接圆与边OM相切于点C时，最大． 【题型1 定点定长模型】 【例1】如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 ．      【变式1-2】如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 【变式1-3】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【题型2 对角互补模型】 【例2】如图所示，在等腰直角三角形中，，，点为斜边的中点，是上一动点，过点作垂直于交于点，连接，则的最小值是          ． 【变式2-1】如图，弦在以为直径的半圆上滑动，是的中点，于点若弦始终保持与半圆的半径相等，则的度数为          ． 【变式2-2】如图，将绕点旋转至，使得，，共线若，，则的长为          ． 【变式2-3】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【题型3 定弦定角模型】 【例3】如图，在等腰直角三角形中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．    【变式3-1】如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-2】）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 【变式3-3】已知，点A，B分别在射线上运动，． (1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： (2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： (3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 【题型4 定角定高模型（探照灯模型）】 【例4】辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【变式4-1】在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【变式4-2】问题提出： （1）如图①，与均为等边三角形，点C在上，点D在上，固定不动，让绕点O逆时针旋转，当时，则旋转角______． 问题探究： （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，垂足为D且，．求面积的最小值． 问题解决： （3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形为矩形，边上的点E为公园入口，千米，边上的点F为休息区，千米，千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中为消防通道，和为两条观光小路（小路宽度不计，G在边上，H在边上），根据实际需要，，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线到花卉超市B购买不同品种花卉为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出的最小值；若不能，请说明理由． 【变式4-3】问题提出 （1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为__________． 问题探究    （2）如图②，中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积． 问题解决 （3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由． 【题型5 最大张角模型（米勒定理）】 【例5】问题探究， (1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由； 问题解决 (3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 【变式5-2】一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角． （1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角； （2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高） 【变式5-3】数学概念 若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”. 理解概念 （1）若点是的等角点，且，则的度数是 . （2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！） ①如图①， ②如图②，    深入思考 （3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹） （4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点； ④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等； ⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 巧作辅助圆解题（隐圆问题）（举一反三专项训练） 【人教版】 【题型1 定点定长模型】 2 【题型2 对角互补模型】 5 【题型3 定弦定角模型】 9 【题型4 定角定高模型（探照灯模型）】 15 【题型5 最大张角模型（米勒定理）】 31 类型一 定点定长模型 如图，若P为动点，且，则A、B、P三点在同一个圆上． 类型二 对角互补模型（四点共圆模型） 如图①，在四边形ABCD中，（也满足）．如图②，在四边形ABCD中，． 结论：点A、B、C、D在同一个圆上． 类型三 定弦定角模型 已知弦AB与顶角均为定值，则： （1）如图①，当时，弦AB与点C在圆心异侧，点C的运动轨迹为； （2）如图②，当时，弦AB为直径，点C的运动轨迹为整个⊙O（不包含A、B两点）； （3）如图③，当时，弦AB与点C在圆心同侧，点C的运动轨迹为． 类型四 定角定高模型（探照灯模型） 如图，直线 BC 外一点A，A到直线BC的距离h为定值（定高），为定角，则由A、B、C三点可作出一个圆． 结论：即当点A、O、H共线时，圆的半径OA 取最小值，BC 取最小值． 类型五 最大张角模型（米勒定理) 如图，点A、B是的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则由A、B、C三点可作出一个圆． 结论：当且仅当三角形ABC的外接圆与边OM相切于点C时，最大． 【题型1 定点定长模型】 【例1】如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF． ∵AB=AC=AD=2， ∴D，C在圆A上， ∵DC∥AB， ∴弧DF=弧BC， ∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4， ∵FB是⊙A的直径， ∴∠FDB=90°， ∴BD= = 故选B 【变式1-1】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 ．      【答案】 【分析】本题考查了旋转变换，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点A的运动路径的长为． 故答案为：． 【变式1-2】如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 【答案】88° 【详解】解：∵AB=AC=AD， ∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上， ∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°， ∴∠CAD=2∠BAC=88°． 故答案为：88°． 【变式1-3】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 【题型2 对角互补模型】 【例2】如图所示，在等腰直角三角形中，，，点为斜边的中点，是上一动点，过点作垂直于交于点，连接，则的最小值是          ． 【答案】  【详解】如图，可知和互补， 所以、、、四点共圆，为直径 连接， 易得，， 当为直径时，圆最小，也最小， 所以的最小值为． 【变式2-1】如图，弦在以为直径的半圆上滑动，是的中点，于点若弦始终保持与半圆的半径相等，则的度数为          ． 【答案】  【详解】如图，连接，， ，是的中点， ， ， ，，，四点共圆，且为圆的直径，为圆的一条弦． ，， 易得 ． 【变式2-2】如图，将绕点旋转至，使得，，共线若，，则的长为          ． 【答案】  【详解】解：如图，过点作于， 将绕点旋转至， ，， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ，， ，，， ， 故答案为： 【变式2-3】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】连接，，如图， ，且为中点，   ，  ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ，   ，  在中，，， ， ，  由勾股定理得  ，   ，   ，故选A． 【题型3 定弦定角模型】 【例3】如图，在等腰直角三角形中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．    【答案】 【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长． 【详解】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，    则，且，，， ∴四边形CEOF为平行四边形， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴四边形为正方形， ∴CE=CF=，EF=OC， 由勾股定理得：， ∵在等腰中，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴，   ∴点在以为直径的圆上， 当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点， ∴点的路径为以为直径的半圆， ∴点运动的路径长． 故答案是：． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点． 【变式3-1】如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得出，，求出，根据同弧所对的圆周角相等可知，点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，长度最小，由等边三角形的性质得出，，求出和的长，可得的长，即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 点P的运动轨迹是， 设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，长度最小， 设交于D，如图所示： 此时，， 则，，， ，， 由勾股定理得：，， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质,同弧所对的圆周角相等,三角形内角和定理、勾股定理等知识，作辅助线构建圆是解决问题的关键． 【变式3-2】）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小． 【详解】解：如图，连接CE． ∵AP∥BC， ∴∠PAC=∠ACB=60°， ∴∠CEP=∠CAP=60°， ∴∠BEC=120°， ,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作 ∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120° ∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°， ∵∠BCM=30°，BC=， ∴MB=MC=8， ∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小． ∵∠ACB=60°，∠BCO=30°， ∴∠ACM=90°， ∴MA==， ∴AE的最小值为=． 故答案为：2 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 【变式3-3】已知，点A，B分别在射线上运动，． (1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： (2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： (3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为 【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论； （2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果； （3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：，证明如下： ，AB中点为D， ， 为的中点，， ， ， ； （2）解：如图1， 作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D， 当O运动到O′时，OC最大， 此时△AOB是等边三角形， ∴BO′=AB=6， OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3； （3）解∶如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶ 以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE， 由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大， ∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°， 又OC⊥AB于T， ∴TC=AT=BT=AB=3， ∵OC=OT+CT=OT+3， ∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大， ∴△AOB的面积最大， ∴∠BOT=∠AOB=22.5°， ∵OE= BE ， ∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ， 综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为 ． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型． 【题型4 定角定高模型（探照灯模型）】 【例4】辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可． （2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下， 如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为， ， 的最小值为． （3）存在，理由如下， 如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大， 设，则， ， ， ， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式4-1】在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得； （2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得； （3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析． 【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N， ∴是等边三角形，， ∴． ∵在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故． （2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K， ∵，平分，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵，，， 过点A作于点Q， ∴，， ∴，． 对于，， ∵， ∵， ∴当有最小值时，即最小， ∵， ∴最小，也即最小． ∵，， ∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时， ∵，， ∴， 即当是等边三角形时，的面积最小，为． 此时，由图形对称性可得，， 故的面积最小值为． 【点睛】本题是图形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键． 【变式4-2】问题提出： （1）如图①，与均为等边三角形，点C在上，点D在上，固定不动，让绕点O逆时针旋转，当时，则旋转角______． 问题探究： （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，垂足为D且，．求面积的最小值． 问题解决： （3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形为矩形，边上的点E为公园入口，千米，边上的点F为休息区，千米，千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中为消防通道，和为两条观光小路（小路宽度不计，G在边上，H在边上），根据实际需要，，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线到花卉超市B购买不同品种花卉为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）60°＋k180°（k是自然数）；（2）12；（3）可以实现，千米． 【分析】（1）根据旋转的性质和平行线的性质求解即可； （2）作外接圆⊙O，圆心为O，半径为r，连接AO、BO、CO，过点O作OE⊥BC于点E，根据圆周角性质和角直角三角形性质，可得，，当时三角形的面积有最小值，计算出三角形面积的值即可； （3）当，，时，根据特殊角函数值得出观光路线长度分别为千米、千米、千米，当或时，可证观光路线长度大于千米，通过比较得出最小值． 【详解】（1）过点O作EF∥AB，如图1， ∵△OCD，△OAB是等边三角形， ∴∠COD=∠OAB=∠OBA=60°， ∵EF∥AB， ∴∠EOC=∠OAB=60°，∠FOD=∠OBA=60°， 让绕点O逆时针旋转，当OC与OE重合时，旋转角α=60°＋k360°（k是自然数），当OC与OF重合时，旋转角α=240°＋k360°（k是自然数）； 综合两种情况，旋转角60°＋k180°（k是自然数）； 故答案为：60°＋k180°（k是自然数）； （2）作外接圆⊙O，圆心为O，半径为r，连接AO、BO、CO， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30°， 过点O作OE⊥BC于点E，设半径为r，则，， ∵，当A、O、E与AD共线时，,r有最小值， 即，解得， ∴， ∵（三线合一）， ∴ ∴面积的最小值为． （3）设计师的想法能实现，最短观光路线距离为千米． 分四种情况讨论，第一种：当点G和点E重合时，，如图， ∵千米，千米，， ∴千米，， ∵， ∴， ∵千米， ∴千米，千米， ∴（千米）； 第二种情况，当时，点H和点B重合，如图， ∵，， ∴， ∵，千米， ∵千米，千米， ∴（千米）； 第三种情况，当时，如图， ∵， ∴， ∵千米， ∴千米，千米，千米，千米， ∴（千米）； 第四种情况，当或时，如图， 当时，设，，作点H关于直线CF的对称点， 根据轴对称图形性质，观光路线， 和（千米）比较距离大小， 先比较和， ， 以点F为中心，分别以、为半径画圆，交于点M、N，局部放大如图， 根据对称性质，， 在和中， ∴（SAS）， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴，， ∴，即 ∴， 再比较先比较和， ， 在等腰中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 这两种角度属于同一种情况， ∴千米． 综上比较各数据，观光路线有最小值千米． 【点睛】本题考查了旋转的性质，点到直线的距离，用勾股定理解三角形，轴对称，综合运用旋转的性质及三角形边角关系是解题关键． 【变式4-3】问题提出 （1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为__________． 问题探究    （2）如图②，中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积． 问题解决 （3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】（1）如图①中，作于．证明，推出，，设，在中，根据，构建方程即可解决问题． （2）如图②中，作于，于，连接．，推出，，再利用面积法求出，的长即可解决问题． （3）存在．如图③中，作于，于．利用全等三角形的性质证明是角平分线，求出的值，由中，是角平分线，，是定值，可知当是的高时，的面积最小，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）如图①中，作于．    在中，，，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ， 设， 在中， ， ， 解得：， ， 故答案为：4． （2）如图②中，作于，于，连接．    ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ，， 在中，，，， ，， ， ， 解得：， ； （3）存在．如图③中，作于，于．    ，， ， ， ，， ， ，， ，， 平分， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 中，是角平分线，，是定值， 当是的高时，的面积最小，此时． 的面积的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【题型5 最大张角模型（米勒定理）】 【例5】问题探究， (1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由； 问题解决 (3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 结论：∠APB＞∠ADB ，理由见解析；(2) 当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解析；(3) 当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，理由见解析 【分析】（1）作PH⊥AB于H，通过正方形和矩形的性质可得∠APB＝90°，再根据∠ADB＜90°，即可证明∠APB＞∠ADB； （2）假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，根据∠AFB是△EFB的外角，可得∠AFB＞∠AEB，再根据∠AFB＝∠APB，从而可得∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大； （3）作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，根据等边三角形的性质可得AH＝HB＝100 (m)，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AT＝200m，故AT＝2AH，可得∠ATH＝30°，即∠ATB＝2∠ATH＝60°，根据圆周角定理可得∠APB＝∠ATB＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出OQ和PQ的长度，再根据OP＝OQ﹣PQ求解OP的长度即可． 【详解】解：（1）如图①中，结论：∠APB＞∠ADB． 理由：作PH⊥AB于H． ∵四边形ABCD是矩形，PH⊥AB， ∴∠ADP＝∠DAH＝∠AHP＝90°， ∴四边形ADPH是矩形， ∵AB＝CD＝2AD，DP＝PC， ∴DA＝DP， ∴四边形ADPH是正方形， ∴∠APH＝45°，同理可证∠BPH＝45°， ∴∠APB＝90°， ∵∠ADB＜90°， ∴∠APB＞∠ADB． （2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下： 假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P， 在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF， ∵∠AFB是△EFB的外角， ∴∠AFB＞∠AEB， ∵∠AFB＝∠APB， ∴∠APB＞∠AEB， 故点P位于CD的中点时，∠APB最大． （3）如图③中，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大， 作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r， ∵TA＝TB，TH⊥AB， ∴AH＝HB＝100 (m)， ∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝(400+100)(m)， ∴QH＝OH＝(400+300)(m)，∠OQH＝30°， ∴TQ＝2PT＝2r， ∵TH＝＝， ∴2r+＝400+300， 整理得：3r2﹣(1600+1200)r+60000+240000＝0， ∴(r﹣200)(r﹣1000﹣1200)＝0， ∴r＝200或1000+1200(舍弃)， ∴AT＝200m， ∴AT＝2AH， ∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°， ∴∠APB＝∠ATB＝30°， ∴， ∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200﹣600＝(200+200)(m)． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握正方形和矩形的性质、切线的性质以及判定定理、含30°角的直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 【变式5-1】（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 【答案】 【素材】 【实践探索】证明见解析 【迁移运用】 【分析】本题考查了圆的基本性质（如圆周角定理、切线的性质、垂径定理等）以及米勒圆（最大视角问题）的相关知识，涉及到利用圆的性质比较角的大小、探究最大视角的位置等内容．解题的关键是熟练运用圆中角的大小关系（如同弧所对的圆周角相等、圆外角与圆周角的大小关系），结合切线的性质和垂径定理等，将实际问题转化为几何图形中的角度关系问题，从而确定最大视角的位置并进行相关计算． 利用“同弧圆周角相等”与“三角形任意一个外角大于与它不相邻的一个内角”可得出与；利用“切线的性质”、“垂径定理”、“矩形的判定和性质”、“勾股定理”可求得的长，从而可写出点A的坐标． 【详解】如下图， 设线段与圆弧交于点C，连接，则， 又，所以，， 故答案为：． 【实践探索】连结，其中与圆交于点N，连续．如图所示． ∵， ∴，即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大． 【迁移应用】如图，过点A、点P、点Q作外接圆，圆心为C，根据【实践探索】结论，当点A为的切点时，最大． 连结， 作，垂足为点M． ∵点A为的切点，为圆的半径， ∴， ∵， ∴ （垂径定理），且四边形为矩形（三个角为直角的四边形为矩形） 由点，点知，，则， ∴，即， 在直角三角形中，， 由矩形对边相等知，， ∴． 【变式5-2】一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角． （1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角； （2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高） 【答案】（1）见解析；（2）围栏应摆在距离展台处，见解析 【分析】（1）写出“已知”“求证”，设BP交⊙O于点Q，连接AQ，画出图象，用三角形外角大于不相邻的内角即可证明； （2）先计算120名队员平均身高，再根据题意把实际问题“数学化”，画出图形，在QO上取一点B，使得BO＝152cm，则BQ＝16cm，过B作射线l⊥QO于B，过P，Q两点作⊙C切射线l于M，由（1）的结论可知队员的眼睛A与M重合时，观看该展品的视角最大，此时队员站在MN处，故求出ON长度即可． 【详解】解：（1）已知：如图所示，点A，B，C在⊙O上，点P在⊙O外． 求证：． 证明：设交⊙O于点Q，连接， ∵与同对， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：设合唱队员平均身高为，则 ． 在上取一点B，使得，则， 过B作射线于B，过P，Q两点作⊙C切射线l于M． 依题意可知，参观的队员的眼睛A在射线上． 而此时，射线l上的点只有点M在⊙C上，其他的点在⊙C外． 根据（1）的结论，视角最大，即队员的眼睛A与M重合（也即队员站在MN处）时，观看该展品的视角最大． 所以围栏应摆放在N处． 连接并延长交地面于N， 过C作于H，连接，， 从而四边形和四边形均为矩形． ∵在⊙C中，，， ∴． ∴． ∵在中，，， ∴． ∴．     即围栏应摆在距离展台处． 【点睛】本题考查圆的综合知识应用，解题的关键是把实际问题“数学化”，根据题意画出图形． 【变式5-3】数学概念 若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”. 理解概念 （1）若点是的等角点，且，则的度数是 . （2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！） ①如图①， ②如图②，    深入思考 （3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹） （4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点； ④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等； ⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号） 【答案】（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤ 【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可； （2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明； ②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论； （3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可； （4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可． 【详解】（1）（i）若=时， ∴==100° （ii）若时， ∴（360°－）=130°； （iii）若=时， 360°－－=160°， 综上所述：=100°、130°或160° 故答案为：100、130或160． （2）选择①： 连接 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是的等角点． 选择② 连接 ∵ ∴ ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ∴ ∵ ∴ ∴是的等角点    （3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD， 根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC ∴△BCD为等边三角形 ∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60° 作CD的垂直平分线交MN于点O 以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆 ∴∠BQC=180°－∠BDC=120° ∵BD=CD ∴∠BQD=∠CQD ∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120° ∴∠BQA=∠CQA=∠BQC 如图③，点即为所求． （4）③⑤． ①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心    假设∠BAC=60°，∠ACB=30° ∵点O是△ABC的内心 ∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15° ∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120° 显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误； ②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确； ④由（3）可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误； ⑤由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点． 如图④，在三个内角都小于的内任取一点，连接、、，将绕点逆时针旋转到，连接， ∵由旋转得，， ∴是等边三角形． ∴ ∴ ∵、是定点， ∴当、、、四点共线时，最小，即最小． 而当为的强等角点时，， 此时便能保证、、、四点共线，进而使最小． 故答案为：③⑤．    【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $