精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2020-2021学年七年级上期期末数学试题

四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2020-2021学年七年级上期期末数学 A卷（100分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的绝对值的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 2020年初新冠肺炎来袭的危急时刻，一个个白衣天使逆行的最美身影感动了全中国，据统计，截至年年底，我国医师队伍总数达到万人，用科学记数法表示万人是（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 3. 下列各式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列六个算式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 下列各式的值一定为正数的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列叙述正确的是（ ） A. 角两边越长，角度越大 B. 连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C. 两点之间线段最短 D. 到线段两端点距离相等的点是线段的中点 8. 随着时代的到来，越来越多的人选择购买手机．成都电视台在高新区金融城对附近上班的300名企业员工进行了手机使用情况的随机问卷调查，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 该调查中的个体是每一位企业员工 C. 该调查中的样本容量是300位企业员工 D. 该调查中的样本是随机调查的300位企业员工的5G手机使用情况 9. 已知代数式值为9，则代数式的值为（　　　） A. 18 B. 12 C. 9 D. 7 10. 我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 11. 单项式的系数是___________，多项式是___________次___________项式． 12. 若单项式与的差仍是单项式，则______． 13. 如图，，且，则___________． 14. 下图是一组有规律的图案，第1个图由4个基本图案组成，第2个图由7个基本图案组成，……第（是正整数）个图案是由___________个基本图案组成． 三、解答题 15. 计算 （1） （2） （3） （4）解方程： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图(1) 是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数.请在图(2) 的方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图. (要求涂上阴影) 18. 成都市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是___________． （2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨~20吨”部分的圆心角的度数． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？ 19. 已知M=x2﹣ax﹣1，N=2x2﹣ax﹣2x﹣1． （1）求N﹣（N﹣2M）的值； （2）若多项式2M﹣N的值与字母x取值无关，求a的值． 20. 如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． （1）若， ①求的长； ②求的长； （2）若，求 值． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 若，则________． 22. 若方程是关于的一元一次方程，则的值为___________． 23. 数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简_______ . 24. 如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 __． 25. 数学课上，老师让同学们观察一列数据：1，，，，，（___________？），…同学们很快推出了答案是___________．于是老师想了想，又写出三个等式：，，．聪明的小慧马上说出“”，你知道其中的“奥妙”吗？请再尝试写出___________． 二、解答题： 26. 下图的数阵是由全体奇数排成： （1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ （2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． （3）依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 27. 2016年元旦来临之前，为了迎新年，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校共92人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买演出服装（一人买一套），下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元． （1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出； （3）如果甲校有9名准备参加演出的同学抽调去参加科技创新比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱. 28. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． （1）如图1：已知，，是的两倍角，则___________； （2）如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转角度为何值时，是的三倍角． （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2020-2021学年七年级上期期末数学 A卷（100分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的绝对值的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据绝对值的含义和求法，可得：-3的绝对值是3，再根据相反数的含义和求法，求出3的相反数即可得到答案． 【详解】的绝对值的相反数是：． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值和相反数，理解绝对值和相反数的含义是解题的关键． 2. 2020年初新冠肺炎来袭的危急时刻，一个个白衣天使逆行的最美身影感动了全中国，据统计，截至年年底，我国医师队伍总数达到万人，用科学记数法表示万人是（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示万人是． 故选：C． 3. 下列各式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类项的概念：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．所有常数项都是同类项．据此即可求解． 【详解】解：根据同类项的概念可知：C选项中的两个单项式是同类项； 故选： C． 4. 下列六个算式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，合并同类项以及平方差公式，掌握相关运算法则是解题关键． 根据幂的相关运算，合并同类项以及平方差公式逐个算式判断即可． 【详解】解：，故（1）正确； ，故（2）错误； 不是同类项，不能合并；故（3）错误； ，故（4）正确； ，故（5）错误； ，故（6）正确； 故选：D． 5. 如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握三棱柱的截面形状是解题的关键．根据三棱柱的截面形状判断即可． 【详解】解：用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形， 不可能是六边形． 故选：D． 6. 下列各式的值一定为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查绝对值的非负性，平方的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据任何数的绝对值都是一个非负数，非负数(正数和)的绝对值是它本身，非正数(负数和)的绝对值是它的相反数，任何数的平方都是大于等于的，逐项判断即可． 【详解】解：A，当时，则，故该选项错误； B，当时，则，故故选项错误； C，当时，则，故该选项错误； D，因为，无论取何值，始终大于等于，故该选项正确． 故选：D． 7. 下列叙述正确的是（ ） A. 角的两边越长，角度越大 B. 连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C. 两点之间线段最短 D. 到线段两端点距离相等的点是线段的中点 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的含义、两点间的距离、中点的含义等知识即可作出正确判断． 【详解】A、由共一个端点的两条射线组成的图形叫做角，角的大小与角的张开程度有关，与角的两边的长短无关，故此说法错误； B、连结两点间的线段长度叫做这两点间的距离，故此说法错误； C、两点间线段最短，此说法正确； D、到线段两端点距离相等的点可以是线段的中点，也可以是线段外的点，故此说法错误； 故选：C 【点睛】本题考查了角的定义，两点间距离含义，线段中点含义等知识，掌握这些知识是关键． 8. 随着时代的到来，越来越多的人选择购买手机．成都电视台在高新区金融城对附近上班的300名企业员工进行了手机使用情况的随机问卷调查，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 该调查中的个体是每一位企业员工 C. 该调查中的样本容量是300位企业员工 D. 该调查中的样本是随机调查的300位企业员工的5G手机使用情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据普查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、该调查方式是抽样调查，故原说法错误，不符合题意； B、该调查中的个体是每一位企业员工的5G手机使用情况，故原说法错误，不符合题意； C、该调查中的样本容量是300，故原说法错误，不符合题意； D、该调查中的样本是随机调查的300位企业员工的5G手机使用情况，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 已知代数式的值为9，则代数式的值为（　　　） A. 18 B. 12 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】将x2﹣2x当成一个整体，在第一个代数式中可求得x2﹣2x＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果． 【详解】解：∵3x2﹣6x+6＝9，即3（x2﹣2x）＝3， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+6＝1+6＝7． 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x2﹣2x当成一个整体来对待． 10. 我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人，根据“2间大教室和1间小教室可同时容纳228人”列出方程． 【详解】解：设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人， 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 二、填空题（每题4分，共16分） 11. 单项式的系数是___________，多项式是___________次___________项式． 【答案】 ①. ②. 三 ③. 四 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数，多项式的次数、项数，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键．根据单项式与多项式的相关概念即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，多项式是三次四项式． 故答案为：；三；四． 12. 若单项式与的差仍是单项式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键． 根据单项式与单项式的差为单项式，得到两单项式为同类项，利用同类项定义求出m与n的值，然后代入求解即可． 【详解】∵单项式与的差仍是单项式 ∴单项式与是同类项 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，，且，则___________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了角度计算问题，结合图形正确利用角的和差是解题的关键．利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14. 下图是一组有规律的图案，第1个图由4个基本图案组成，第2个图由7个基本图案组成，……第（是正整数）个图案是由___________个基本图案组成． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形的规律是解题的关键． 观察前3个图中的基本图案个数，归纳出第个图中的基本图案个数为，即可解答． 【详解】解：第1个图中的基本图案个数为， 第2个图中的基本图案个数为， 第3个图中的基本图案个数为， …… 依此类推，第个图中的基本图案个数为， ∴第（是正整数）个图案是由个基本图案组成． 故答案为：． 三、解答题 15. 计算 （1） （2） （3） （4）解方程： 【答案】（1） （2）190 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、平方差公式、完全平方公式、单项式的除法、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，再按先乘方，再乘除，后加减的运算顺序计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式简便计算即可； （3）先利用积的乘方化简，再计算单项式的除法，最后合并同类项即可； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查化简求值问题，关键是掌握多项式乘多项式法则与单项式乘以多项式法则，会判断同类项与合并同类项法则，掌握化简求值的步骤与要求． 先利用多项式乘多项式法则与单项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项，再赋值准确计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图(1) 是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数.请在图(2) 的方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图. (要求涂上阴影) 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由俯视图可知，主视图有3列，从左到右每一列小正方形的数量为3，1，2；左视图也有3列，从左到右小正方形的数量为3，2，1，据此可画出几何体的主视图及左视图． 【详解】 【点睛】本题主要考查三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 18. 成都市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是___________． （2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨~20吨”部分圆心角的度数． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？ 【答案】（1） （2）作图见解析， （3）该地区6万用户中约有万户居民的用水全部享受基本价格 【解析】 【分析】本题考查是频数分布直方图与扇形图，利用样本估计总体，样本的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）由10到15吨这部分的数量除以其百分比即可； （2）先求解15到20吨这部分的数量，再补充统计图即可，然后用乘以占比即可求解圆心角； （3）由总人数乘以25吨（含）以下这部分的百分比即可． 【小问1详解】 解：， ∴此次抽样调查的样本容量是； 【小问2详解】 解：（户）， 补全图形如图所示 扇形图中“15吨~20吨”部分的圆心角的度数： 【小问3详解】 解：（万户） 答：该地区6万用户中约有万户居民的用水全部享受基本价格． 19. 已知M=x2﹣ax﹣1，N=2x2﹣ax﹣2x﹣1． （1）求N﹣（N﹣2M）的值； （2）若多项式2M﹣N的值与字母x取值无关，求a的值． 【答案】（1）2x2﹣2ax﹣2；（2）2 【解析】 【分析】（1）先根据N﹣（N﹣2M）=2M，然后进行求解即可； （2）先算出2M﹣N的值，然后令含x的项的系数为0即可. 【详解】解：（1）解：∵M=x2﹣ax﹣1，N=2x2﹣ax﹣2x﹣1， ∴N﹣（N﹣2M） =N﹣N+2M =2M =2（x2﹣ax﹣1） =2x2﹣2ax﹣2 （2）∵M=x2﹣ax﹣1，N=2x2﹣ax﹣2x﹣1， ∴2M﹣N=2（x2﹣ax﹣1）﹣（2x2﹣ax﹣2x﹣1）=2x2﹣2ax﹣2﹣2x2+ax+2x+1=（2﹣a）x﹣1， ∵多项式2M﹣N的值与字母x取值无关， ∴2﹣a=0， ∴解得a=2， ∴a的值是2. 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 20. 如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． （1）若， ①求的长； ②求的长； （2）若，求 的值． 【答案】（1）①，② （2）的值为或2 【解析】 【分析】题目主要考查线段中点的计算，绝对值的非负性，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出；①利用中点结合图形求解即可；②利用中点结合①中结果求解即可； （2）分两种情况分析：当时，当时，设，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， ∴； ①∵D为的中点，E为的中点， ∴， ∴， ②∵F为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 分两种情况： 当时，如图： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 当时，如图所示： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上所述，的值为或2． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 若，则________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方将变形为形式，再代入解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，熟记运算法则是关键． 22. 若方程是关于的一元一次方程，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有1个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 23. 数a，b在数轴上对应点位置如图所示，化简_______ . 【答案】b 【解析】 【分析】本题综合考查了数轴上的两个点相对应的两个数正负性，两数的和差结果正负性，去绝对值的方法等知识点，重点掌握数轴的应用，难点用字母表示数轴上两点的和差正确去掉绝对值．由数轴上的点的位置确定对应的数的正负性，两个有理数的和差的正负性，去绝对值法则求出结果即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 24. 如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 __． 【答案】58 【解析】 【分析】本题主要考查线段的和差计算，根据题意，分别求出以、、、，这5个点为端点线段数，再根据线段的和差计算即可求解． 【详解】解：以为端点的线段有：，，，， 以为端点的线段有：，，， 以为端点的线段有：，， 以为端点的线段有：， ， 故答案为：． 25. 数学课上，老师让同学们观察一列数据：1，，，，，（___________？），…同学们很快推出了答案是___________．于是老师想了想，又写出三个等式：，，．聪明的小慧马上说出“”，你知道其中的“奥妙”吗？请再尝试写出___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，找出数字变化的规律是解题的关键．观察数据可知的下一个数据为；观察前三个等式的规律，归纳得出第个等式为，再令，求出的值即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴的下一个数据为； 第一个等式为，即， 第二个等式为，即， 第三个等式为，即， …… 依此类推，第个等式为， 令，解得， ∴第253个等式为， 即； 故答案为：；． 二、解答题： 26. 下图的数阵是由全体奇数排成： （1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ （2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． （3）依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】（1）平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 （2）不能，见解析 （3）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【小问1详解】 解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； 【小问2详解】 解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 27. 2016年元旦来临之前，为了迎新年，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校共92人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买演出服装（一人买一套），下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元． （1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出； （3）如果甲校有9名准备参加演出的同学抽调去参加科技创新比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱. 【答案】（1）1320元；（2）乙校40人，甲校52人；（3）两种，买91套最省钱． 【解析】 【分析】（1）根据表格可得两校合买40元/套，因此用5000减去92乘以40元每套即可； （2）首先讨论，如果两小都超过45人，花费应为50×92=4600元，4600＜5000，因此甲校人数多余45，乙校人数少于46，再设乙校x人，甲校（92﹣x）人，由题意得等量关系：甲校单独购买服装的花费+乙校单独购买服装的花费=5000元，根据等量关系列出方程，再解即可； （3）讨论买83套的花费和买91套的花费，然后进行比较即可． 详解】解：（1）5000﹣92×40=1320（元）． 答：比各自购买服装共可以节省1320元； （2）∵50×92=4600＜5000， ∴甲校人数多余45，乙校人数少于46， 设乙校x人，甲校（92﹣x）人，由题意得： 60x+50（92﹣x）=5000， 解得：x=40， 则92﹣40=52（人）， 答：乙校40人，甲校52人； （3）①如果买92﹣9=83套， 则花费为：83×50=4150（元）， ②如果买91套，则花费：91×40=3640（元）， ∵3640＜4150， ∴买91套． 答：两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买91套，应买91套最省钱． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握题目中的等量关系是本题的解题关键． 28. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． （1）如图1：已知，，是的两倍角，则___________； （2）如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【解析】 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； 【小问3详解】 解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $