精品解析：吉林省长春市十一高中2025-2026学年高一上学期第一学程考试数学试题

长春市十一高中2025-2026学年度高一上学期第一学程考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故选：A. 2. 若集合，集合，则集合与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先确定集合中的元素，然后根据子集定义判断． 【详解】由题意， ， 显然集合中的元素都属于， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查集合的包含关系，根据子集定义判断． 3. 若,则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由可知，所以“”是“”的充分而不必要条件 考点：充分条件与必要条件 4. 如图所示，为全集，，，为的子集，则阴影部分所表示的集合可为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由所给图形结合集合的运算，直接判断即可. 【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合为集合与集合的并集在全集中的补集再与集合取交集， 用符号表示为，即D符合，其它选项表示不符合. 故选：D 5. 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为，电视机拥有率为，洗衣机拥有率为，拥有上述三种电器的任意两种的占，三种电器齐全的为，那么一种电器也没有的农户所占比例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦恩图将题目中所涉及到的各部分表示出来，可分别用字母a，b，c，d，e，f，x来表示，然后据图列出式子得到所求的一种电器也没有的用户的百分比． 【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器， 另外75家只有其中两种或一种或没有电器． 设只有电冰箱和电视机的农户有a家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b家，只有洗衣机和电视机的农户有c家， 只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d、e、f家，没有任何电器的农户有x家． 那么对于拥有电冰箱的农户可得出： 那么对于拥有电视机的农户可得出： 那么对于拥有洗衣机的农户可得出： 把上面三个式子相加可得： 对于拥有上述三种电器的任意两种的占， 得到： 把代入可得到 因为农户共有100家， 所以， 把和代入上式得到， 即一种电器也没有的农户所占比例为， 故选：A． 6. 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两个人步行速度、跑步速度均相同，步行速度小于跑步速度，那么下列结论中正确的是（ ） A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两个人同时到教室 D. 谁先到教室不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出两人所用时间，再运用差比法进行求解判断即可. 【详解】设两个人步行速度、跑步速度分别是为，且， 甲、乙两人同时从寝室到教室的时间分别为，寝室到教室的距离为， 所以有，， ， 因为， 所以，因此乙先到教室， 故选：B 7. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可. 【详解】，当且仅当时等号成立， 解得，即. 因为不等式恒成立， 所以，即，解得. 故选：B 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，可求的长度. 【详解】由； 由. 所以当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为； 当时，，，所以，这与集合的长度为2矛盾，故. 当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为. 综上可知：集合的长度为5. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知集合，则实数取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 先求集合A，由得，然后分和两种情况求解即可 【详解】解：由，得或， 所以， 因为，所以， 当时，方程无解，则， 当时，即，方程的解为， 因为，所以或，解得或， 综上，或，或， 故选：ABD 【点睛】此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则的最小值为9 C. 命题“”的否定是“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A；利用“1”的巧用结合基本不等式判断B；根据含有一个量词的命题的否定判断C；根据充分条件以及必要条件的判定判断D. 【详解】对于A，若，则当时，，A错误； 对于B，若，且， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为9，B正确； 对于C，命题“”的否定是“”，C错误. 对于D，当时，成立， 当时，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，D正确， 故选：BD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（　　） A. ∀x∈R，[2x]＝2[x] B. ∀x∈R，[x]+ C. ∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则有x﹣y＞﹣1 D. 方程x2＝3[x]+1的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：取x＝判断；对于B：设[x]＝x﹣a，a∈[0，1）判断；对于C：设[x]＝[y]＝m，得到x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1判断；对于D：由x2＝3[x]+1得到x2一定为整数且3[x]+1≥0，从而[x]≥0，x≥0，再由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得到[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2判断. 【详解】解：对于A：取x＝，[2x]＝[1]＝1，2[x]＝2[]＝0，故A错误； 对于B：设[x]＝x﹣a，a∈[0，1）， 所以[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]， [2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+[2a]， 当a∈[0，）时，a+∈[，1），2a∈[0，1）， 则[a+]＝0，[2a]＝0， 则[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝2[x]， 故当a∈[0，）时，[x]+[x+]＝2[x]成立； 当a∈[，1）时，a+∈[1，），2a∈[1，2）， 则[a+]＝1，[2a]＝1， 则[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]+2[x]+1， 故当a∈[，1）时，[x]+[x+]＝2[x]成立，综上B正确； 对于C：设[x]＝[y]＝m， 则x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1， 则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正确； 对于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定为整数且3[x]+1≥0， 所以[x]≥， 所以[x]≥0， 所以x≥0， 由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2， 由[x]2≤3[x]+1，解得≤[x]≤≈3.3，只能取0≤[x]≤3， 由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3， 所以[x]＝2或[x]＝3， 当[x]＝2时，x＝，当[x]＝3时，x＝， 所以方程x2＝3[x]+1的解集为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知全集，集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，则. 故答案为： 13. 已知，求的最大值______． 【答案】 【解析】 【分析】先配凑，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和一元一次不等式的解法列出不等式组，求出a、b的关系和符号，代入分式不等式化简后等价转化，由一元二次不等式的解法求出答案． 【详解】由题意知，不等式的解集是， 则当且仅当a＜0时，不等式的解集为， 所以，即 ， 所以不等式可化为，即， 等价于，即 ， 故不等式的解集为 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知集合 （1）当时，求 （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）得到，根据交集概念求出答案； （2），分和两种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 故； 【小问2详解】 ， 当时，，解得， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 16. 已知，命题，命题． （1）若为真命题，求的最小值； （2）若和中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式求得的最小值，即可求解； （2）通过当为真命题，为假命题或为假命题， 为真命题两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由， 当且仅当，即时取等号， 所以，即， 所以的最小值为； 【小问2详解】 由（1）知为真命题时，， 若为真命题， 则，解得：， 当为真命题，；为假命题时，， 则的取值范围是； 当为假命题，；为真命题时，， 则的取值范围是； 综上可知的取值范围是 17. 已知集合，集合. （1）若集合，且满足，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知：方程有两个不相等的实数根，由 确定实数的取值范围，由根与系数的关系列得关于实数的方程，求出实数的值. （2）讨论方程实数根的个数，求出相应的实数的取值范围或实数的值，依据条件，进行检验，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得：方程有两个不相等的实数根， 所以，所以， 所以. 由，得， 即，解得（舍去）或. 当时，，，符合题意. 因此，实数的值为1. 【小问2详解】 集合. 对于方程， 当，即时，方程无实数根， 此时集合，. 当，即时，方程有两个相等的实数根，， 此时，满足题意. 当，即时，方程有两个不相等的实数根，若，则， 所以，即，显然无解，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，且实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. 【小问2详解】 解：原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 19. （1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025-2026学年度高一上学期第一学程考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，集合，则集合与的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 若,则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 如图所示，为全集，，，为的子集，则阴影部分所表示的集合可为（ ） A. B. C. D. 5. 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为，电视机拥有率为，洗衣机拥有率为，拥有上述三种电器的任意两种的占，三种电器齐全的为，那么一种电器也没有的农户所占比例是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两个人步行速度、跑步速度均相同，步行速度小于跑步速度，那么下列结论中正确的是（ ） A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两个人同时到教室 D. 谁先到教室不确定 7. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知集合，则实数取值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则的最小值为9 C. 命题“”的否定是“” D. “”是“”的充分不必要条件 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（　　） A. ∀x∈R，[2x]＝2[x] B. ∀x∈R，[x]+ C. ∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则有x﹣y＞﹣1 D. 方程x2＝3[x]+1的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知全集，集合，，则______． 13. 已知，求的最大值______． 14. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知集合 （1）当时，求 （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知，命题，命题． （1）若为真命题，求的最小值； （2）若和中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 17. 已知集合，集合. （1）若集合，且满足，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知关于的不等式的解集为，其中. （1）若，求的值； （2）求不等式的解集； （3）是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. （1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $