精品解析：陕西省洛南中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

洛南中学2025-2026学年度第一学期第一次月考 高二数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 4. 洛南县被誉为“汉字故里、核桃之乡、避暑名城”.国庆期间，小明准备到洛南县的“音乐小镇”、“仓颉小镇”、“花溪弄”、“馒头山”、“文庙”、“抚龙湖”这6个景区中随机选择2个景区游览，则这2个景区中有“音乐小镇”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先求出从6个景区中随机选择2个景区的所有可能情况，再求出这2个景区中有“音乐小镇”的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率即可. 【详解】从6个景区中随机选择2个景区，则所有可能的情况数为：（种）， 若这2个景区中有“音乐小镇”，则只需从剩下的5个景区中再选1个即可， 则情况数为：（种）， 设“这2个景区中有‘音乐小镇’”为事件， 故根据古典概型概率公式可得, 故选：. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案. 【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等． 又，则，又，所以， . 故选：A 6. 在三棱柱中，是侧面的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，由平行四边形及三角形法则即可求解. 【详解】 如图，由题意与相交于点， 取的中点，连接，则， 则， 故选：C 7. 在棱长为的正四面体中，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值. 【详解】设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 8. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的性质判断A；利用空间向量平行的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由得，存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正方体的结构特征，根据线面垂直的判定和性质证明线性垂直判断A；由已知证明平面，再由棱锥的体积求法判断B；由已知得异面直线与所成角为直线与直线的夹角，即可判断C；构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角正弦值判断D. 【详解】A：连接，由正方体的结构特征得， 平面，平面，则， 而都在平面内，则平面， 而平面，则直线直线，正确； B：由题设，易知四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 到平面的距离为定值，又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值，正确； C：，则异面直线与所成角为直线与直线的夹角． 易知为等边三角形，当为的中点时； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为． 故异面直线与所成角的取值范围是，错误； D：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以，，又平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 平面，则，同理，都在平面内， 所以平面，则是平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值为， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，正确． 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知事件A，B相互独立，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由对立事件概率公式可得，再由独立事件乘法可得即可. 【详解】由题设，而， 所以. 故答案为：. 13. 在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8，第二次射击命中的概率为0.6，则该选手在这个靶位上得分的概率为______. 【答案】0.92 【解析】 【分析】由互斥事件和相互独立事件的概率计算公式可得结果. 【详解】该选手在这个靶位上得分包括第一次命中或第一次未命中且第二次命中， 所以得分的概率为. 故答案为：0.92. 14. 已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解. 【详解】 设侧棱长为，则长为, 由题意， 又， 其中， 故，， 又， 故 即， 又， 所以， 所以， 即侧棱长的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下： 男同学 女同学 满意 400 350 不满意 20 30 （1）从这800名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率； （2）该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这5人中随机选出2人发一份小礼品，求这2人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. （2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【小问1详解】 依题意，从这800名学生中随机抽取一人， 该学生是女同学且对食堂满意的概率为. 【小问2详解】 不满意的男女生比例为， 用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查， 则男生抽取人，女生抽取人， 男生记为，女生记为， 在这5人中随机选出2人，基本事件为， ，共个， 其中一男一女的为：，，共个， 所以在这5人中随机选出2人发一份小礼品，这2人恰好是一男一女的概率为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点. （1）用，，表示； （2）若底面是正方形，且，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解； （2）将用，，表示，再根据向量数量积的运算律计算即可得解. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 所以 . 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 18. 甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． （1）求小队猜对3个谜题的概率； （2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）． 【小问1详解】 小队猜对3个谜题共有2种情况，①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个， 所以小队猜对3个谜题的概率为． 【小问2详解】 甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个； 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为． 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 【答案】（1），，为的中点， 四边形为平行四边形，， 又，，即， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，首先证明四边形为平行四边形，从而得到.再利用，证明.最后利用平面平面的条件，证明平面，进而证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量表示点的位置，通过向量的点积和夹角公式，求解二面角大小为时，的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为的中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面的法向量为， 又，，，，， 设，， ，又， 设平面的法向量为，则，即. 令，得， 二面角为，，解， 即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛南中学2025-2026学年度第一学期第一次月考 高二数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 洛南县被誉为“汉字故里、核桃之乡、避暑名城”.国庆期间，小明准备到洛南县的“音乐小镇”、“仓颉小镇”、“花溪弄”、“馒头山”、“文庙”、“抚龙湖”这6个景区中随机选择2个景区游览，则这2个景区中有“音乐小镇”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，是侧面的中心，则（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正四面体中，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件A与C相互独立 D. 11. 如图，在正方体中，点在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知事件A，B相互独立，且，，则________. 13. 在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8，第二次射击命中的概率为0.6，则该选手在这个靶位上得分的概率为______. 14. 已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下： 男同学 女同学 满意 400 350 不满意 20 30 （1）从这800名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率； （2）该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这5人中随机选出2人发一份小礼品，求这2人恰好是一男一女的概率． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点. （1）用，，表示； （2）若底面是正方形，且，，求. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 18. 甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． （1）求小队猜对3个谜题的概率； （2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 19. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角大小为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $