安徽省芜湖市第二十四中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年安徽省芜湖二十四中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.化简是(    ) A. 3 B. C. D. 9 2.方程的解是(    ) A. ， B. C. D. 3.正八边形的每个内角等于(    ) A. B. C. D. 4.某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖.小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 5.最接近整数(    ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6.下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是(    ) A. B.   C.   D. 7.直角三角形的两条直角边长分别为6和8，用两个全等的这种直角三角形拼成一个平行四边形，其中最长的对角线是(    ) A. 10 B. C. D. 8.2024年第一季度中，一件商品连续降价，且每次降低的百分数相同，设为其中，3月份的售价是1月份的，则x(    ) A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 等于 9.下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 10.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是x轴、y轴的正半轴上的动点，，点E是AB的中点，点D的坐标为，则的最小值是(    ) A. B. 5 C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11.若代数式无意义，则x的取值范围是______. 12.一元二次方程的两根为，，则______. 13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，，，则的面积等于______. 14.如图，在四边形ABCD中，，，，，点M、N分别是BC、CD上任意一点. 对角线______. 的周长最小值等于______. 三、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 计算： 16.本小题6分 如图，设每个小正方形的边长为1个单位长度，点，点，点 将向左平移3个单位长度、再向上平移4个单位长度得到，A、B、C的对应点分别是、、，画出，并写出点的坐标. 在线段BC上找一点D，连接AD，使得的面积是面积的一半，只能用一把无刻度的直尺作出点D，并写出点D的坐标. 17.本小题6分 ①；②；③；… 根据上面3个等式存在的规律写出第4个等式； 用含n的代数式表示出第n个等式，并证明. 18.本小题8分 如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙MN，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门.其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米. 设养鸡场宽米，用含x的代数式表示养鸡场的长 求出x的值. 19.本小题8分 六中在八年级选出了n个入团积极分子举行了一次团的知识竞赛，并将测试成绩分为以下A、B、C、D等4组：A：，B：，C：，D：制成如下统计图表，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列各题： 求n和 本次测试成绩的中位数在______组. 小明说“这次测试成绩的众数肯定在B或C组”，小明的说法______填“正确”或“不正确” 组6个学生成绩如下：61，61，64，65，65，68，求出这组成绩的方差. 20.本小题10分 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，点G在CD边上，，，，， 求证：四边形CDEF是正方形. 求BG的长. 为BG上一点，于点Q，，求的面积. 21.本小题10分 已知两个一次函数和 若两个一次函数的图象交点的坐标为，求k的值. 直线经过的定点坐标是______. 当时，，求k的取值范围.直接写出结果. 若两个一次函数的图象交点在第一象限内，求k的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解： 故选： 根据算术平方根的性质化简． 主要考查算术平方根的化简． 算术平方根规律总结：当时，；当时， 2.【答案】C  【解析】解：方程分解因式得：， ， 故选： 利用因式分解法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：八边形的内角和为：， 又正八边形的每个内角都相等， 正八边形的每个内角等于 故选： 先根据多边形内角和定理求出八边形的内角和为，再根据正八边形的每个内角都相等即可得出答案． 此题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握n边形的内角和等于，理解正八边形的每个内角都相等是解决问题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：由于总共有45个人，则第23名的成绩是中位数，且只有22人获奖， 所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的中位数． 故选： 反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义． 5.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， ， 最接近的整数是10， 故选： 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：A、当时，原方程为，有实数根，但其不是一元二次方程，不符合题意； B、，没有实数根，不符合题意； C、，可能小于等于0，不一定有实数根，不符合题意； D、，有两个相等的实数根，符合题意． 故选： 先求出的值，再比较出其与0的大小即可求解． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：如图1，拼成的平行四边形如下： 此时对角线长； 如图2，拼成的平行四边形如下：，， ， 过D作于H，则四边形BCHD为矩形， ，， ， 如图3，拼成的平行四边形如下：，， ， 过D作于H，则四边形BCHD为矩形， ，， ， 对角线最长为， 故选： 先画出图形，再结合勾股定理与矩形的性质进一步求解即可． 本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，化为最简二次根式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 8.【答案】B  【解析】解：设每次降价的百分率为x，原件为a元，由题意得 ， 解得不合题意，舍去， ， 故选： 设这个百分数是x，根据某商品的价格经过两次降价后，3月份的售价是1月份的，可列方程求解． 此题考查一元二次方程的实际应用——百分率问题，正确理解题意，掌握百分率问题的公式，其中a表示前量，b表示后量，增长率是加号，降价百分率是减号． 9.【答案】D  【解析】解：，，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； B.，，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； C.，，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； D.如图， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意； 故选： 根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题． 本题考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：如图，连接OE， 中，点E是AB的中点， ， 当O，E，D三点共线时，的值最小，且的最小值， ， ， 的最小值为5， 故选： 连接OE，在中，点E是AB的中点，可得，从而得出，所以当O，E，D三点共线时，的值最小，且的最小值，再求解即可． 本题考查了直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形三边关系及坐标与图形性质，熟练掌握直角三角形斜边中线性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：根据分式无意义以及二次根式无意义可得出：， 解得：， 故答案为： 根据分式无意义以及二次根式无意义可得出，解一元一次不等式可得出答案． 本题主要考查了分式无意义以及二次根式无意义的条件，掌握其条件是解决此题的关键． 12.【答案】5  【解析】解：一元二次方程化为一般式为， 根据题意得，， 所以 故答案为： 先将方程化为一般式，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， 13.【答案】5  【解析】解：如图，过点D作， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 故答案为： 由直角三角形性质可得，再根据平行四边形的性质得出，，再求面积即可． 此题考查了平行四边形的性质与三角形的面积，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 14.【答案】    【解析】解：如图，过B作于Q，而， ， ， ，， ， ， 作A关于BC的对称点，作A关于DC的对称点，连接，， ，，，， ； 当，M，N，共线时，最短，即的长， 此时BD是的中位线， ， 的最小值为； 故答案为：， 如图，过B作于Q，而，可得，求解，，再进一步利用勾股定理计算即可； 作A关于BC的对称点，作A关于DC的对称点，连接，，可得，，，，可得；可得当，M，N，共线时，最短，即的长，再进一步求解即可． 本题考查的是解直角三角形的相关计算，轴对称的性质，三角形的关系的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15.【答案】解：   【解析】先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，计算零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 本题主要考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 16.【答案】解：如图，A、B、C向左平移3个单位长度、再向上平移4个单位长度后，找到对应点、、， 即为所求， ，即； 如图2， 由网格可知：四边形CEBF是矩形， ， ， 点，点， ，即  【解析】将A、B、C向左平移3个单位长度、再向上平移4个单位长度后，找到对应点、、，然后连接即可； 通过网格找到BC中点，然后连接AD即可． 本题考查了作图-平移变换，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 17.【答案】解：①； ②； ③； 第4个等式； ①； ②； ③； ⋯； 第n个等式； 证明：左边 右边．  【解析】根据前3个等式特点写出第4个等式； 根据第结论归纳出第n个等式的规律． 此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解题的关键． 18.【答案】解：设与墙平行的一边长为x米，养鸡场的长AB为米； 根据题意得：， 整理得出： ， 解得：，， 墙长20米， ，即，   【解析】根据题意，用含x的代数式表示养鸡场的长AB即可； 根据矩形的面积=长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180平方米，可得方程，解方程即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． 19.【答案】；；   C；   不正确；     【解析】解：组圆心角为，占比为，又A组为6人， ， 则； 样本容量为40，则中位数应该是排序后第20和21个数据的平均数，A组6人，B组12人，C组12 人，因而第20和第21个数都在C组，所以中位数在C组． 众数是数据中出现次数最多的数据， 小明说“这次测试成绩的众数肯定在B或C组”是不对的， 小明的说法不正确； 平均数为， 方差为 通过圆心角占的分数得到A组占总体的份数，从而求出总人数，再结合条形统计图求出a； 中位数即排好序后最中间的数，偶数个数时取中间两个平均数，从而可得答案； 根据众数的含义作答即可； 先求解平均数，再利用方差公式计算即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图圆心角的应用、平均数，众数，方差的含义，掌握以上基础知识是解本题关键． 20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 四边形CDEF是平行四边形． ， 四边形CDEF是菱形． ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形CDEF是正方形； 解：四边形ABCD是平行四边形，， 四边形ABCD是矩形， ， 四边形CDEF是正方形， ， ， ，， ， ≌， ， ； 解：作交EP延长线于点M， ， ，， ， ， ≌， ， 的面积  【解析】先证明四边形CDEF是菱形，由勾股定理逆定理得，可证四边形CDEF是正方形； 证明≌得，然后根据勾股定理求解即可； 作于点M，证明≌得，然后利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 21.【答案】  【解析】解：将代入得，， 解得：， 将代入得，， 解得：， 在中，令，得， 所以直线经过的定点坐标是， 故答案为：； 将代入得，， 所以直线过点， 将代入得，，得， 所以当时，，则k的取值范围是且； 联立方程组得：， 解得：， 两个一次函数的图像交点在第一象限内， ， 解得：且 将代入，求得m的值，再将坐标代入，求得k的值； 在中，令，得，即可求解； 将代入得，，得直线过点，将代入得，，得，再通过数形结合即可求解； 联立方程组求解，再列出不等式组求解即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $