专题4.1 单项式（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题4.1 单项式 教学目标 1. 掌握单项式的概念并能够熟练的判断单项式。 2. 掌握单项式的系数和次数，能够熟练的判断出单项式的系数与次数。 3. 能根据单项次的系数与次数求出未知字母的值。 教学重难点 1. 重点 （1）单项式的定义； （2）单项式的系数与次数。 2. 难点 （1）单项式的次数的判断； （2）根据单项式的系数与次数求未知字母的值； 知识点01 单项式 1. 单项式的概念： 表示数或字母，字母与字母的 积 的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是 单项式 。里面只有 乘法 运算。 【即学即练1】 1．在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解答】解：在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中， 单项式有：0，﹣a，﹣3x2y； 多项式有：x+y，； 分式有：． 故选：C． 知识点02 单项式的系数与次数 1. 单项式的系数： 单项式中的 数字因数 叫做单项式的系数。包含单项式前面的 符号 。特别的，单个的字母的系数为 1或﹣1 。 2. 单项式的次数： 一个单项式中所有字母的 次数 的和叫做单项式的次数。 单项式的次数是几次则就叫做 几次单项式 。没有字母的单项式次数是 0 。 【即学即练1】 2．单项式的系数是（　　） A． B． C．﹣5 D． 【答案】A． 【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 故选：A． 【即学即练2】 3．单项式﹣2x2yz2的次数是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．5 【答案】D． 【解答】解：根据单项式定义得：﹣2x2yz2的次数为：2+1+2＝5． 故选：D． 【即学即练3】 4．已知单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1 【答案】A 【解答】解：∵单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5， ∴|m|+4＝5， ∴|m|＝1， ∴m＝±1， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m＝﹣1， 故选：A． 【即学即练4】 5．按一定规律排列的单项式：﹣2x，4x4，﹣6x9，8x16，﹣10x25，……，则第7个单项式是（　　） A．7x7 B．﹣7x7 C．14x49 D．﹣14x49 【答案】D 【解答】解：∵第1个单项式为﹣2x＝（﹣1）×（2×1）， 第2个单项式为4x4＝（﹣1）2×（2×2）， 第3个单项式为﹣6x9＝（﹣1）3×（2×3）， ……， 第7个单项式为（﹣1）7×（2×7）14x49． 故选：D． 题型01 单项式的判断 【典例1】下列式子不是单项式的是（　　） A．4x B．a C．2+x D．3.14 【答案】C 【解答】解：A.4x，是单项式； B．a，是单项式； C.2+x，是多项式； D.3.14，是单项式． 故选：C． 【变式1】下列式子中，是单项式的是（　　） A．﹣m2﹣n2 B．a+b C． D． 【答案】C． 【解答】解：A．﹣m2﹣n2是多项式； B．a+b是多项式； C．是单项式； D．分母中含有字母，不是单项式． 故选：C． 【变式2】在代数式x﹣3，﹣22，，2πb2中，不是单项式的是（　　） A．2πb2 B．﹣22 C． D．x﹣3 【答案】D 【解答】解：不是单项式的是x﹣3． 故选：D． 【变式3】下列每组两个代数式：①和2xy；②和25xy3；③和5；④和17（x﹣y），其中都是单项式的是（　　） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】C 【解答】解：①分母中含有字母，不是单项式，2xy是单项式，不符合要求； ②是数与字母x，y的积是单项式，2x3y3是数2与字母x3，y3的积，它们都是单项式，符合要求； ③是数与（a+b），h的乘积形式，但（a+b）是多项式，所以不是单项式；5是单独的一个数，是单项式，不符合要求； ④是单项式；17（x﹣y）展开为17x﹣17y，是多项式，不是单项式，不符合要求． 故答案选：C． 题型02 单项式的系数与次数 【典例1】关于单项式，下列说法中正确的是（　　） A．次数是3 B．次数是2 C．系数是 D．系数是﹣2 【答案】A 【解答】解：的系数是，次数是1+2＝3， 故选：A． 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是﹣2，次数是3 【答案】B 【解答】解：A．数字0是单项式，此选项不符合题意； B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5，此选项符合题意； C．6πx3的系数是6π，原说法错误，此选项不符合题意； D． 的系数是，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】单项式x3y2z的系数和次数分别为（　　） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 【答案】C． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，6． 故选：C． 【变式3】体育课上我们经常练习垫排球，只要测量出排球的半径r，就可以根据公式求出排球的体积，整式的系数和次数分别为（　　） A． B． C．4π，3 D． 【答案】D 【解答】解：整式，故其系数和次数分别为． 故选：D． 题型03 利用单项式的系数与次数求未知字母 【典例1】若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得：m，n＝4． ∴m+n4． 故选：C． 【变式1】若单项式﹣2x2y的系数是m，次数是n，则m2n的值为（　　） A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12 【答案】D 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣2x2y的系数与次数分别是﹣2，3，所以m2n＝（﹣2）2×3＝12． 故选：D． 【变式2】如果单项式2xnyz2的次数是8，那么n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：有条件可知n+1+2＝n+3， 整理得n+3＝8， 解得n＝5， 故选：D． 【变式3】已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：由题意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0， 解得，m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 题型04 单项式中的规律题 【典例1】有下列式子：﹣3a，6a2，﹣9a3，12a4，﹣15a5，⋯，则第8个式子是（　　） A．18a6 B．﹣21a8 C．24a8 D．﹣24a8 【答案】C 【解答】解：∵﹣3a＝（﹣1）1×3×1•a1， 6a2＝（﹣1）2×3×2•a2， ﹣9a3＝（﹣1）3×3×3•a3， 12a4＝（﹣1）4×3×4•a4， ﹣15a5＝（﹣1）5×3×5•a5， ⋯⋯， 依此类推，第n个式子为：（﹣1）n•3n•an， 根据此规律可得：第8个式子为：（﹣1）8×3×8•a8＝24a8， 故选：C． 【变式1】按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是， 故选：B． 【变式2】观察下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯，则第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan 【答案】D 【解答】解：下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯， ∵﹣2a＝（﹣1）×2×1×a， 4a2＝（﹣1）2×2×2×a2， ﹣6a3＝（﹣1）3×2×3×a3， 8a4＝（﹣1）4×2×4×a4， ﹣10a5＝（﹣1）5×2×5×a5， ⋯， ∴第n个单项式是（﹣1）n2nan， 故选：D． 【变式3】观察这一系列单项式的特点：，…那么第8个单项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由，，，，…可推导一般性规律为：第n个单项式为， ∴第8个单项式为． 故选：A． 1．在整式5abc，﹣7x2+1，，21，中，单项式共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：5abc，，21是单项式， 故选：C． 2．单项式﹣2x2y系数与次数分别是（　　） A．2，2 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，2 【答案】C 【解答】解：单项式﹣2x2y系数与次数分别是﹣2和3． 故选：C． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．2不是单项式 B．6πx3的系数是6 C．﹣ab2的系数是﹣1，次数是3 D．的系数是﹣2 【答案】C 【解答】解：A、2是单项式，故此选项错误； B、6πx3的系数是6π，故此选项错误； C、﹣ab2的系数是﹣1，次数是3，此选项正确； D、的系数是，故此选项错误． 故选：C． 4．①单项式的系数是；②ab的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的2πr系数是2π．以上说法中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：根据不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和解答如下： ①单项式的系数是，故此选项错误； ②ab的次数是2、系数是1，故此选项错误； ③不是单项式，故此选项错误； ④单项式2πr的系数是2π，此选项正确， 故正确的有1个． 故选：B． 5．下列整式中，是二次单项式的是（　　） A．x2﹣1 B．2x2y C．xy D．﹣2x 【答案】C． 【解答】解：A．x2﹣1是多项式； B．2x2y是3次单项式； C．xy是2次单项式； D．﹣2x是1次单项式． 故选：C． 6．若单项式2πxnyz2的次数是8，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：由条件可知n+3＝8， ∴n＝5． 故选：D． 7．若单项式的系数是m，次数是n，则mn的值为（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣4 D． 【答案】A 【解答】解：根据单项式定义得：单项式的系数是，次数是2+1＝3， ∴m，n＝3， mn3＝﹣2． 故选：A． 8．若（n﹣1）ambn是关于a，b的六次单项式，且系数是2，则m的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解∵（n﹣1）ambn 是关于a，b的六次单项式，且系数是2， ∴n﹣1＝2，m+n＝6， 解得：n＝3，m＝3， 故选：C． 9．已知a、b互为倒数，m是单项式﹣3xy2的次数，则ab﹣m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∵m是单项式﹣3xy2的次数， ∴m＝3， ∴ab﹣m＝1﹣3＝﹣2， 故选：B． 10．探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣3x2、5x3、﹣7x4、9x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（　　） A．﹣15x9 B．19x9 C．17x9 D．﹣17x9 【答案】C 【解答】解：根据其中的规律得出的第9个单项式是17x9 故选：C． 11．单项式3xny2是关于x，y的四次单项式，则n＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据题意可知，n+2＝4， 解得：n＝2． 故答案为：2． 12．式子a+2，中，单项式有 　2　 个． 【答案】2． 【解答】解：式子，2x，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子a+2，是多项式． 故单项式有2个． 故答案为：2． 13．单项式的系数是a，次数是b，则a+b＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵单项式的系数是a，次数是b， ∴a，b＝3， ∴a+b3． 故答案为：． 14．已知2kx2ym是一个关于x、y的单项式，且系数是﹣8，次数是5，那么k＝　﹣4　 ，m＝　3　 ． 【答案】﹣4，3． 【解答】解：∵2kx2y是一个关于x、y的单项式，系数是﹣8，次数是5， ∴2k＝﹣8，2+m＝5， 解得：k＝﹣4，m＝3． 故答案为：﹣4，3． 15．已知关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同，则b＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同， ∴2+2b+1＝1+3， 解得：． 故答案为：． 16．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数，求5（a+b）+3cd﹣m的值． 【答案】﹣1， 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝4， ∴5（a+b）+3cd﹣m＝5×0+3×1﹣4＝3﹣4＝﹣1． 17．已知（m﹣2）xy|m|+1是关于x，y的四次单项式，求m2+4m+4的值． 【答案】0． 【解答】解：∵（m﹣2）xy|m|+1是关于x，y的四次单项式， ∴|m|+1＝3，且m﹣2≠0， ∴m＝﹣2， ∴m2+4m+4＝（﹣2）2+4×（﹣2）+4＝0． 18．已知|a|＝﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由|a|＝﹣a，得 a＜0， 六次单项式 x5y|a|，得 5﹣a＝6， 解得a＝﹣1， a2003﹣a2002+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1． 19．已知单项式与﹣22x2y2的次数相同． （1）求m的值； （2）求当x＝﹣9，y＝﹣2时单项式的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：1+2m﹣1＝2+2， 解得：m＝2； （2）xy3， 则当x＝﹣9，y＝﹣2时，原式（﹣9）×（﹣8）＝﹣48． 20．【观察与发现】 x2y，﹣3x2y2，5x2y3，﹣7x2y4，9x2y5，﹣11x2y6，…， （1）直接写出：第7个单项式是 　13x2y7　 ；第8个单项式是 　﹣15x2y8　 ； （2）第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】（1）13x2y7，﹣15x2y8；（2）（﹣1）n+1（2n﹣1）x2yn，它的系数为：（﹣1）n+1（2n﹣1），次数为：2+n． 【解答】解：（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，...，（﹣1）n+1（2n﹣1）， y的指数依次为：1，2，3，4，5，6，...，n， 故第7个单项式是：13x2y7， 第8个单项式是：﹣15x2y8． 故答案为：13x2y7，﹣15x2y8； （2）由（1）可得出第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）x2yn，它的系数为：（﹣1）n+1（2n﹣1），次数为：2+n． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 单项式 教学目标 1. 掌握单项式的概念并能够熟练的判断单项式。 2. 掌握单项式的系数和次数，能够熟练的判断出单项式的系数与次数。 3. 能根据单项次的系数与次数求出未知字母的值。 教学重难点 1. 重点 （1）单项式的定义； （2）单项式的系数与次数。 2. 难点 （1）单项式的次数的判断； （2）根据单项式的系数与次数求未知字母的值； 知识点01 单项式 1. 单项式的概念： 表示数或字母，字母与字母的 的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是 。里面只有 运算。 【即学即练1】 1．在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 知识点02 单项式的系数与次数 1. 单项式的系数： 单项式中的 叫做单项式的系数。包含单项式前面的 。特别的，单个的字母的系数为 。 2. 单项式的次数： 一个单项式中所有字母的 的和叫做单项式的次数。 单项式的次数是几次则就叫做 。没有字母的单项式次数是 。 【即学即练1】 2．单项式的系数是（　　） A． B． C．﹣5 D． 【即学即练2】 3．单项式﹣2x2yz2的次数是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．5 【即学即练3】 4．已知单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1 【即学即练4】 5．按一定规律排列的单项式：﹣2x，4x4，﹣6x9，8x16，﹣10x25，……，则第7个单项式是（　　） A．7x7 B．﹣7x7 C．14x49 D．﹣14x49 题型01 单项式的判断 【典例1】下列式子不是单项式的是（　　） A．4x B．a C．2+x D．3.14 【变式1】下列式子中，是单项式的是（　　） A．﹣m2﹣n2 B．a+b C． D． 【变式2】在代数式x﹣3，﹣22，，2πb2中，不是单项式的是（　　） A．2πb2 B．﹣22 C． D．x﹣3 【变式3】下列每组两个代数式：①和2xy；②和25xy3；③和5；④和17（x﹣y），其中都是单项式的是（　　） A．④ B．③ C．② D．① 题型02 单项式的系数与次数 【典例1】关于单项式，下列说法中正确的是（　　） A．次数是3 B．次数是2 C．系数是 D．系数是﹣2 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是﹣2，次数是3 【变式2】单项式x3y2z的系数和次数分别为（　　） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 【变式3】体育课上我们经常练习垫排球，只要测量出排球的半径r，就可以根据公式求出排球的体积，整式的系数和次数分别为（　　） A． B． C．4π，3 D． 题型03 利用单项式的系数与次数求未知字母 【典例1】若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】若单项式﹣2x2y的系数是m，次数是n，则m2n的值为（　　） A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12 【变式2】如果单项式2xnyz2的次数是8，那么n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是　 　 ． 题型04 单项式中的规律题 【典例1】有下列式子：﹣3a，6a2，﹣9a3，12a4，﹣15a5，⋯，则第8个式子是（　　） A．18a6 B．﹣21a8 C．24a8 D．﹣24a8 【变式1】按照一定规律排列的式子：，，，，第7个式子是（　　） A． B． C． D． 【变式2】观察下列单项式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，⋯，则第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan 【变式3】观察这一系列单项式的特点：，…那么第8个单项式为（　　） A． B． C． D． 1．在整式5abc，﹣7x2+1，，21，中，单项式共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．单项式﹣2x2y系数与次数分别是（　　） A．2，2 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，2 3．下列说法中，正确的是（　　） A．2不是单项式 B．6πx3的系数是6 C．﹣ab2的系数是﹣1，次数是3 D．的系数是﹣2 4．①单项式的系数是；②ab的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的2πr系数是2π．以上说法中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列整式中，是二次单项式的是（　　） A．x2﹣1 B．2x2y C．xy D．﹣2x 6．若单项式2πxnyz2的次数是8，则n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若单项式的系数是m，次数是n，则mn的值为（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣4 D． 8．若（n﹣1）ambn是关于a，b的六次单项式，且系数是2，则m的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知a、b互为倒数，m是单项式﹣3xy2的次数，则ab﹣m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 10．探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣3x2、5x3、﹣7x4、9x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（　　） A．﹣15x9 B．19x9 C．17x9 D．﹣17x9 11．单项式3xny2是关于x，y的四次单项式，则n＝　 　 ． 12．式子a+2，中，单项式有 　 个． 13．单项式的系数是a，次数是b，则a+b＝　 ． 14．已知2kx2ym是一个关于x、y的单项式，且系数是﹣8，次数是5，那么k＝　 　 ，m＝　 　 ． 15．已知关于x，y的单项式﹣3πx2b+1y2与的次数相同，则b＝　 　 ． 16．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数，求5（a+b）+3cd﹣m的值． 17．已知（m﹣2）xy|m|+1是关于x，y的四次单项式，求m2+4m+4的值． 18．已知|a|＝﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值． 19．已知单项式与﹣22x2y2的次数相同． （1）求m的值； （2）求当x＝﹣9，y＝﹣2时单项式的值． 20．【观察与发现】 x2y，﹣3x2y2，5x2y3，﹣7x2y4，9x2y5，﹣11x2y6，…， （1）直接写出：第7个单项式是 　 　 ；第8个单项式是 　 　 ； （2）第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 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