4.2整式的加法与减法 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

4.2整式的加法与减法 【题型1】同类项的识别与判断 1.核心知识点总结 同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项。 同类项的“两相同”与“两无关”：“两相同”指字母相同、相同字母指数相同；“两无关”指与系数大小无关、与字母顺序无关。 2.高频考点梳理 直接判断两组单项式是否为同类项（如判断与、与是否为同类项）。 结合“单项式的和为单项式”间接判断同类项（和为单项式隐含两单项式是同类项）。 3.易错点警示 混淆“相同字母的指数”与“字母的次数”，如误将与判定为同类项（前者的指数为2、为1，后者为1、为2）。 忽略常数项的同类项属性，如误将与判定为非同类项。 4.解题技巧拆解 第一步：观察两组单项式的所含字母是否完全一致（如与含不同字母，直接排除)。 第二步：对相同字母，检查其指数是否分别相等(如与，的指数均为3，均为1，判定为同类项)。 【例题1】（2024-2025•通许县期末）下列各组中两项属于同类项的是（　　） A．﹣x2y和xy2 B．x2y和x2z C．﹣m2n3和﹣3n3m2 D．﹣ab和abc 【变式题1-1】．（2024-2025•洮北区期末）下列各组单项式中，为同类项的是（　　） A．a3与a2 B．﹣3与a C．2xy与2x D．与2a2 【变式题1-2】．（2024-2025•平城区期末）下列单项式中，与ab3是同类项的是（　　） A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a3b 【变式题1-3】．（2024-2025•睢阳区模拟）请写出abc的一个同类项：　 　 ． 【题型2】根据同类项定义求字母参数值 1.核心知识点总结 同类项的“两相同”是列方程的核心依据：相同字母的指数相等，据此建立关于字母参数的一元一次方程。 若两个同类项的和为单项式，需先利用同类项定义确定参数，再结合系数关系(可选)验证。 2.高频考点梳理 已知单项式为同类项，求单个字母参数(如与是同类项，求、)。 已知单项式和为单项式，求多个字母参数(如为单项式，求与的关系)。 3.易错点警示 漏查多个相同字母的指数，如仅关注的指数，忽略的指数(如与，需同时满足且)。 误将“系数不为零”作为同类项的必要条件(同类项定义不限制系数，仅需满足“两相同”)。 4.解题技巧拆解 第一步：提取两个单项式中的相同字母(如、)。 第二步：对每个相同字母，列“指数相等”的方程(如，)。 第三步：解方程求参数，若有多个参数，联立方程求解(如含、的二元一次方程组)。 【例题2】．（2024-2025•长沙校级期末）若﹣2xay3与3x2yb是同类项，则a+b＝　 　 ． 【变式题2-1】．（2024-2025•岳阳楼区校级开学）若﹣x2yn与xmy是同类项，则 2m+n 的值为（　　） A．7 B．5 C．4 D．2 【变式题2-2】．（2024-2025•衡阳县期末）单项式xm﹣1y3与﹣4xyn是同类项，则mn的值是（　　） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式题2-3】．（2024-2025•儋州期末）若单项式3ax2yn+1与﹣2axmy4是同类项，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2023 【题型3】合并同类项的规范运算 1.核心知识点总结 合并同类项法则：一相加，两不变，即同类项的系数相加，字母及其指数保持不变。 运算结果需为最简整式：无同类项、无括号(若有括号需先去括号)。 2.高频考点梳理 直接合并多项式中的同类项(如)。 含单层括号的多项式合并(如，将看成整体合并)。 3.易错点警示 合并时改变字母或指数，如(错误，应为)。 漏合并孤立同类项，如(易漏写)。 系数计算错误(尤其是负数相加)，如(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：用不同符号(如波浪线、横线)标记同类项(避免漏项)。 第二步：利用加法交换律，将同类项移到一起(连同前面的符号)。 第三步：计算同类项的系数和，保留字母及指数(如)。 第四步：按字母降幂排列整理结果(如，按降幂)。 【例题3】．（2024-2025•长沙校级期末）下列计算正确的是（　　） A．3a﹣a＝2 B．3ab﹣2ab＝1 C．2a2b+3ba2＝5a2b D．8x+3y＝11xy 【变式题3-1】．（2024-2025•大理州期末）若单项式3am﹣2b2与a3bn的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 【变式题3-2】．（2024-2025•单县期末）已知单项式3am+1b与﹣bn﹣1a3可以合并同类项，则m，n分别为（　　） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【变式题3-3】．（2024-2025•沙坪坝区校级开学）合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【题型4】去括号与添括号的规范化简 1.核心知识点总结 去括号法则：括号前是“”，去括号后各项符号不变；括号前是“”，去括号后各项符号均变号。 添括号法则：与去括号相反，括号前是“”，括入括号的各项符号变号；是“”，符号不变。 2.高频考点梳理 单层括号的去括号运算(如、)。 按要求添括号(如将写成，括号前为“”)。 3.易错点警示 去括号时漏乘括号内的项，如(错误，应为)。 括号前是“”时，部分项漏变号，如(错误，应为)。 添括号时漏变号，如将写成(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 去括号：第一步判断括号前符号，第二步若为“”直接去括号；若为“”，逐项变号后去括号，第三步合并同类项(若需)。 添括号：第一步确定需括入的项，第二步判断括号前符号，第三步括入项变号(若为“”)，第四步验证(去括号后与原式一致)。 【例题4】．（2024-2025•沐川县期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（　　） A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a+2（b+c）＝a+2b+c C．a+ab﹣b＝a+（ab+b） D．a﹣3b+3c＝a﹣3（b﹣c） 【变式题4-1】．（2024-2025•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【变式题4-2】．下列添括号有没有错误？若有错误，请改正． （1）a﹣2b﹣3m+n＝a﹣（2b﹣3m+n）； （2）m﹣2n+a﹣b＝m+（2n+a﹣b）； （3）x﹣2a﹣4b+y＝（x﹣2a）﹣（4b﹣y）； （4）a﹣2b+c﹣1＝﹣（a+2b﹣c+1）． 【变式题4-3】．按下列要求给多项式﹣a3+2a2﹣a+1添括号． （1）使最高次项系数变为正数； （2）把奇次项放在前面是“﹣”号的括号里，其余的项放在前面是“+”号的括号里． 【题型5】整式加减的分步运算(提升) 1.核心知识点总结 整式加减的实质：去括号与合并同类项的结合，运算步骤为“括整式→连符号→去括号→合并项”。 多个整式加减时，需先将每个整式用括号括起，再用“”“”连接。 2.高频考点梳理 两个多项式的加减(如，其中，)。 含系数的整式加减(如，需先将、分别乘系数再加减)。 3.易错点警示 省略括号导致符号错误，如计算时，直接写成(错误，括号前是“”，应为)。 系数乘多项式时漏乘项，如(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：写出整式加减的完整表达式(如)。 第二步：按去括号法则去括号(系数乘括号内每一项，注意符号)。 第三步：标记同类项，合并同类项(如)。 第四步：检查结果是否为最简整式(无同类项、无括号)。 【例题5】．（2024-2025•河口区期末）已知两个多项式A和B．其中A＝3a2b﹣2ab2小马虎在计算2A﹣B的值时不小心将2A﹣B错看成2A+B，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求多项式B： （2）请帮他求出2A﹣B的正确答案． 【变式题5-1】．（2024-2025•内江期末）已知整式A和B满足：A+2B＝4a+3ab，B＝2a+3ab﹣2． （1）求整式A（用所含a、b的代数式表示）； （2）若B﹣A的值与a的取值无关，求b的值． 【变式题5-2】．（2024-2025•南郑区期末）在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2，嘉淇错将“2A﹣B”看成“2A+B”，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求整式B； （2）求2A﹣B的正确结果． 【变式题5-3】．（2024-2025•兴平市期末）某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． 请通过计算分别求出C，D卡片上的代数式． 【题型6】整式化简求值(含整体思想)(提升) 1.核心知识点总结 化简求值的核心原则：先化简，再代入，避免直接代入复杂计算；“整体思想”是将某个多项式(如、)看成一个整体代入。 2.高频考点梳理 直接给出字母值的化简求值(如，，求的值)。 给出字母关系式的整体求值(如，求的值)。 结合非负性求字母值(如，求整式值)。 3.易错点警示 未化简直接代入，导致计算繁琐(如，，直接代入，虽正确，但复杂整式易出错)。 整体代入时漏乘系数，如，求时，写成(错误，应为)。 代入负数时漏加括号，如，写成(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式(去括号+合并同类项，如)。 第二步：分析已知条件，若为整体关系，将化简后的整式变形为含整体的形式(如)。 第三步：代入数值或整体(如，则)。 第四步：计算结果，验证合理性(如结果为负数，需确认符号是否正确)。 【例题6】．（2024-2025•北京校级开学）已知x、y的关系为2x﹣3y﹣2＝1，则（　　） A．﹣8z B．12 C．6 D．4x﹣10y﹣8z﹣6 【变式题6-1】．（2024-2025•香坊区校级月考）先化简，再求值：（3x2y﹣2xy2）﹣（xy2﹣2x2y），其中x＝2，y＝﹣1． 【变式题6-2】．（2024-2025•大理州期末）已知A＝2a2+b2﹣5ab，B＝a2﹣3ab+2． （1）化简：A﹣2B+4； （2）若|a+2|+（b﹣1）2＝0，求A﹣2B+4的值． 【变式题6-3】．（2024-2025•绵阳期末）先化简，再求值 5（4a2﹣2ab3）﹣4（5a2﹣3ab3），其中a＝2， 【题型7】整式不含某次数项问题(提升) 1.核心知识点总结 “不含某次数项”的本质：该次数项的合并后系数为0，需先化简整式，再令目标项系数等于0，建立方程求参数。 2.高频考点梳理 不含一次项(如整式不含项，求)。 不含二次项(如整式不含项，求)。 3.易错点警示 化简时漏合并同类项，误判目标项系数(如，漏合并项，误认系数为)。 混淆“不含项”与“无该项”，忽略“合并后系数为0”的情况(如，不含项需，而非无项)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式，合并同类项(如已最简，目标项为)。 第二步：找出目标次数项的合并后系数(如一次项系数为)。 第三步：令系数等于0，解方程求参数(如，得)。 第四步：验证(代入参数化简，确认无目标项，如时，整式为，不含一次项)。 【例题7】．（2024-2025•惠城区期末）将“多项式“（x2﹣3xy﹣y2）﹣2（x2+mxy+2y2）化简后不含xy的项，则m的值是（　　） A． B．6 C． D．﹣6 【变式题7-1】．（2024-2025•南康区期末）已知多项式（2x2+ax+6）﹣（bx2﹣2x﹣1）的化简结果不含x2和x． （1）求a，b的值； （2）求ab﹣b2的值． 【变式题7-2】．（2024-2025•任丘市期末）已知关于x的多项式A，B，其中A＝mx2+nx﹣1，B＝x2﹣x+2（m，n均为有理数）． （1）化简2B﹣A． （2）若2B﹣A的结果不含x项和x2项，求m，n的值． 【变式题7-3】．（2024-2025•钢城区期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，其中a+3＝0，则a＝﹣3． 【方法应用】 （1）当b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 时，关于x的多项式3x4﹣（b+5）x3+（c﹣1）x2﹣5x+1不含x3项和x2项． （2）已知A＝﹣3x2﹣2xy+3y+1，B＝2x2+2xy﹣1，且2A+3B的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】 （3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为S1，右下角部分的面积为S2．当AD的长发生变化时，5S2﹣2S1的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【题型8】整式与字母取值无关问题(提升) 1.核心知识点总结 “与字母取值无关”的本质：该字母的所有次数项系数均为0(如与无关，需、项系数均为0)，据此列方程组求参数。 2.高频考点梳理 与单个字母无关(如整式与无关，求、)。 与多个字母无关(如整式与、无关，求、)。 3.易错点警示 仅令某一个次数项系数为0，忽略其他项(如与无关，仅令一次项系数为0，漏项)。 化简时符号错误，导致系数计算偏差(如，误写成，系数计算错误)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式，按目标字母(如)的次数降幂排列(如)。 第二步：分离含目标字母的项和常数项(如含项：，常数项：)。 第三步：令含目标字母的每一项系数为0(如，)。 第四步：解方程组求参数(得，)，验证(代入后整式为，与无关)。 【例题8】．（2024-2025•闵行区校级月考）若整式（x2+ax﹣3y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与字母x的取值无关，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•通辽期末）已知：A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy． （1）计算：A﹣2B； （2）若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣2B的值； （3）若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值． 【变式题8-2】．（2024-2025•衡山县期末）数学江老师在课堂上布置了一道数学题：当x＝﹣2024，y＝2025时，求2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣1）﹣2xy2﹣2的值． 对于此题，七年级（3）班的三位同学展开讨论． 小明：这么大的数，没法算；小亮：这个算式的结果是个常数； 小颖：这个算式的结果与x、y取值无关．那么他们到底谁说得对？你能说明理由吗？ 【变式题8-3】．（2024-2025•北海期末）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．理解应用： （1）若关于x的多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知：A＝2x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy． ①计算：A﹣2B； ②若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值． 【题型9】整式加减中的错看问题(培优) 1.核心知识点总结 错看问题的核心：将错就错，利用错误的运算结果反求原整式(如错算，反求)，再进行正确运算。 2.高频考点梳理 错将“”看成“”(如求，错算为，已知，求正确结果)。 错将字母值看错但结果正确(隐含化简后不含该字母，如错看成，结果一致，说明整式不含项)。 3.易错点警示 反求原整式时符号错误，如，求时写成(错误，应为)。 忽略原整式中的常数项，导致反求的整式不完整(如含常数项，反求时漏算)。 4.解题技巧拆解 第一步：明确错误运算关系(如错误：，正确：)。 第二步：反求未知整式(如，代入，，得)。 第三步：进行正确运算(如)。 第四步：验证(代入字母值，如，错误结果，正确结果，确认无误)。 【例题9】．（2024-2025•桃城区校级期末）已知多项式A＝x3﹣axy+3x2y3+1，B＝2x3﹣xy+bx2y3．小希在计算时把题目条件A+B错看成了A﹣B，求得的结果为﹣x3+2xy+1，那么小希最终计算的A+B中不含的项为（　　） A．三次项 B．二次项 C．五次项 D．常数项 【变式题9-1】．（2024-2025•招远市期末）有这样一道计算题：“计算3x2y+[4x2y﹣（7x2y2﹣y2）]﹣7（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式题9-2】．（2024-2025•郫都区校级期中）（1）小刚在做“计算（5a2﹣3b2）﹣3（a2﹣b2）+（b2﹣a2）的值，其中a＝2，b＝﹣1”这道题时，把a＝2，b＝﹣1错看成“a＝﹣2，b＝1”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算A﹣（ab+2bc﹣4ac）时，由于马虎，将“A﹣”错看成了“A+”，求得的结果为3ab﹣2ac+5bc，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【变式题9-3】．（2024-2025•广州期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题： 已知两个关于x的多项式A、B，其中B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3，求A﹣B． 小强同学把“A﹣B”错看成“A+B”，求出的结果为﹣6mx2+mx+2x﹣7． （1）填空：多项式B的次数为　 　 ，常数项为　 　 ； （2）请帮小强同学求出A﹣B的正确答案； （3）若当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数，求m的值． 【题型10】整式加减中的遮挡/污染问题(培优) 1.核心知识点总结 遮挡问题的本质：利用整式加减的逆运算反求被遮挡部分(如，则)，结合结果特征(如常数、不含某项)求遮挡参数。 2.高频考点梳理 遮挡整式的系数(如，求)。 遮挡完整的项(如，求)。 结合结果特征求遮挡参数(如遮挡后整式化简为常数，求遮挡系数)。 3.易错点警示 反求遮挡部分时漏加括号，如，求时写成(需注意括号内符号，应为，但需先去括号验证)。 化简时漏合并同类项，导致遮挡系数计算错误(如，漏合并项)。 4.解题技巧拆解 第一步：设被遮挡部分为参数(如设)，写出完整表达式(如)。 第二步：化简表达式(如)。 第三步：根据结果特征列方程(如结果为，则)。 第四步：求解参数()，验证(代入后化简结果与已知一致)。 【例题10】．（2024-2025•新泰市期末）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： x2+y2，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（　　） A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy 【变式题10-1】．（2024-2025•运河区校级期末）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染，当x＝3时，B值为﹣4． （1）求■所表示的数字； （2）先化简A﹣2B，并求值，其中x＝﹣3． 【变式题10-2】．（2024-2025•霸州市期末）老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式A的二次项系数．如图： 已知两个多项式A＝x2﹣4x，B＝3x2+3x﹣2，试求A+3B． 然后告知该题A+3B的正确答案是x2+5x﹣6． （1）请求出A中被遮挡的二次项系数． （2）老师又给出了一个多项式C，并要求求出A﹣C的结果．小马虎在求解时，误把“A﹣C”看成“A+C”，进而求出的答案为x2﹣7x﹣3．现请你修正小马虎的错误，求出“A﹣C”的正确答案． 【变式题10-3】．（2024-2025•光泽县期中）阅读材料： 如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3＝13； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2＝8； 步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13+8＝47； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50﹣47＝3． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753Y，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 【题型11】整式加减的实际应用(含几何与生活场景)(培优) 1.核心知识点总结 实际应用的核心：列整式表示量，再通过整式加减求解目标(几何：周长、面积；生活：人数、费用)。 几何场景需牢记公式(如长方形周长)，生活场景需理清数量关系(如中途上车人数现有人数剩余人数)。 2.高频考点梳理 几何场景：含参数的长方形周长加减(如长为，宽为，求周长与另一个长方形周长的差)。 生活场景：公交车人数变化(如原有人，下车一半，上车人，求现有人数)。 3.易错点警示 列整式时单位混淆(如长用“米”，宽用“厘米”，未统一单位)。 几何量表示错误(如长方形宽为，长为，周长写成但计算为，漏乘)。 生活场景数量关系颠倒(如中途上车人数原有人数现有人数下车人数，易写成现有人数原有人数下车人数)。 4.解题技巧拆解 第一步：分析场景，确定未知量(如几何中的长、宽；生活中的原人数、下车人数)，用字母表示(如设宽为)。 第二步：列整式表示相关量(如长为，周长为)。 第三步：根据问题列整式加减表达式(如求与另一个周长的差，表达式为)。 第四步：化简表达式()，代入数值计算(若有)，验证合理性(如几何量为正，人数为正)。 【例题11】．（2024-2025•余杭区期末）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏： 第一步：发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定每个同学的扑克牌数量超过四张）； 第二步：A同学拿出三张扑克牌给B同学； 第三步：C同学拿出四张扑克牌给B同学； 第四步：A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 最终B同学手中剩余的扑克牌张数情况是（　　） A．张数确定，一定是3张 B．无法确定，但一定比第一步发放的扑克牌张数多 C．无法确定，但一定比A同学多 D．张数确定，一定是10张 【变式题11-1】．（2024-2025•乳山市期末）如图，从边长为a+5的大正方形纸片中剪去一个边长为a+1的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（　　） A．2a+10 B．2a+6 C．8a+24 D．8a+8 【变式题11-2】．（2024-2025•内江期末）某学校图书馆周三下午有（a+3b﹣2）位同学，七年级组织（a+3）位同学来图书馆阅读，后来有（a+2b+1）位同学因上课要离开，那么图书馆内还剩下的同学数为（　　） A．a+2b B．2a+b C．a+b D．a+b+1 【变式题11-3】．（2024-2025•环县期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． （1）小长方形M的长为　 　 （用含a的代数式表示）． （2）若b＝12.5，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【题型12】整式加减与新定义运算结合问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义运算的关键：先解读定义规则(如)，将新运算转化为常规整式加减，再按法则化简求解。 2.高频考点梳理 线性新定义(如，已知，，求、)。 含括号的新定义(如，已知，求)。 结合新定义与“不含项”问题(如化简后不含项，求定义中的参数)。 3.易错点警示 误解新定义规则，如将看成，导致转化错误。 转化新运算时漏项或符号错误，如，易写成。 4.解题技巧拆解 第一步：解读新定义，明确运算公式（如，“⊗”表示“2倍前项减3倍后项”）。 第二步：将具体整式代入新定义（如）。 第三步：转化为常规整式加减，去括号合并同类项（如）。 第四步：根据问题要求求解（如求值、求参数），验证（代入简单数值检查新运算是否正确，如，，，计算，确认无误）。 【例题12】．（2025春•榆中县期末）对于任意有理数m，n，现用“▲”定义一种运算：m▲n＝m2﹣n2，根据这个定义，代数式（m﹣n）▲m可以化简为（　　） A．n2﹣2mn B．2mn﹣n2 C．m2﹣2mn D．2mn﹣m2 【变式题12-1】．（2024-2025•保定校级期末）对于任意式子A，B，定义：AΦB＝3A﹣2B．当a＝﹣1时，式子的值是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．7 D．9 【变式题12-2】．（2024-2025•宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数265是否为“极差数”？　 　 ． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 　 　 ； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式题12-3】．（2024-2025•襄城区期末）定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数234中，3，所以，234是半和数；又如369中，6（3+9），所以，369也是半和数．… 任务： （1）已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 　 　 ；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 　 　 ；这个数为 　 　 ；（用含a的代数式表示）； （2）任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是111的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．单项式的系数和次数分别是（　　） A．，3 B．，4 C．，﹣4 D．，4 2．下列变形正确的是（　　） A．a﹣b+c＝a﹣（b+c） B．a﹣b+c＝a+（b﹣c） C．a+b﹣c＝a﹣（b+c） D．a+b﹣c＝a+（b﹣c） 3．下列各式运算中，正确的是（　　） A．3x+2y＝5xy B．2a2b﹣ba2＝a2b C．16y2﹣9y＝7y D．3a2+2a2＝5a 4．代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列关于单项式的说法正确的是（　　） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是﹣5，次数是4 D．系数是﹣5，次数是3 二．填空题（共5小题） 6．若xm﹣1y3与2xyn的和仍是单项式，则（m﹣n）2025的值等于　 　 ． 7．请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　 　 ． 8．把14﹣（+3）+（﹣5）﹣（﹣8）写成省略加号的和的形式是　 　 ． 9．已知多项式3x3y2+xy2﹣4的次数为a，常数项为b，则a﹣b＝　 　 ． 10．把整式﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．先去括号，再合并同类项： （1）3xy﹣4xy﹣（﹣2xy）； （2）5a﹣3b﹣3（﹣2b+a）． 12．已知A＝x2﹣xy2+y2，B＝x2+xy2+3y2，求A+（B﹣2A）． 13．先化简，再求值：2x2y﹣[2x2y﹣（2xy﹣3x2y）]+3xy2，其中x＝3，． 14．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 15．某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式＝〇+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2） ＝﹣11x+7y2 （1）求破损部分的整式； （2）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，求破损部分整式的值． 16．阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝ 　 　 ； （2）已知x2﹣2y＝﹣4，求2x2﹣4y+2023的值； （3）已知a2+2ab＝2，ab﹣2b2＝﹣1，求代数式2a2+3ab+2b2的值． 17．用数学的眼光观察： 对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． 用数学的思维思考： （1）设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整： ＝　 　 +（a+b+c） ＝3　 　 +（a+b+c） 显然　 　 能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除．用数学的语言表达： （2）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 18．阅读材料：代数式运算中：6x﹣3x＝（6﹣3）x＝3x，5x﹣3x+x＝（5﹣3+1）x＝3x，类似的，我们把a+b看成一个整体，则5（a+b）﹣3（a+b）+（a+b）＝（5﹣3+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）把（a﹣b）2看成一个整体，计算：4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+（a﹣b）2； （2）已知x2﹣3y＝﹣1，求﹣2x2+6y+5的值； （3）已知a﹣2b＝6，2b﹣c＝﹣3，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣2d）﹣（2b﹣2c）的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2整式的加法与减法 【题型1】同类项的识别与判断 1.核心知识点总结 同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项。 同类项的“两相同”与“两无关”：“两相同”指字母相同、相同字母指数相同；“两无关”指与系数大小无关、与字母顺序无关。 2.高频考点梳理 直接判断两组单项式是否为同类项（如判断与、与是否为同类项）。 结合“单项式的和为单项式”间接判断同类项（和为单项式隐含两单项式是同类项）。 3.易错点警示 混淆“相同字母的指数”与“字母的次数”，如误将与判定为同类项（前者的指数为2、为1，后者为1、为2）。 忽略常数项的同类项属性，如误将与判定为非同类项。 4.解题技巧拆解 第一步：观察两组单项式的所含字母是否完全一致（如与含不同字母，直接排除)。 第二步：对相同字母，检查其指数是否分别相等(如与，的指数均为3，均为1，判定为同类项)。 【例题1】．（2024-2025•通许县期末）下列各组中两项属于同类项的是（　　） A．﹣x2y和xy2 B．x2y和x2z C．﹣m2n3和﹣3n3m2 D．﹣ab和abc 【答案】C 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．﹣x2y和xy2，相同字母的指数分别不相等，不是同类项，故本选项不符合题意； B．x2y和x2z的字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； C．﹣m2n3和﹣3n3m2的字母相同，相同字母的指数也分别相等，是同类项，故本选项符合题意； D．﹣ab和abc的字母不完全相同，不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，能熟记同类项的定义是解此题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，常数项是同类项． 【变式题1-1】．（2024-2025•洮北区期末）下列各组单项式中，为同类项的是（　　） A．a3与a2 B．﹣3与a C．2xy与2x D．与2a2 【答案】D 【分析】根据同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的次数相同，即可作出判断． 【解答】解：A、相同字母的次数不同，故不是同类项，选项错误； B、所含字母不同，则不是同类项，选项错误； C、所含字母不同，则不是同类项，选项错误； D、正确； 故选：D． 【点评】本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【变式题1-2】．（2024-2025•平城区期末）下列单项式中，与ab3是同类项的是（　　） A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a3b 【答案】C． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【变式题1-3】．（2024-2025•睢阳区模拟）请写出abc的一个同类项：　4abc（答案不唯一）　 ． 【答案】4abc（答案不唯一）． 【分析】根据同类项的定义解答即可． 【解答】解：答案不唯一，如4abc． 故答案为：4abc（答案不唯一）． 【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 【题型2】根据同类项定义求字母参数值 1.核心知识点总结 同类项的“两相同”是列方程的核心依据：相同字母的指数相等，据此建立关于字母参数的一元一次方程。 若两个同类项的和为单项式，需先利用同类项定义确定参数，再结合系数关系(可选)验证。 2.高频考点梳理 已知单项式为同类项，求单个字母参数(如与是同类项，求、)。 已知单项式和为单项式，求多个字母参数(如为单项式，求与的关系)。 3.易错点警示 漏查多个相同字母的指数，如仅关注的指数，忽略的指数(如与，需同时满足且)。 误将“系数不为零”作为同类项的必要条件(同类项定义不限制系数，仅需满足“两相同”)。 4.解题技巧拆解 第一步：提取两个单项式中的相同字母(如、)。 第二步：对每个相同字母，列“指数相等”的方程(如，)。 第三步：解方程求参数，若有多个参数，联立方程求解(如含、的二元一次方程组)。 【例题2】．（2024-2025•长沙校级期末）若﹣2xay3与3x2yb是同类项，则a+b＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据同类项的定义直接得出a、b的值． 【解答】解：由同类项的定义可知a＝2，b＝3， ∴a+b＝2+3＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题2-1】．（2024-2025•岳阳楼区校级开学）若﹣x2yn与xmy是同类项，则 2m+n 的值为（　　） A．7 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值，再代入求值即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝2，n＝1， ∴2m+n＝2×2+1＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【变式题2-2】．（2024-2025•衡阳县期末）单项式xm﹣1y3与﹣4xyn是同类项，则mn的值是（　　） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：根据题意得：m﹣1＝1，n＝3， 解得：m＝2， 所以mn＝23＝8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了同类项的定义，根据相同字母的指数相同列出方程是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•儋州期末）若单项式3ax2yn+1与﹣2axmy4是同类项，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2023 【答案】C 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同的单项式叫做同类项），可得m、n，代入（m﹣n）2023计算可得结果． 【解答】解：∵单项式3ax2yn+1与﹣2axmy4是同类项， ∴m＝2，n+1＝4， 解得n＝3， 所以（m﹣n）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查同类项．掌握同类项的定义是解题的关键． 【题型3】合并同类项的规范运算 1.核心知识点总结 合并同类项法则：一相加，两不变，即同类项的系数相加，字母及其指数保持不变。 运算结果需为最简整式：无同类项、无括号(若有括号需先去括号)。 2.高频考点梳理 直接合并多项式中的同类项(如)。 含单层括号的多项式合并(如，将看成整体合并)。 3.易错点警示 合并时改变字母或指数，如(错误，应为)。 漏合并孤立同类项，如(易漏写)。 系数计算错误(尤其是负数相加)，如(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：用不同符号(如波浪线、横线)标记同类项(避免漏项)。 第二步：利用加法交换律，将同类项移到一起(连同前面的符号)。 第三步：计算同类项的系数和，保留字母及指数(如)。 第四步：按字母降幂排列整理结果(如，按降幂)。 【例题3】．（2024-2025•长沙校级期末）下列计算正确的是（　　） A．3a﹣a＝2 B．3ab﹣2ab＝1 C．2a2b+3ba2＝5a2b D．8x+3y＝11xy 【答案】C． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、3a﹣a＝2a≠2，故A错误； B、3ab﹣2ab＝ab≠1，故B错误； C、2a2b+3ba2＝5a2b，故C正确； D、8x+3y≠11xy，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 【变式题3-1】．（2024-2025•大理州期末）若单项式3am﹣2b2与a3bn的和仍是单项式，则mn的值是（　　） A．3 B．6 C．25 D．32 【答案】C 【分析】根据单项式3am﹣2b2和a3bn的和仍是单项式，即可得出m﹣2＝3，n＝2，求出m，n的值，即可得出结果． 【解答】解：∵单项式3am﹣2b2和a3bn的和仍是单项式， ∴m﹣2＝3，n＝2， ∴m＝5，n＝2， ∴mn＝52＝25， 故选：C． 【点评】本题考查的是合并同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•单县期末）已知单项式3am+1b与﹣bn﹣1a3可以合并同类项，则m，n分别为（　　） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【答案】A 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，进行计算即可． 【解答】解：由题意得： m+1＝3，n﹣1＝1， ∴m＝2，n＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•沙坪坝区校级开学）合并同类项： （1）2x﹣2y﹣x+3y； （2）． 【答案】（1）x+y；（2）x2yxy． 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝x+y； （2）原式x2yxy+xy﹣2x2y x2yxy． 【点评】本题主要考查合并同类项，熟记该知识点是解题的关键． 【题型4】去括号与添括号的规范化简 1.核心知识点总结 去括号法则：括号前是“”，去括号后各项符号不变；括号前是“”，去括号后各项符号均变号。 添括号法则：与去括号相反，括号前是“”，括入括号的各项符号变号；是“”，符号不变。 2.高频考点梳理 单层括号的去括号运算(如、)。 按要求添括号(如将写成，括号前为“”)。 3.易错点警示 去括号时漏乘括号内的项，如(错误，应为)。 括号前是“”时，部分项漏变号，如(错误，应为)。 添括号时漏变号，如将写成(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 去括号：第一步判断括号前符号，第二步若为“”直接去括号；若为“”，逐项变号后去括号，第三步合并同类项(若需)。 添括号：第一步确定需括入的项，第二步判断括号前符号，第三步括入项变号(若为“”)，第四步验证(去括号后与原式一致)。 【例题4】．（2024-2025•沐川县期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（　　） A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a+2（b+c）＝a+2b+c C．a+ab﹣b＝a+（ab+b） D．a﹣3b+3c＝a﹣3（b﹣c） 【答案】D 【分析】根据去括号和添括号的方法进行解题即可． 【解答】解：A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故该项不正确，不符合题意； B、a+2（b+c）＝a+2b+2c，故该项不正确，不符合题意； C、a+ab﹣b＝a+（ab﹣b），故该项不正确，不符合题意； D、a﹣3b+3c＝a﹣3（b﹣c），故该项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查去括号和添括号，掌握去括号和添括号是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•雨城区校级期中）去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可； （2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可； 【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b； （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12； 【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键． 【变式题4-2】．下列添括号有没有错误？若有错误，请改正． （1）a﹣2b﹣3m+n＝a﹣（2b﹣3m+n）； （2）m﹣2n+a﹣b＝m+（2n+a﹣b）； （3）x﹣2a﹣4b+y＝（x﹣2a）﹣（4b﹣y）； （4）a﹣2b+c﹣1＝﹣（a+2b﹣c+1）． 【答案】（1）错误，改正：a﹣2b﹣3m+n＝a﹣（2b+3m﹣n）； （2）错误，改正：m﹣2n+a﹣b＝m+（﹣2n+a﹣b）； （3）没有错误，x﹣2a﹣4b+y＝（x﹣2a）﹣（4b﹣y）； （4）错误，改正：a﹣2b+c﹣1＝﹣（﹣a+2b﹣c+1）． 【分析】（1）根据添括号法则判断并改正； （2）根据添括号法则判断并改正； （3）根据添括号法则判断并改正； （4）根据添括号法则判断并改正． 【解答】解：（1）错误，改正：a﹣2b﹣3m+n＝a﹣（2b+3m﹣n）； （2）错误，改正：m﹣2n+a﹣b＝m+（﹣2n+a﹣b）； （3）没有错误，x﹣2a﹣4b+y＝（x﹣2a）﹣（4b﹣y）； （4）错误，改正：a﹣2b+c﹣1＝﹣（﹣a+2b﹣c+1）． 【点评】本题考查的是去括号与添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 【变式题4-3】．按下列要求给多项式﹣a3+2a2﹣a+1添括号． （1）使最高次项系数变为正数； （2）把奇次项放在前面是“﹣”号的括号里，其余的项放在前面是“+”号的括号里． 【答案】（1）﹣（a3﹣a2+a﹣1）； （2）﹣（a3+a）+（2a2+1）． 【分析】（1）（2）利用添括号法则解答即可． 【解答】解：（1）﹣a3+2a2﹣a+1＝﹣（a3﹣a2+a﹣1）； （2）﹣a3+2a2﹣a+1＝﹣（a3+a）+（2a2+1）． 【点评】本题考查的是去括号与添括号、多项式，掌握去括号与添括号法则是解题的关键． 【题型5】整式加减的分步运算(提升) 1.核心知识点总结 整式加减的实质：去括号与合并同类项的结合，运算步骤为“括整式→连符号→去括号→合并项”。 多个整式加减时，需先将每个整式用括号括起，再用“”“”连接。 2.高频考点梳理 两个多项式的加减(如，其中，)。 含系数的整式加减(如，需先将、分别乘系数再加减)。 3.易错点警示 省略括号导致符号错误，如计算时，直接写成(错误，括号前是“”，应为)。 系数乘多项式时漏乘项，如(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：写出整式加减的完整表达式(如)。 第二步：按去括号法则去括号(系数乘括号内每一项，注意符号)。 第三步：标记同类项，合并同类项(如)。 第四步：检查结果是否为最简整式(无同类项、无括号)。 【例题5】．（2024-2025•河口区期末）已知两个多项式A和B．其中A＝3a2b﹣2ab2小马虎在计算2A﹣B的值时不小心将2A﹣B错看成2A+B，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求多项式B： （2）请帮他求出2A﹣B的正确答案． 【答案】（1）B＝﹣2a2b+ab2； （2）2A﹣B＝8a2b﹣5ab2． 【分析】（1）依题意得2A+B＝2（3a2b﹣2ab2）+B＝4a2b﹣3ab2，进而可求解； （2）利用整式的加减运算法则是解题的关键． 【解答】解：（1）依题意得： 2A+B＝2（3a2b﹣2ab2）+B＝4a2b﹣3ab2， ∴B＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2） ＝4a2b﹣3ab2﹣6a2b+4ab2 ＝﹣2a2b+ab2． （2）2A﹣B ＝2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2） ＝6a2b﹣4ab2+2a2b﹣ab2 ＝8a2b﹣5ab2． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•内江期末）已知整式A和B满足：A+2B＝4a+3ab，B＝2a+3ab﹣2． （1）求整式A（用所含a、b的代数式表示）； （2）若B﹣A的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】（1）﹣3ab+4； （2）． 【分析】（1）根据A＝A+2B﹣2B，代入计算，根据整式的加减运算法则计算即可； （2）先得出B﹣A＝2a（1+3b）﹣6，根据B﹣A的值与a的取值无关，得出1+3b＝0，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）A＝A+2B﹣2B ＝4a+3ab﹣2（2a+3ab﹣2） ＝4a+3ab﹣4a﹣6ab+4 ＝﹣3ab+4； （2）B﹣A＝2a+3ab﹣2﹣（﹣3ab+4） ＝2a+3ab﹣2+3ab﹣4 ＝2a+6ab﹣6 ＝2a（1+3b）﹣6， ∵B﹣A的值与a的取值无关， ∴1+3b＝0， ∴． 【点评】本题主要考查整式的加减，掌握整式加减法法则是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•南郑区期末）在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b﹣2ab2，嘉淇错将“2A﹣B”看成“2A+B”，得到的结果是4a2b﹣3ab2． （1）求整式B； （2）求2A﹣B的正确结果． 【答案】（1）B＝﹣2a2b+ab2； （2）8a2b﹣5ab2． 【分析】（1）由题意得，2A+B＝4a2b﹣3ab2，则B＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2），据此根据整式的加减计算法则求解即可． （2）根据（1）所求计算出2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2）的结果即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，2A+B＝4a2b﹣3ab2， ∴B＝4a2b﹣3ab2﹣2A ＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2） ＝4a2b﹣3ab2﹣6a2b+4ab2 ＝﹣2a2b+ab2； （2）2A﹣B ＝2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2） ＝6a2b﹣4ab2+2a2b﹣ab2 ＝8a2b﹣5ab2． 【点评】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握整式的运算法则是关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•兴平市期末）某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． 请通过计算分别求出C，D卡片上的代数式． 【答案】C，D卡片上的代数式分别为：﹣2x2+4x﹣5，x2﹣2x+3． 【分析】根据整式的加减运算法则，分别求出A，B两张卡片上的代数式的和与差，即可得出结果． 【解答】解： ＝x2﹣2x+3； ＝﹣2x2+4x﹣5； ∵C卡片上的二次项为：﹣2x2， ∴卡片C上的代数式为：﹣2x2+4x﹣5； ∵D的常数项为3， ∴卡片D上的代数式为：x2﹣2x+3． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是根据运算法则来计算． 【题型6】整式化简求值(含整体思想)(提升) 1.核心知识点总结 化简求值的核心原则：先化简，再代入，避免直接代入复杂计算；“整体思想”是将某个多项式(如、)看成一个整体代入。 2.高频考点梳理 直接给出字母值的化简求值(如，，求的值)。 给出字母关系式的整体求值(如，求的值)。 结合非负性求字母值(如，求整式值)。 3.易错点警示 未化简直接代入，导致计算繁琐(如，，直接代入，虽正确，但复杂整式易出错)。 整体代入时漏乘系数，如，求时，写成(错误，应为)。 代入负数时漏加括号，如，写成(错误，应为)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式(去括号+合并同类项，如)。 第二步：分析已知条件，若为整体关系，将化简后的整式变形为含整体的形式(如)。 第三步：代入数值或整体(如，则)。 第四步：计算结果，验证合理性(如结果为负数，需确认符号是否正确)。 【例题6】．（2024-2025•北京校级开学）已知x、y的关系为2x﹣3y﹣2＝1，则（　　） A．﹣8z B．12 C．6 D．4x﹣10y﹣8z﹣6 【答案】B 【分析】已知式子的值求出代数式的值，去括号，合并同类项进行化简，再根据2x﹣3y﹣2＝1，得到2x﹣3y＝3，整体代入法求值即可． 【解答】解：∵2x﹣3y﹣2＝1， ∴2x﹣3y＝3， ∴原式＝4x+2y﹣4z﹣8y+4z+6 ＝4x﹣6y+6 ＝2（2x﹣3y）+6 ＝2×3+6＝12． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•香坊区校级月考）先化简，再求值：（3x2y﹣2xy2）﹣（xy2﹣2x2y），其中x＝2，y＝﹣1． 【答案】5x2y﹣3xy2，﹣26． 【分析】先去括号再合并同类项化简，最后代入求值即可． 【解答】解：（3x2y﹣2xy2）﹣（xy2﹣2x2y） ＝3x2y﹣2xy2﹣xy2+2x2y ＝5x2y﹣3xy2， ∵x＝2，y＝﹣1， ∴原式＝5×22×（﹣1）﹣3×2×（﹣1）2＝﹣26． 【点评】本题考查了整式的加减运算及求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•大理州期末）已知A＝2a2+b2﹣5ab，B＝a2﹣3ab+2． （1）化简：A﹣2B+4； （2）若|a+2|+（b﹣1）2＝0，求A﹣2B+4的值． 【答案】（1）b2+ab；（2）﹣1． 【分析】（1）把A与B代入A﹣2B+4中，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵A＝2a2+b2﹣5ab，B＝a2﹣3ab+2， ∴A﹣2B+4 ＝（2a2+b2﹣5ab）﹣2（a2﹣3ab+2）+4 ＝2a2+b2﹣5ab﹣2a2+6ab﹣4+4 ＝b2+ab； （2）∵|a+2|≥0，（b﹣1）2≥0， 又∵|a+2|+（b﹣1）2＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， 当a＝﹣2，b＝1时， 原式＝12+（﹣2）×1＝﹣1． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的运算法则是解本题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•绵阳期末）先化简，再求值 5（4a2﹣2ab3）﹣4（5a2﹣3ab3），其中a＝2， 【答案】2ab3，． 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把a＝2，代入计算即可． 【解答】解：原式＝20a2﹣10ab3﹣20a2+12ab3 ＝2ab3； 当a＝2，时， 原式． 【点评】本题考查的是整式的加减运算，化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 【题型7】整式不含某次数项问题(提升) 1.核心知识点总结 “不含某次数项”的本质：该次数项的合并后系数为0，需先化简整式，再令目标项系数等于0，建立方程求参数。 2.高频考点梳理 不含一次项(如整式不含项，求)。 不含二次项(如整式不含项，求)。 3.易错点警示 化简时漏合并同类项，误判目标项系数(如，漏合并项，误认系数为)。 混淆“不含项”与“无该项”，忽略“合并后系数为0”的情况(如，不含项需，而非无项)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式，合并同类项(如已最简，目标项为)。 第二步：找出目标次数项的合并后系数(如一次项系数为)。 第三步：令系数等于0，解方程求参数(如，得)。 第四步：验证(代入参数化简，确认无目标项，如时，整式为，不含一次项)。 【例题7】．（2024-2025•惠城区期末）将“多项式“（x2﹣3xy﹣y2）﹣2（x2+mxy+2y2）化简后不含xy的项，则m的值是（　　） A． B．6 C． D．﹣6 【答案】A 【分析】根据整式的加减运算进行化简，然后根据“多项式“（x2﹣3xy﹣y2）﹣2（x2+mxy+2y2）化简后不含xy的项，可知xy的系数为0，从而可以求得m的值． 【解答】解：（x2﹣3xy﹣y2）﹣2（x2+mxy+2y2） ＝x2﹣3xy﹣y2﹣2x2﹣2mxy﹣4y2 ＝﹣x2﹣（3+2m）xy﹣5y2， ∵该多项式化简后不含xy的项， ∴﹣（3+2m）＝0， 解得， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是明确多项式化简后不含xy的项，也就是化简后xy的系数为0． 【变式题7-1】．（2024-2025•南康区期末）已知多项式（2x2+ax+6）﹣（bx2﹣2x﹣1）的化简结果不含x2和x． （1）求a，b的值； （2）求ab﹣b2的值． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝2；（2）﹣8． 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，最后根据无关型可得a和b的值； （2）把a和b的值代入ab﹣b2计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝2x2+ax+6﹣bx2+2x+1 ＝（2﹣b）x2+（a+2）x+7， ∵多项式的化简结果不含x2和x， ∴2﹣b＝0，a+2＝0， ∴a＝﹣2，b＝2； （2）当a＝﹣2，b＝2时， ab﹣b2 ＝﹣2×2﹣22 ＝﹣4﹣4 ＝﹣8． 【点评】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减的运算法则是关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•任丘市期末）已知关于x的多项式A，B，其中A＝mx2+nx﹣1，B＝x2﹣x+2（m，n均为有理数）． （1）化简2B﹣A． （2）若2B﹣A的结果不含x项和x2项，求m，n的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据整式的减法法则计算即可； （2）根据结果不含x项和x2项可知其系数为0，然后列式计算即可． 【解答】解：（1）∵A＝mx2+nx﹣1，B＝x2﹣x+2， ∴2B﹣A＝2（x2﹣x+2）﹣（mx2+nx﹣1） ＝2x2﹣2x+4﹣mx2﹣nx+1 ＝2x2﹣mx2﹣2x﹣nx+5； （2）由（1）知，2B﹣A＝2x2﹣mx2﹣2x﹣nx+5＝（2﹣m）x2﹣（2+n）x+5， ∵2B﹣A的结果不含x项和x2项， ∴2﹣m＝0，2+n＝0， 解得m＝2，n＝﹣2． 【点评】本题考查了整式的加减，关键是注意去括号时符号的变化情况． 【变式题7-3】．（2024-2025•钢城区期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，其中a+3＝0，则a＝﹣3． 【方法应用】 （1）当b＝ 　﹣5　 ，c＝ 　1　 时，关于x的多项式3x4﹣（b+5）x3+（c﹣1）x2﹣5x+1不含x3项和x2项． （2）已知A＝﹣3x2﹣2xy+3y+1，B＝2x2+2xy﹣1，且2A+3B的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】 （3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为S1，右下角部分的面积为S2．当AD的长发生变化时，5S2﹣2S1的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据多项式不含x3项和x2项，列出方程解答即可； （2）先求2A+3B，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出S1和S2的面积，进而求出5S2﹣2S1，进行即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴b+5＝0，c﹣1＝0， ∴b＝﹣5，c＝1， 故答案为：﹣5，1． （2）∵2A+3B＝2（﹣3x2﹣2xy+3y+1）+3（2x2+2xy﹣1） ＝﹣6x2﹣4xy+6y+2+6x2+6xy﹣3 ＝2xy+6y﹣1 ＝（2x+6）y﹣1， ∵2A+3B的值与y的取值无关， ∴2x+6＝0， ∴x＝﹣3； （3）设AD＝x， 依题意，S1＝b（x﹣4a）＝bx﹣4ab，S2＝2a（x﹣b）＝2ax﹣2ab， ∴5S2﹣2S1＝5（2ax﹣2ab）﹣2（bx﹣4ab）＝10ax﹣2bx﹣2ab＝（10a﹣2b）x﹣2ab， ∵当AD的长发生变化时，5S2﹣2S1的值始终保持不变， ∴10a﹣2b＝0．即b＝5a． 【点评】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． 【题型8】整式与字母取值无关问题(提升) 1.核心知识点总结 “与字母取值无关”的本质：该字母的所有次数项系数均为0(如与无关，需、项系数均为0)，据此列方程组求参数。 2.高频考点梳理 与单个字母无关(如整式与无关，求、)。 与多个字母无关(如整式与、无关，求、)。 3.易错点警示 仅令某一个次数项系数为0，忽略其他项(如与无关，仅令一次项系数为0，漏项)。 化简时符号错误，导致系数计算偏差(如，误写成，系数计算错误)。 4.解题技巧拆解 第一步：化简整式，按目标字母(如)的次数降幂排列(如)。 第二步：分离含目标字母的项和常数项(如含项：，常数项：)。 第三步：令含目标字母的每一项系数为0(如，)。 第四步：解方程组求参数(得，)，验证(代入后整式为，与无关)。 【例题8】．（2024-2025•闵行区校级月考）若整式（x2+ax﹣3y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与字母x的取值无关，则a＝　﹣2　 ，b＝　1　 ． 【答案】﹣2，1． 【分析】直接去括号合并同类项，再利用关于x的系数为0，即可得出答案． 【解答】解：（x2+ax﹣3y+7）﹣（bx2﹣2x+9y﹣1） ＝x2+ax﹣3y+7﹣bx2+2x﹣9y+1 ＝（1﹣b）x2+（a+2）x﹣12y+8， 由条件可知a+2＝0，1﹣b＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1， 故答案为：﹣2，1． 【点评】本题主要考查了整式的加减，解一元一次方程，正确理解多项式与x取值无关的意义是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•通辽期末）已知：A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy． （1）计算：A﹣2B； （2）若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣2B的值； （3）若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把A与B代入A﹣2B中，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值； （3）A﹣2B结果整理后，由取值与y无关，确定出x的值即可． 【解答】解：（1）∵A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy， ∴A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣1﹣2x2+2xy＝5xy+2y﹣1； （2）∵（x+1）2+|y﹣2|＝0， ∴x＝﹣1，y＝2， 则A﹣2B＝﹣10+4﹣1＝﹣7； （3）A﹣2B＝5xy+2y﹣1＝（5x+2）y﹣1， 由结果与y的取值无关，得到5x+2＝0， 解得：x． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•衡山县期末）数学江老师在课堂上布置了一道数学题：当x＝﹣2024，y＝2025时，求2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣1）﹣2xy2﹣2的值． 对于此题，七年级（3）班的三位同学展开讨论． 小明：这么大的数，没法算；小亮：这个算式的结果是个常数； 小颖：这个算式的结果与x、y取值无关．那么他们到底谁说得对？你能说明理由吗？ 【答案】小亮和小颖回答正确，理由见解析． 【分析】去括号合并同类项即可求解． 【解答】解：原式＝2x2y+2xy2﹣2x2y+2﹣2xy2﹣2＝0． 这个算式的结果是个常数，与x，y取值无关，小亮和小颖回答正确． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握整式的加减﹣化简求值的方法是关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•北海期末）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．理解应用： （1）若关于x的多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知：A＝2x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy． ①计算：A﹣2B； ②若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1）；（2）①4xy+3y﹣1；②x． 【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，进而即可求解； （2）①列算式后，去括号，合并同类项即可； ②根据题意得出关于x的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）2m2﹣3x﹣m（3﹣5x） ＝2m2﹣3x﹣3m+5mx ＝（5m﹣3）x+2m2﹣3m， ∵其值与x的取值无关， ∴5m﹣3＝0， 解得， 即当时，多项式2x2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关； （2）①A﹣2B ＝2x2+2xy+3y﹣1﹣2（x2﹣xy） ＝4xy+3y﹣1； ②A﹣2B＝（4x+3）y﹣1， ∵取值与y的值无关， ∴4x+3＝0， 解得：． 【点评】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，多项式及解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型9】整式加减中的错看问题(培优) 1.核心知识点总结 错看问题的核心：将错就错，利用错误的运算结果反求原整式(如错算，反求)，再进行正确运算。 2.高频考点梳理 错将“”看成“”(如求，错算为，已知，求正确结果)。 错将字母值看错但结果正确(隐含化简后不含该字母，如错看成，结果一致，说明整式不含项)。 3.易错点警示 反求原整式时符号错误，如，求时写成(错误，应为)。 忽略原整式中的常数项，导致反求的整式不完整(如含常数项，反求时漏算)。 4.解题技巧拆解 第一步：明确错误运算关系(如错误：，正确：)。 第二步：反求未知整式(如，代入，，得)。 第三步：进行正确运算(如)。 第四步：验证(代入字母值，如，错误结果，正确结果，确认无误)。 【例题9】．（2024-2025•桃城区校级期末）已知多项式A＝x3﹣axy+3x2y3+1，B＝2x3﹣xy+bx2y3．小希在计算时把题目条件A+B错看成了A﹣B，求得的结果为﹣x3+2xy+1，那么小希最终计算的A+B中不含的项为（　　） A．三次项 B．二次项 C．五次项 D．常数项 【答案】B 【分析】先根据x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3）＝﹣x3+2xy+1求出a、b的值，继而得出A+B＝x3+xy+3x2y3+1+（2x3﹣xy+3x2y3），去括号、合并同类项即可得出答案． 【解答】解：由题意知x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3）＝﹣x3+2xy+1， 而x3﹣axy+3x2y3+1﹣（2x3﹣xy+bx2y3） ＝x3﹣axy+3x2y3+1﹣2x3+xy﹣bx2y3 ＝﹣x3+（1﹣a）xy+（3﹣b）x2y3+1， ∴1﹣a＝2，3﹣b＝0， ∴a＝﹣1，b＝3， 则A+B ＝x3+xy+3x2y3+1+（2x3﹣xy+3x2y3） ＝x3+xy+3x2y3+1+2x3﹣xy+3x2y3 ＝3x3+6x2y3+1， ∴最终计算的A+B中不含的项为二次项， 故选：B． 【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 【变式题9-1】．（2024-2025•招远市期末）有这样一道计算题：“计算3x2y+[4x2y﹣（7x2y2﹣y2）]﹣7（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析． 【分析】去括号，合并同类项后，根据结果进行说明即可． 【解答】解：原式＝3x2y+（4x2y﹣7x2y2+y2）﹣7x2y﹣7y2+7x2y2 ＝3x2y+4x2y﹣7x2y2+y2﹣7x2y﹣7y2+7x2y2 ＝﹣6y2； 因为化简结果中不含x项，所以小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；又因为化简结果中是“y2”，“1”、“﹣1”的平方是一样的，所以小颖同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的． 【点评】本题考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的运算法则是关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•郫都区校级期中）（1）小刚在做“计算（5a2﹣3b2）﹣3（a2﹣b2）+（b2﹣a2）的值，其中a＝2，b＝﹣1”这道题时，把a＝2，b＝﹣1错看成“a＝﹣2，b＝1”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算A﹣（ab+2bc﹣4ac）时，由于马虎，将“A﹣”错看成了“A+”，求得的结果为3ab﹣2ac+5bc，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】（1）见解析； （2）ab+6ac+bc． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，由结果发现无论“a＝2，b＝﹣1”还是“a＝﹣2，b＝1”，计算的结果总相等； （2）先根据题意求出A的表达式，再列出整式相加减的式子进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝5a2﹣3b2﹣3a2+3b2+b2﹣a2 ＝a2+b2， 无论a取2还是﹣2，b取﹣1还是1，a2、b2的取值相等，所以无论“a＝2，b＝﹣1”还是“a＝﹣2，b＝1”，计算的结果总相等； （2）由题意得，A＝（3ab﹣2ac+5bc）﹣（ab+2bc﹣4ac） ＝3ab﹣2ac+5bc﹣ab﹣2bc+4ac ＝2ab+2ac+3bc． A﹣（ab+2bc﹣4ac）＝（2ab+2ac+3bc）﹣（ab+2bc﹣4ac） ＝2ab+2ac+3bc﹣ab﹣2bc+4ac ＝ab+6ac+bc． 【点评】本题主要考查整式的加减，解决此类题目时，通常要先将整式去括号，合并同类项即可解得． 【变式题9-3】．（2024-2025•广州期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题： 已知两个关于x的多项式A、B，其中B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3，求A﹣B． 小强同学把“A﹣B”错看成“A+B”，求出的结果为﹣6mx2+mx+2x﹣7． （1）填空：多项式B的次数为　2　 ，常数项为　﹣3　 ； （2）请帮小强同学求出A﹣B的正确答案； （3）若当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数，求m的值． 【答案】（1）2，﹣3； （2）﹣2mx2+3mx﹣1； （3）． 【分析】（1）根据题意，得到多项式B的次数为2，常数项为﹣3； （2）由A+B的结果，求出多项式A，再求出A﹣B的结果即可； （3）根据题意，先求出A﹣2B，再得到含x项的系数为0，求出m的值即可． 【解答】解：（1）B＝﹣2mx2﹣mx+x﹣3 ＝﹣2mx2+（1﹣m）x﹣3， ∴多项式B的次数为2，常数项为﹣3， 故答案为：2，﹣3； （2）由题意得：A+B＝﹣6mx2+mx+2x﹣7， ∴A＝﹣6mx2+mx+2x﹣7﹣（﹣2mx2﹣mx+x﹣3） ＝﹣6mx2+mx+2x﹣7+2mx2+mx﹣x+3 ＝（﹣6mx2+2mx2）+mx+mx+2x﹣x﹣7+3 ＝﹣4mx2+2mx+x﹣4， ∴A﹣B＝﹣4mx2+2mx+x﹣4﹣（﹣2mx2﹣mx+x﹣3） ＝﹣4mx2+2mx+x﹣4+2mx2+mx﹣x+3 ＝﹣2mx2+3mx﹣1； （3）A﹣2B＝﹣4mx2+2mx+x﹣4﹣2（﹣2mx2﹣mx+x﹣3） ＝﹣4mx2+2mx+x﹣4+4mx2+2mx﹣2x+6 ＝4mx﹣x+2 ＝（4m﹣1）x+2， ∵当x取任意数值时，A﹣2B的值都是一个常数， ∴4m﹣1＝0， ∴． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【题型10】整式加减中的遮挡/污染问题(培优) 1.核心知识点总结 遮挡问题的本质：利用整式加减的逆运算反求被遮挡部分(如，则)，结合结果特征(如常数、不含某项)求遮挡参数。 2.高频考点梳理 遮挡整式的系数(如，求)。 遮挡完整的项(如，求)。 结合结果特征求遮挡参数(如遮挡后整式化简为常数，求遮挡系数)。 3.易错点警示 反求遮挡部分时漏加括号，如，求时写成(需注意括号内符号，应为，但需先去括号验证)。 化简时漏合并同类项，导致遮挡系数计算错误(如，漏合并项)。 4.解题技巧拆解 第一步：设被遮挡部分为参数(如设)，写出完整表达式(如)。 第二步：化简表达式(如)。 第三步：根据结果特征列方程(如结果为，则)。 第四步：求解参数()，验证(代入后化简结果与已知一致)。 【例题10】．（2024-2025•新泰市期末）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： x2+y2，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（　　） A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy 【答案】A 【分析】先计算（﹣x2+5xyy2）﹣（x2+4xyy2），然后对比题干中的式子，即可得到被墨水遮住的一项． 【解答】解：（﹣x2+5xyy2）﹣（x2+4xyy2） ＝﹣x2+5xyy2x2﹣4xyy2 x2+xy+y2， ∴被墨水遮住的一项应是+xy， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项的方法是解答本题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•运河区校级期末）已知两个整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系数■被污染，当x＝3时，B值为﹣4． （1）求■所表示的数字； （2）先化简A﹣2B，并求值，其中x＝﹣3． 【答案】（1）﹣2； （2）x2+6x﹣4，﹣13． 【分析】（1）设■所表示的数字为a，根据当x＝3时，B值为﹣4，列出方程，解方程即可； （2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【解答】解：（1）设■所表示的数字为a，根据题意得： 3a+2＝﹣4， 解得：a＝﹣2， 即■所表示的数字为﹣2； （2）∵■所表示的数字为﹣2， ∴B＝﹣2x+2， ∴A﹣2B ＝x2+2x﹣2（﹣2x+2） ＝x2+6x﹣4， 当x＝﹣3时，原式＝（﹣3）2+6×（﹣3）﹣4＝﹣13． 【点评】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 【变式题10-2】（2024-2025•霸州市期末）老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式A的二次项系数．如图： 已知两个多项式A＝x2﹣4x，B＝3x2+3x﹣2，试求A+3B． 然后告知该题A+3B的正确答案是x2+5x﹣6． （1）请求出A中被遮挡的二次项系数． （2）老师又给出了一个多项式C，并要求求出A﹣C的结果．小马虎在求解时，误把“A﹣C”看成“A+C”，进而求出的答案为x2﹣7x﹣3．现请你修正小马虎的错误，求出“A﹣C”的正确答案． 【答案】（1）﹣8； （2）﹣17x2﹣x+3． 【分析】（1）由题意得A＝x2+5x﹣6﹣3B，求出A，即可求解； （2）先由C＝x2﹣7x﹣3﹣A求出C，再计算A﹣C，即可求解． 【解答】解：（1）A＝x2+5x﹣6﹣3B ＝x2+5x﹣6﹣3（3x2+3x﹣2） ＝﹣8x2﹣4x， ∴A中被遮挡的二次项系数为﹣8； （2）C＝x2﹣7x﹣3﹣A ＝x2﹣7x﹣3﹣（﹣8x2﹣4x） ＝9x2﹣3x﹣3， ∴A﹣C ＝﹣8x2﹣4x﹣（9x2﹣3x﹣3） ＝﹣17x2﹣x+3． 【点评】本题考查了整式的加减混合运算，多项式项的系数；掌握整式加减运算的步骤是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•光泽县期中）阅读材料： 如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3＝13； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2＝8； 步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13+8＝47； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50﹣47＝3． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为978753Y，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解； （3）根据校验码为8结合两个数字的和是8即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知a＝7+7+3＝14，b＝9+8+5＝22， ∴“步骤3”中的c的值为3×17+22＝73，校验码的值为Y＝80﹣73＝7， （2）根据题意得：a＝m+1+2＝m+3，b＝6+0+0＝6， ∴c＝3（m+3）+6＝3m+15， ∴d＝c+6＝3m+15+6＝3m+21， ∵d为10的整数倍， ∴3m的个位数字必须是9， ∴3m＝9， ∴m＝3； （3）设两个数字从左到右分别是p、q， 由题意得：a＝p+9+2＝p+11，b＝6+1+q＝7+q， ∴c＝3（p+11）+7+q＝3p+q+40， 由条件可知d＝3p+q+40+8＝3p+q+48， ∴3 p+q的个位数字为2， 由条件可得3p+q＝2或3p+q＝12或3p+q＝22或3p+q＝32， 解得：（舍去）或或或（舍去）． 故答案为：2，6或7，1． 【点评】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律，利用规律是解题的关键． 【题型11】整式加减的实际应用(含几何与生活场景)(培优) 1.核心知识点总结 实际应用的核心：列整式表示量，再通过整式加减求解目标(几何：周长、面积；生活：人数、费用)。 几何场景需牢记公式(如长方形周长)，生活场景需理清数量关系(如中途上车人数现有人数剩余人数)。 2.高频考点梳理 几何场景：含参数的长方形周长加减(如长为，宽为，求周长与另一个长方形周长的差)。 生活场景：公交车人数变化(如原有人，下车一半，上车人，求现有人数)。 3.易错点警示 列整式时单位混淆(如长用“米”，宽用“厘米”，未统一单位)。 几何量表示错误(如长方形宽为，长为，周长写成但计算为，漏乘)。 生活场景数量关系颠倒(如中途上车人数原有人数现有人数下车人数，易写成现有人数原有人数下车人数)。 4.解题技巧拆解 第一步：分析场景，确定未知量(如几何中的长、宽；生活中的原人数、下车人数)，用字母表示(如设宽为)。 第二步：列整式表示相关量(如长为，周长为)。 第三步：根据问题列整式加减表达式(如求与另一个周长的差，表达式为)。 第四步：化简表达式()，代入数值计算(若有)，验证合理性(如几何量为正，人数为正)。 【例题11】．（2024-2025•余杭区期末）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏： 第一步：发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定每个同学的扑克牌数量超过四张）； 第二步：A同学拿出三张扑克牌给B同学； 第三步：C同学拿出四张扑克牌给B同学； 第四步：A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 最终B同学手中剩余的扑克牌张数情况是（　　） A．张数确定，一定是3张 B．无法确定，但一定比第一步发放的扑克牌张数多 C．无法确定，但一定比A同学多 D．张数确定，一定是10张 【答案】D 【分析】把每个同学的扑克牌数量用相应的式子表示出来，列式表示变化情况，即可得到结果． 【解答】解：设每个同学的扑克牌数量都是x， 第一步，A，B，C每人手中有牌x张， 第二步，A同学的扑克牌数量是x﹣3，B同学的扑克牌数量是x+3， 第三步，C同学的扑克牌数量是x﹣4，B同学的扑克牌数量是x+3+4， 第四步，A同学的扑克牌数量是2（x﹣3），B同学的扑克牌数量是（x+3+4）﹣（x﹣3）， ∴B同学手中剩余的扑克牌数量（x+3+4）﹣（x﹣3）＝x+3+4﹣x+3＝10， 故选：D． 【点评】本题考查了列代数式以及整式的加减，根据题意找出数量关系是解题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•乳山市期末）如图，从边长为a+5的大正方形纸片中剪去一个边长为a+1的小正方形，将剩余部分沿虚线剪开后拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，那么该长方形的长为（　　） A．2a+10 B．2a+6 C．8a+24 D．8a+8 【答案】B 【分析】根据图形可以发现后来剪拼成的长方形的长为原来大正方形的边长与剪下的小正方形的边长之和．后来剪拼成的长方形的长为（a+5）+（a+1），然后去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（a+5）+（a+1）＝2a+6． 答：长方形的长为2a+6． 故选：B． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式，解题的关键是可以发现后来剪拼成的长方形的长为原来大正方形的边长与剪下的小正方形的边长之和． 【变式题11-2】．（2024-2025•内江期末）某学校图书馆周三下午有（a+3b﹣2）位同学，七年级组织（a+3）位同学来图书馆阅读，后来有（a+2b+1）位同学因上课要离开，那么图书馆内还剩下的同学数为（　　） A．a+2b B．2a+b C．a+b D．a+b+1 【答案】C 【分析】原有的人数加上七年级组织的人数再减去后来因上课要离开的同学，即此时的人数即为剩余人数． 【解答】解：由题意得：（a+3b﹣2）+（a+3）﹣（a+2b+1）， ＝a+3b﹣2+a+3﹣a﹣2b﹣1， ＝a+b， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减运算，读懂题意是解题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•环县期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． （1）小长方形M的长为　a﹣9　 （用含a的代数式表示）． （2）若b＝12.5，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）a﹣9； （2）能，当b＝12.5时，阴影图形P与阴影图形Q的周长之和为56． 【分析】（1）由图可知：3×小长方形的宽+小长方形的长＝a，据此即可求解； （2）由图可得阴影图形P的长为a﹣9，宽为b﹣6，阴影图形Q的长为9，宽为b﹣（a﹣9）＝b﹣a+9，故阴影图形P和阴影图形Q的周长之和为2（a﹣9+b﹣6）+2（9+b﹣a+9）＝4b+6，据此即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知小长方形M的长为a﹣3×3＝a﹣9， 答：小长方形M的长为a﹣9； 故答案为：a﹣9； （2）阴影图形P的长为a﹣9，宽为b﹣6； 阴影图形Q的长为9，宽为b﹣（a﹣9）＝b﹣a+9． 则阴影图形P与阴影图形Q的周长之和为2（a﹣9+b﹣6）+2（9+b﹣a+9） ＝2a﹣18+2b﹣12+18+2b﹣2a+18 ＝4b+6， 故阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与a的值无关， 故若b＝12.5，能求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和． 当b＝12.5时，4b+6＝56， 故当b＝12.5时，阴影图形P与阴影图形Q的周长之和为56． 【点评】本题考查了根据几何图形列代数式，整式的加减等知识点，确定各几何图形的长和宽是解题关键． 【题型12】整式加减与新定义运算结合问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义运算的关键：先解读定义规则(如)，将新运算转化为常规整式加减，再按法则化简求解。 2.高频考点梳理 线性新定义(如，已知，，求、)。 含括号的新定义(如，已知，求)。 结合新定义与“不含项”问题(如化简后不含项，求定义中的参数)。 3.易错点警示 误解新定义规则，如将看成，导致转化错误。 转化新运算时漏项或符号错误，如，易写成。 4.解题技巧拆解 第一步：解读新定义，明确运算公式（如，“⊗”表示“2倍前项减3倍后项”）。 第二步：将具体整式代入新定义（如）。 第三步：转化为常规整式加减，去括号合并同类项（如）。 第四步：根据问题要求求解（如求值、求参数），验证（代入简单数值检查新运算是否正确，如，，，计算，确认无误）。 【例题12】．（2025春•榆中县期末）对于任意有理数m，n，现用“▲”定义一种运算：m▲n＝m2﹣n2，根据这个定义，代数式（m﹣n）▲m可以化简为（　　） A．n2﹣2mn B．2mn﹣n2 C．m2﹣2mn D．2mn﹣m2 【答案】A 【分析】根据新运算，可以对代数式（m﹣n）▲m化简，本题得以解决． 【解答】解：∵m▲n＝m2﹣n2， ∴（m﹣n）▲m＝（m﹣n）2﹣m2＝m2﹣2mn+n2﹣m2＝n2﹣2mn， 故选：A． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是理解新定义，正确计算． 【变式题12-1】．（2024-2025•保定校级期末）对于任意式子A，B，定义：AΦB＝3A﹣2B．当a＝﹣1时，式子的值是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据新定义结合整式的加减计算法则求出的结果，再将a＝﹣1代入求值即可． 【解答】解：原式 ＝a﹣12+2a2﹣6a﹣4 ＝2a2﹣5a﹣16， 当a＝﹣1时， 2a2﹣5a﹣16＝2×（﹣1）2﹣5×（﹣1）﹣16＝2+5﹣16＝﹣9， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数265是否为“极差数”？　不是　 ． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 　b﹣c＝a　 ； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】不是； （1）b﹣c＝a． （2）能被11整除； 设一个“极差数”为（a、b、c为正整数）， 所以b﹣c＝a，b＝a+c， 所以100a+10b+c ＝100a+10（a+c）+c ＝100a+10a+10c+c ＝110a+11c ＝11（10a+c）， 因为a、b、c为正整数， 所以10a+c为正整数， 所以11（10a+c）能被11整除， 【分析】若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”，因为6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”． （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，更具“极差数”的定义，可得b﹣c＝a． （2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），b﹣c＝a，b＝a+c，100a+10b+c＝11（10a+c），因为11（10a+c）能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除． 【解答】解：6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”． 故答案为：不是． （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为：b﹣c＝a． 故答案为：b﹣c＝a． （2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数）， 所以b﹣c＝a，b＝a+c， 所以100a+10b+c ＝100a+10（a+c）+c ＝100a+10a+10c+c ＝110a+11c ＝11（10a+c）， 因为a、b、c为正整数， 所以10a+c为正整数， 所以11（10a+c）能被11整除， 即任意一个“极差数”都能被11整除． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“极差数”的定义列式解答． 【变式题12-3】．（2024-2025•襄城区期末）定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数234中，3，所以，234是半和数；又如369中，6（3+9），所以，369也是半和数．… 任务： （1）已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 　741　 ；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 　　 ；这个数为 　105a　 ；（用含a的代数式表示）； （2）任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是111的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）741，，105a； （2）结论正确，理由见解答． 【分析】（1）根据“半和数”的定义确定出所求即可； （2）设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为整数，且m不为0），表示出这个“半和数”以及调换后的“半和数”，相加即可作出判断． 【解答】解：（1）根据题意得：这个数为741；十位数字为，这个数为105a； 故答案为：741，，105a； （2）设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为整数，且m不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： 100m+10n＝105m+6n， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：100n+10m＝105n+6m， 将新“半和数”与原“半和数”相加得， 105n+6m+105m+6n＝111m+111n＝111（m+n）， ∵m，n均为整数， ∴m+n为整数， ∴111（m+n）是111的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数． 【点评】此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 A． D． B． C． A 一．选择题（共5小题） 1．单项式的系数和次数分别是（　　） A．，3 B．，4 C．，﹣4 D．，4 【答案】A． 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，3． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 2．下列变形正确的是（　　） A．a﹣b+c＝a﹣（b+c） B．a﹣b+c＝a+（b﹣c） C．a+b﹣c＝a﹣（b+c） D．a+b﹣c＝a+（b﹣c） 【答案】D． 【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【解答】解：A、a﹣b+c≠a﹣（b+c），故A错误； B、a﹣b+c≠a+（b﹣c），故B错误； C、a+b﹣c≠a﹣（b+c），故C错误； D、a+b﹣c，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 3．下列各式运算中，正确的是（　　） A．3x+2y＝5xy B．2a2b﹣ba2＝a2b C．16y2﹣9y＝7y D．3a2+2a2＝5a 【答案】B． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、3x+2y≠5xy，故A错误； B、2a2b﹣ba2＝a2b，故B正确； C、16y2﹣9y≠7y，故C错误； D、3a2+2a2＝5a2≠5a，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 4．代数式4ab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式定义得：4ab2的次数为：1+2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 5．下列关于单项式的说法正确的是（　　） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是﹣5，次数是4 D．系数是﹣5，次数是3 【答案】A 【分析】根据单项式相关概念判断即可． 【解答】解：单项式的次数是4，系数是， 故选：A． 【点评】本题考查了单项式有关的概念：数与字母的积叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 二．填空题（共5小题） 6．若xm﹣1y3与2xyn的和仍是单项式，则（m﹣n）2025的值等于　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣1＝1，n＝3， 解得m＝2，n＝3， ∴（m﹣n）2025＝（2﹣3）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 7．请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　﹣2a3b（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣2a3b（答案不唯一）． 【分析】根据单项式的系数和次数的意义解答即可． 【解答】解：一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：﹣2a3b， 故答案为：﹣2a3b（答案不唯一）． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 8．把14﹣（+3）+（﹣5）﹣（﹣8）写成省略加号的和的形式是　14﹣3﹣5+8　 ． 【答案】14﹣3﹣5+8． 【分析】按照去括号法则去括号即可． 【解答】解：原式＝14﹣3﹣5+8． 故答案为：14﹣3﹣5+8． 【点评】本题考查了去括号与添括号，掌握去括号与添括号法则是关键． 9．已知多项式3x3y2+xy2﹣4的次数为a，常数项为b，则a﹣b＝　9　 ． 【答案】9． 【分析】由多项式的次数，常数项的概念，即可解决问题． 【解答】解：根据题意可知，a＝3+2＝5，b＝﹣4，∴a﹣b＝5﹣（﹣4）＝5+4＝9．故答案为：9． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式的定义是关键． 10．把整式﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：　x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3　 ． 【答案】x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：﹣6xy2﹣5x2y3+x3y﹣3按x降幂排列：x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 故答案为：x3y﹣5x2y3﹣6xy2﹣3． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 三．解答题（共8小题） 11．先去括号，再合并同类项： （1）3xy﹣4xy﹣（﹣2xy）； （2）5a﹣3b﹣3（﹣2b+a）． 【答案】（1）xy； （2）2a+3b． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案． （2）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）3xy﹣4xy﹣（﹣2xy） ＝﹣xy+2xy ＝xy； （2）5a﹣3b﹣3（﹣2b+a） ＝5a﹣3b+6b﹣3a ＝2a+3b． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 12．已知A＝x2﹣xy2+y2，B＝x2+xy2+3y2，求A+（B﹣2A）． 【答案】2xy2+2y2． 【分析】将A＝x2﹣xy2+y2，B＝x2+xy2+3y2代入A+（B﹣2A）计算即可． 【解答】解：A+（B﹣2A） ＝x2﹣xy2+y2+[x2+xy2+3y2﹣2（x2﹣xy2+y2）] ＝x2﹣xy2+y2+（x2+xy2+3y2﹣2x2+2xy2﹣2y2） ＝x2﹣xy2+y2+x2+xy2+3y2﹣2x2+2xy2﹣2y2 ＝2xy2+2y2． 【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是对整式正确化简． 13．先化简，再求值：2x2y﹣[2x2y﹣（2xy﹣3x2y）]+3xy2，其中x＝3，． 【答案】2xy﹣3x2y+3xy2，8． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝2x2y﹣[2x2y﹣2xy+3x2y]+3xy2， ＝2x2y﹣2x2y+2xy﹣3x2y+3xy2＝2xy﹣3x2y+3xy2， 当x＝3，时， 原式＝2×3×（）﹣3×32×（）+3×3 ＝﹣2+9+1 ＝8． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】（1）7ab﹣3a﹣4； （2）． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可解答； （2）根据已知可得含a项的系数和为0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， ∴A﹣3B ＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1+3a2+6ab﹣3， ＝7ab﹣3a﹣4； （2）∵A﹣3B ＝7ab﹣3a﹣4 ＝（7b﹣3）a﹣4， ∵A﹣3B的值与a的值无关， ∴7b﹣3＝0， ∴b． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式＝〇+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2） ＝﹣11x+7y2 （1）求破损部分的整式； （2）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，求破损部分整式的值． 【答案】（1）﹣3y2+x； （2）﹣25． 【分析】（1）设破损的整式为A，由原式确定出关系式，去括号合并得到结果； （2）利用非负数的性质求出x与y的值，代入A计算即可得到结果． 【解答】解：（1）设破损的整式为A， 根据题意得：A＝﹣11x+7y2+4（2x﹣y2）﹣2（3y2﹣2x）＝﹣11x+7y2+8x﹣4y2﹣6y2+4x＝﹣3y2+x； （2）∵|x﹣2|+（y+3）2＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， 解得：x＝2，y＝﹣3， 则原式＝﹣27+2＝﹣25． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x．类似的我们可以把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．请尝试解决： （1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝ 　（a﹣b）2　 ； （2）已知x2﹣2y＝﹣4，求2x2﹣4y+2023的值； （3）已知a2+2ab＝2，ab﹣2b2＝﹣1，求代数式2a2+3ab+2b2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （3）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）4（a﹣b）2﹣5（a﹣b）2+2（a﹣b）2 ＝（a﹣b）2； 故答案为：（a﹣b）2； （2）∵x2﹣2y＝﹣4， ∴原式＝2（x2﹣2y）+2023 ＝﹣8+2023 ＝2015； （3）∵a2+2ab＝2，ab﹣2b2＝﹣1， ∴原式＝2（a2+2ab）﹣（ab﹣2b2） ＝2×2﹣（﹣1） ＝4+1 ＝5． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．用数学的眼光观察： 对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． 用数学的思维思考： （1）设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整： ＝　99a+9b　 +（a+b+c） ＝3　（33a+3b）　 +（a+b+c） 显然　3（33a+3b）　 能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除．用数学的语言表达： （2）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据整式加减法则，进行填空即可； （2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可． 【解答】解：（1） ＝（99a+9b）+（a+b+c） ＝3（33a+3b）+（a+b+c） 显然3（33a+3b）能被3整除， 因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：99a+9b；（33a+3b）；3（33a+3b）；如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除； （2） ＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d） ＝9（111a+11b+c）+（a+b+c+d）， 显然9（111a+11b+c）能被9整除， 因此，如果a+b+c+d可以被9整除，那么就能被9整除． 【点评】本题主要考查了整式的加减，掌握整式加减混合运算是解题的关键． 18．阅读材料：代数式运算中：6x﹣3x＝（6﹣3）x＝3x，5x﹣3x+x＝（5﹣3+1）x＝3x，类似的，我们把a+b看成一个整体，则5（a+b）﹣3（a+b）+（a+b）＝（5﹣3+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）把（a﹣b）2看成一个整体，计算：4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+（a﹣b）2； （2）已知x2﹣3y＝﹣1，求﹣2x2+6y+5的值； （3）已知a﹣2b＝6，2b﹣c＝﹣3，c﹣d＝9，求（a﹣c）+（2b﹣2d）﹣（2b﹣2c）的值． 【答案】（1）﹣2（a﹣b）2； （2）7； （3）21． 【分析】（1）根据题意合并同类项即可． （2）把式子变形成﹣2x2+6y+5＝﹣2（x2﹣3y）+5，然后整体代入求解即可． （3）把式子变形（2b﹣c）+（a﹣2b）+2（c﹣d），然后整体代入式子求解即可． 【解答】解：（1）把（a﹣b）2看成一个整体， 则4（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+（a﹣b）2＝（4﹣7+1）（a﹣b）2＝﹣2（a﹣b）2 （2）∵x2﹣3y＝﹣1， ∴﹣2x2+6y+5＝﹣2（x2﹣3y）+5＝﹣2×（﹣1）+5＝2+5＝7 （3）原式＝a﹣c+2b﹣2d﹣2b+2c ＝（2b﹣c）+（a﹣2b）+2（c﹣d）， ∵a﹣2b＝6，2b﹣c＝﹣3，c﹣d＝9， ∴原式＝﹣3+6+2×9＝21 【点评】本题主要考查了整式的加减运算，已知式子的值求代数式的值，学会整体代入思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $