第26章 应用技巧专题 概率的综合应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

应用技巧专题 题型① 概率与不等式问题 1.如下图，甲、乙是两个可以自由转动的均匀 的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇 形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每 一个扇形都标有相应的数.同时转动两个转 盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区 域内的数为m,乙转盘中指针所指区域内的 数为n(若指针指在边界线上时，重转一次， 直到指针指向一个区域为止)， (1)请你用画树状图法或列表法求出|m+n> 1的概率。 (2)点(m,n)在函数y=一二图象上的概率 为 题型②概率与方程问题 2.不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球 (除颜色外其余都相同)，其中红球有2个， 蓝球有1个. (1)第一次摸出1个球（不放回），第二次再 摸1个小球.请用画树状图法或列表法求两 次摸到都是红球的概率. (2)若在口袋中再添加a个蓝球，充分摇匀， 九年级数学HK版 概率的综合应用 从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是， 则a的值为 题型③概率与函数问题 3.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有 数字1,2,3,4的小球，它们的形状、大小、质 地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一 个小球，记下数字为m,放回盒子摇匀后，再 由小华随机取出一个小球，记下数字为 (1)用列表法或画树状图法表示出(m,n)的 所有可能出现的结果。 (2)小明认为点(m,n)在一次函数y=x+2 的图象上的概率一定大于在反比例函数y= 二的图象上的概率，而小华却认为两者的樱 率相同.你赞成谁的观点？分别求出点(， )在两个函数图象上的概率，并说明谁的观 点正确. 题型④概率与几何图形问题 4.下图所示的是9×7的点阵，其水平方向和 竖直方向的相邻格点间的距离都为1个单 位长度，以这些点为顶点的三角形称为格点 三角形.解答下列问题： (1)请在下图中画出一个以AB为边且面积 为2的格点三角形. (2)任取该网格中能与点A,B构成三角形 的一点M,则△ABM的面积为2的概率为 题型⑤概率与统计问题 5.某校在新学期开学之际，组织 B 开展了消防安全知识竞赛活 25% % D 动.现从该校七、八年级中各随 20% 机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组： A.95≤x≤100，B.90≤x<95,C.85≤x< 90,D.80≤x<85(x为学生竞赛成绩，单 位：分).其中七年级10名学生的竞赛成绩 (单位：分)分别是95,84,90,85,96,91,89， 93,87,90,同时将所抽取的20名学生的成 绩进一步进行整理，绘制出如上统计图.解 答下列问题： (1)抽取的七年级10名学生竞赛成绩的平 均分是 分，众数是 分，八年级学生竞赛成绩的中位数在 组 (2)该校七、八年级共1000名学生参加了此 次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优 秀(x≥90)的学生有多少名？ (3)若从抽取的20名学生中，随机挑选出2 名成绩在A组的学生参加区级消防安全知 识竞赛，则恰好抽到2名同学是同一年级的 概率为多少？ 题型⑥概率与跨学科问题 6.跨化学学科通常情况下，酚酞遇酸性和中 性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化 学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污 染无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知四瓶 溶液分别是A.盐酸（呈酸性），B.硝酸钾溶 液（呈中性），C.氢氧化钠溶液（呈碱性）， D.氢氧化钾溶液（呈碱性）. (1)小周将酚酞溶液随机滴入一瓶溶液，结 果变红色的概率是 (2)小周同时将酚酞溶液滴入任选的两瓶溶 液进行检测，请你用列表或画树状图的方 法，求出两瓶溶液恰好都变红色的概率。 下册第26章 9△:OA=OB,∴.△AOB是等腰直角三角 形，∴OA=OB=,.圆的面积为π (厄)=2π，∴.飞镖落在阴影区域的概率 为 9.解：(1)由题意，得共有5种等可能的结果，其中踩中地 雷的结果有2种P(踩中地雷)-号 (2)从安全的角度考虑，他应该选择区域A.理由如下： 由1)可知：区镀B未踩中地雷的概率是子 :区域A内围若数字1的3个方块中埋藏着1颗地 雷，有2个方块没有地雷， :区骏A未深中地雷的概率是导号 “号<号以安全的角度考虑，他应该选择区镀A (3)① 应用技巧专题概率的综合应用 1.解：(1)根据题意列表如下： 一1 0 1 2 一1 -1,一1) (-1.0) (-1,1) (-1,2) -2 -2,-1) (-2,0) (-2,1) (-2,2) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) 由表格可知.所有等可能的结果有12种，其中|m十 >1的结果有5种， 5 m十n>1的概率= 2.解：(1)根据题意画树状图如图所示。 开始 第一次 红1 第二次。红2 红2 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中两次摸到 都是红球的结果有2种， ∴·两次摸到都是红球的概率= 21 63 2 (2)5【解折】(2)根据题意，得2++。=了解得a =5, 经检验，a=5是原分式方程的解. 故a的值是5. 3.解：(1)根据题意画树状图如图所示. 开始 共有16种等可能的结果。 (2)小华的观点正确.由(1)可知，点(，1)在一次函数 y=x+2的图象上的有(1.3)，(2,4)，在反比例函数y =兰的图象上的有(2,3.(3,2PC点(mw)在- 次函数y=x十2的图象上〕=P〔点(m,n)在反比例函 数y=的图象上)=是=名“两者的概率相同。 21 ∴小华的观点正确。 4.解：(1)如图所示，△ABC即为所求（答案不唯一）. （2是【解折12)只要点M不在直线AB上，点A B,M就可以构成三角形，这样的点M共有9X7一7 56(个)， 其中面积为2的三角形共有12个. 故P(△ABM的面积为2)品- 5.解：(1)9090B (2)1000×(25%十40%)=650（名）， .估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生有 650名. (3)A组七年级有2人，八年级有3人，设A组七年级 2人分别为A,B,八年级3人分别为C,D,E.画树状 图如图 第1名 第2名B C D E A C D E A B D E A B C E A B C D 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰好抽 到2名同学是同一年级的结果有8种， “恰好抽到2名同学是同一年级的概率为元一亏 82 【解析】(1)七年级学生竞赛成绩的平均分是(95+84+ 90+85+96+91+89+93+87+90)÷10=90(分). 众数是90分. :七，八年级A组有20×25%=5（人），其中七年级有 2人，则八年级有5一2=3（人）， 七、八年级B组有20×40%=8（人），其中七年级有4 人，则八年级有8一4=4（人）， ·八年级学生竞赛成绩的中位数在B组。 6.解：(1)2 (2)根据题意画树状图如图， 下册参考答案 33个 开始 第一 第二瓶 共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色 的结果有2种， “P(两瓶溶液恰好都变红色)=2一6 章末对点导练 1.C2.B3.C 4.C 【解析】根据题意列表如下： S s S S (S,S) (S,S) (S1,S,) (S,S) (S.S) (S,S) (S,S) (S,S)》 (S.S) (S,.S) (S.S) (S.S) 共有12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的有 (S,S),(S,S),(S,S),(S,S,),(5,S),(S,S) 共6种 故能让小灯泡发光的概率为立2 61 5.A【解析】根据题意画出树状图如图所示. 开始 父亲 共有4种等可能的情况，其中摸出的性状基因对是单 眼皮()的情况有1种，，摸出的性状基因对是单眼 皮的概率是子 6解：号 (2)根据题意画树状图如图. 开给 第一张 第二张BCD A C D 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到A 班和B班或C班和D班的结果有4种， “半决赛中A班与B班进行比赛的概率为立=3 41 7.C8.D9.B 10.D【解析】把三张卡片分别记为A,B,C,画树状图 如图. 第二次ABC AR C 134 九年级数学HK版 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相 同的结果有3种，∴两次抽取的卡片正面相同的概率 为号 12.2 【解析】根据题意，画树状图如图。 第一为 第二次 由图知，共有4种等可能的结果，其中回到格子A的 结果有2种，则日到格子A的概率为P=导-子 13.解：号 (2)依题意，画树状图如图 并始 第一小组 D 第二小组BCDEABCDEABCDEABCDEABCDE ∴.一共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究 方向不同的等可能结果有20种，∴这两个小组研究 方向不同的气率一器台 14.解：(1)200144 (2)补全条形统计图如图. 1人数 80 60A 0 O A B C D软件类到 (3)由题意，列表如下： A A B A (A,A) (AA) (A,B) A (A.A) 一 (A,A) (A,B) A (A,A) (A,A) (A,B) B (B,A) (B,A) (B,A) 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A,B两 类软件各1人的结果有6种P=音一分 61 安徽中考特色题型突破 题型1双空题 1.8(2 【解析】(1)在矩形纸片ABCD中，AD