24.1 方法技巧专题 巧用旋转进行计算与证明-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 巧用旋转进行计算与证明 题型① 利用旋转计算角度 1.如图，将△OAB绕着点O逆时针旋转至 △OA'B',使点B恰好落在线段A'B上.若 ∠AOA'=32°，则∠B'的度数为 ) A.58 B.64° C.74 D.78 题型② 利用旋转计算线段的长 4.如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=3,AC=4.将△ABC 第1题图 变式通图 绕点B逆时针旋转得到 变式题(2025淮南期末)如图，在△ABC △ABC.若点C在AB上，则 第1题图 中，∠BAC=96°，将△ABC绕点A按逆 AA'的长为 (） 时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'恰好 A.13 B.4 C.25D.5 落在BC边上，且AB=CB',则∠C'的度 5.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上 数为 一点，连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋 A.24 B.26 C.28° D.32 转60°，得到△BAE,连接ED.若BC=5, BD=4,则△ADE的周长为 2.如图，△ODC是由△OAB A.8 B.3 C.9 D.5 绕点O顺时针旋转40°后得 到的图形.若点D恰好落在 AB上，且∠AOC=105°，则 第2题国 ∠C的度数是 第5题图 第6题图 A.55° B.45 C.42 D.40 6.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线.将矩 3.(2025合肥庐江期末改编) 形ABCD绕点B顺时针旋转90°到矩形 如右图，将正方形ABCD的 GBEF,H是EG的中点.若AB=6,BC= 边CD绕点C逆时针旋转一 8,则线段CH的长为 定角度得到CE,连接AE,再 7.安徽中考特色·规律探究题如图，在 将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF,连接 △ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC FE,FB.若∠DCE=a(0°<&<90)，求 1,AC在直线L上，将△ABC绕点A按顺时 ∠ABF的度数 针方向旋转到位置①，可得到点P,此时 AP,=2:将位置①的三角形绕点P,按顺时 针方向旋转到位置②，可得到点P2,此时 AP,=2十√：将位置②的三角形绕点P按 顺时针方向旋转到位置③，可得到点P3,此 下册第24章 时AP。=3十√尽；…，按此规律继续旋转， BD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连 则AP227= 接AE,CE,则△ACE的面积为 第7题图 题型③利用旋转确定点的坐标 第11期国 第12题图 8.如图，在平面直角坐标系中，线段AB1是将 12.安辙中考特色·双空题如图，在△ABC △ABC绕着点P(3,2)逆时针旋转一定角度 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=43.以 后得到的△A,B,C1的一部分，则点C的对 斜边AB的中点D为旋转中心，把△ABC 应点C,的坐标是 按逆时针方向旋转a(0°<a<120).当点 A的对应点与点C重合时，B,C两点的对 应点分别记为点E,F,EF与AB的交点 为G. (1)a等于 012345678x (2)△DEG的面积为 第8题图 A.(-2,3) B.(-3,2) 题型⑤ 利用旋转进行证明 C.(-2.4) D.(-3,3) 13.(2025南充期末)如下图，在△ABC中， 4 ∠ACB=3∠BAC=90°，将△ABC绕点A 9.如图，直线y=一5x+4分 逆时针旋转到AB上方，使DE∥AB,连 别与x轴、y轴交于A,B两 接CE. 点.把△AOB绕点A按顺时 (1)判断△ACE的形状，并说明理由， 针方向旋转90°后得到 第9题困 (2)作BF⊥AD于点F,求证：BF=CE △AO'B',则点B的坐标是 题型④利用旋转计算面积 10.如图，Rt△ABC中 B ∠ACB=90°，∠B=30°， AC=2.将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A'B'C, 使得点A'恰好落在AB 第10题图 上，A'B与BC交于点D,则△A'CD的面 积为 11.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，点D在 AC上，AD=3,CD=2,连接BD.把线段 九年级数学HK版5.解：(1)△A,B,C,如图所示.（一4，一1） (2)△AB:C:如图所示.(4.一2) 6.C【解析】A(一3,4)，B(3,4),,AB=6.四边形 ABCD为正方形，.AD=AB=6,.D(一3,10) ,2025=4×506十1..第2025次旋转结束时，相当 于△OAB与正方形ABCD组成的图形逆时针旋转 90°，.点D的坐标为（一10，一3）. 7.(一2,0)或(2,10)【解析】平移坐标系，使点C成为新 坐标系中的原点，则在新坐标系中点D的坐标变为 (5,一2)，以点C为旋转中心.把△CDB顺时针旋转 90°后对应点D'的坐标是（一2，一5），其在原坐标系中 的坐标应为（一2,0）：逆时针旋转90°后对应点D'的坐 标是(2,5)，其在原坐标系中的坐标应为(2,10).综上 所述，点D'的坐标是（一2,0）或(2,10). 》一题多解法 :点D(5,3)在边AB上.∴.AB=BC=5,BD 5一3=2.①若把△CDB顺时针旋转90°，则点 D'在x轴上，OD'=2,∴D'(-2,0): ②若把△CDB逆时针旋转90°，则点D'到x轴 的距离为10，到y轴的距离为2，.D'(2,10).综 上所述，点D'的坐标是（一2,0）或(2,10). 变式题(1,1)或(4,4)【解析】如图所示，分两种情 形，旋转中心分别为点O,O°.由图可知，旋转中心的 坐标是(1,1)或(4,4). 8.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示 (2)如图，△A,B1C和△A:BC:即为所求 o(B) B (3)(2,-1) 9.解：(1)H (2)如图，线段BC绕原点O顺时针旋转90得到线段 B'C'. 线段AC的中点为(0,3)，线段AC‘的中点为(1,2). 当点Q'与点C‘重合时，点A关于线段BC的“旋转中 点”的横坐标m=1, 当点Q'与点B'重合时，点A关于线段BC的“旋转中 点”的横坐标m=0, ∴.点A关于线段BC的“旋转中点”的横坐标m的取 值范围为0≤m≤1. B 5-4-3-2- 方法技巧专题巧用旋转进行计算与证明 1.C 变式题C【解析】，将△ABC绕点A按逆时针方向 旋转得到△AB'C',.AB=AB',∠C=∠C,∠B ∠AB'B.:AB=CB',AB=CB',.∠C ∠CAB',∴.∠AB'B=2∠C=∠B.∠BAC=96°， .∠C+∠B=84°，∴.∠C=28°，.∠C'=28 2.B【解析】，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转 40后得到的图形，∴.∠AOD=∠BOC=40°.OA= OD,∠B=∠C,∴.∠A=70°.∠A0C=105, ∴.∠AOB=105°-40°=65°， .∠B=180°-∠A-∠A0B=180°-70°-65=45°， ∴.∠C=45 3.解：如图，连接DE. :将AE绕点A顺时针旋转90°得 到AF, .∴.AF=AE,∠FAE=90° ∠BAD,∴∠BAF=∠DAE. 又：AB=AD,∴△BAF2△DAE(SAS),∴.∠ABF =∠ADE ,边CD绕点C逆时针旋转得到CE,∴.CE=CD, ∴.∠CDE=∠CED. 又，∠DCE=a(0°<a<90). ∠CDE=2180°-∠DCE)=90- 2a, ∴∠ADE=90-∠CDE=合，∴∠ABF=2 4.C【解析】根据旋转的性质可知，∠A'CB=∠C=90°， BC'=BC=3,A'C=AC=4,∠AC'A'=90°.根据勾股 下册参考答案 3△ 定理，得AB=BC+AC=3+4=5,∴.AC'=AB 一BC‘=2.在Rt△AA'C‘中，根据勾股定理，得AA' AC+ACr=/2+④=25. 5.C【解析】，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到 △BAE,.BD=BE,AE=CD,∠DBE=GO°， △BDE是等边三角形，.DE=BD=4,△AED 的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE =5+4=9. 6.T【解析】如图，过点H作HM⊥BC于点M. ,'将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90到矩形GBEF 位置，AB=6,BC=8,∴.BE=BC=8,∠CBE=90°， BG=AB=6,.HM∥BE.H是EG的中点，∴.MH -BE-4.BM-GM-7 BG-3..CM-BC-BM =8-3=5.在Rt△CHM中，CH=HM+CMF= +5=4T. 7.2027十6765【解析】根据题意知，△ABC周长为3 +5.2027=3×675+2,.AP22=675(3+5)+ 2+5=2027+6765. 8.A【解析】如图，连接AP,AP.:线段AB1是将 △ABC绕若点P(3,2)逆时针旋转一定角度后得到的 △A,B,C的-…部分，.A的对应点为A.”∠APA =90°，∴.旋转角为90°，.点C绕点P逆时针旋转90 得到的点C的坐标为（一2,3）. -4-3-2-1012345678 9.（7,3)【解折1：对于直线y=-子十4，当x=0时。 y=4,点B坐标为(0,4)：当y=0时，x=3,.点A 坐标为(3,0)，∴.AO=AO=3,B0=B'O=4. :△AOB绕点A顺时针旋转90°后，B'O'平行于x 轴，∴点B横坐标为3十4=7，纵坐标为3，即点B的 坐标是(7,3) 10③ 【解析】由题意可得AB=2AC=4,∠A=90- ∠B=60°.由旋转可得CA=CA',∠CA'D=∠A= 60°，.△ACA'是等边三角形，∴.AA'=AC=A'C= 2,.A'C=A'B=2,.∠A'CB=∠B=30 ∴.∠CDA'=180-∠A'CD-∠CA'D=90,.△A'CD 九年级数学HK版 是直角三角形∴A'D=号AC=-1.由勾股定理得CD ="-AD-E5am×1x5 11.5【解析】过点E作EF⊥AC,交AC 的延长线于点F,如图.由旋转的性质， 得DE=BD,∠BDE=90°，.∠EDF +∠BDC=∠DBC+∠BDC=90°，A .∠EDF=∠DBC.又：∠F=∠DCB=90°， .△EDF≌△DBC(AAS)..EF=DC=2,∴SAM -2AC·EF=7×3+2)X2=5 12.(1D60°(2)3E 2 【解析】(1)：∠ACB=90°，∠B 30,∠A=60°，AC=7AB=25. :以斜边AB的中点D为旋转中心，点A的对应点 与点C重合，.DA=DC..∠A=∠ACD=60°， .∠ADC=60°，即a=60, (2)由旋转的性质可知，∠E=∠B=30°.由(1)可知， ∠A=∠ACD=60°，.△ADC是等边三角形，∴.AC =AD=CD=25,∠ADC=∠EDG=60°，∴.DE CE-CD=AB-CD=43-23=2,DGE= 180-60-30°=90.∠E=30∴DG=2DE=E. 在R△DGE中，由勾股定理，得GE=√DE一DG 3.Sam20GGE-7×万x3-3 2 13.解：(1)△ACE是等边三角形.理由如下： ∠ACB=3∠BAC=90°，.∠BAC=30 :将△ABC绕点A逆时针旋转，.AE=AC, ∠AED=90°. ,DE∥AB,.∠AED+∠BAE=180°，∴.∠BAE =90°， .∠EAC=60°，∴.△EAC是等边三角形. (2)证明：由(1)得∠EAC=60°=∠DAB, ∴.∠DAB=∠ABC. 又∠AFB=∠ACB=90,AB=AB, ·△ABC≌△BAF(AAS),∴.BF=AC :△EAC是等边三角形，AC=EC,∴.BF=EC 24.2圆的基本性质 第1课时圆的有关概念及点和圆的位置关系 1.C2.D 3.ABAB CD EF EC.EB.EA.ED.EF ABC. ABE.ABD.ABF 4.76°【解析】：OM=ON,∴∠M=∠N,∴.∠0=180 -2∠V=76°.