24.7 方法技巧专题 巧求不规则图形的面积-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 巧 题型① 利用“作差法”求面积 1.如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备 在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影 部分)种草，测得∠AOB=120°，OA=15m, OC=10m,则种草区域的面积为 ( 要m B.125xm 3 C.250m2 D.125m 3 3 第1题图 第2题图 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=2√2，以点A为圆心，AC长 为半径画弧，交AB于点E,以点B为圆心， BC长为半径画弧，交AB于点F,则图中阴 影部分的面积是 A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4 3.如图，在扇形OAB中，∠AOB= 90°，半径OB=2,∠BOC=60°.连 D/ 接AB,交OC于点D,则阴影部分 的面积为 第3题图 4.(教材第56页题3变式)如下图所示的是排水 管道的横截面.若此管道的半径为54cm,水面 以上部分的弧长为27πcm,求横截面中有水部 分的面积. 44 九年级数学HK版 求不规则图形的面积 5.如右图，在△ABC中，AB= D AC,∠B=30°，O为BC上一 点，以点O为圆心，OB的长 为半径作圆，恰好经过点A,并与BC交于 点D. (1)判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明 理由； (2)若AB=2√3，求图中阴影部分的面积（结 果保留π. 题型②利用“等积变形（割补）法”求面积 6.如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三 个等圆构成，且三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分 的面积之和为 A.年cm2B.5cm2C.受cm2D.xcm 0为 03 第6题图 第7题图 7.如图，AB为半圆O的直径，半径OC⊥AB 于点O,连接AC,BC.以OC长为直径的⊙D 交AC于点E,交BC于点F.若AB=4,则 图中阴影部分的面积为 () A.2π-2B.4π-2C.4π-4D.π-2 8.如图，在半径为2cm的 ⊙O中，C,D是AB的三 人 等分点，E是直径AB的 延长线上一点，连接CE, 第8题图 DE,则图中阴影部分的面积为 A.√3cm B号元em C.(号x-B)cm D.(号x+)em 9.古代数学文化文艺复兴时期，意大利艺术 大师达·芬奇研究过用圆弧围成的部分图 形的面积问题.已知正方形的边长是2，就能 求出如图所示的阴影部分的面积， 图① 图② 图③ 第9题图 填空：S矩形ABCD=S,十S2十S=2,S= ,S6= ,S阴影 =S+S=S1+S2+S3= 10.如下图，AB是⊙O的直径，CD,EF是⊙O 的弦，且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6, EF=8.求图中阴影部分的面积. 11.如下图，AB,CD是两条互相垂直的直径， O1,O2,O3,O分别是OA,OD,OB,OC的中 点，分别以0,0,0,0为圆心，20A长为 半径作圆.若⊙O的半径是2，求阴影部分的 面积. 题型③利用“旋转法”求面积 12.如图所示，正方形ABCD的 对角线AC所在直线上有一 点O.若OA=AC=3,将正方 形ABCD绕点O顺时针旋 转60得到正方形A'BCD'. 第12题图 在旋转过程中，正方形扫过的面积是 (结果保留π). 13.如下图，P是正方形ABCD内一点，连接 PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转 90°到△P'CB的位置. (1)设AB=,PB=n(m>n),求△PAB 旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区 域（图中阴影部分）的面积； (2)若PA=2,PB=4, ∠BPA=135°，求PC的长. 下册第24章 45△∴.OC=√JAC-OAF=√32-1平=2√2， 故此圆锥高OC的长度为2√2. 5.C6.D7.D8.3:2 9.解：(1)制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是 7×20×2x×15=300m(cm2). (2)制作50个这样的烟囱帽需要铁皮50×300π 15000π(cm2). ,每平方厘米铁皮的价格是0.02元 ∴.制作50个这样的烟囱帽需要0.02×15000π=300π ≈942（元）. 1021611.号 12.80√2 13.解：如图，由题意，得BC⊥ AD,BC=3 m. 3 m 底面圆的周长约为 D 25.12m, .AC·2π=25.12，∴.AC=4m, ∴.AB=√AC+BC=5m, ·圆锥的侧面积=2×25.12·AB=号×25.12X5 =62.8(m2). 故至少需要62.8m的塑料薄膜才能将其盖住 14.解：(1)理由：连接AC,E是圆与扇形的 B 弧的切点，过点O,作OF⊥CD于点F, 如图 ”扇形的孤长=子×16xX2=8x,圆锥8 底面圆的周长=2π·OE,∴.⊙O的半径OE= 4 cm. :△COF是等腰直角三角形， ∴.O,C=√2OF=√2OE=4√2cm. 又，AE=AB=16cm,∴.制作这样的圆锥实际需要 的正方形纸片的对角线长为AE+O,E+OC=16+4 +4√/2=(20+4√2)cm. ,边长为16cm的正方形纸片的对角线长为 √/16+16=16√/2(cm),而20+4√2>16√2， 方案一不可行 (2)方案二可行， 设圆锥底面圆的半径为rcm,圆锥的母线长为Rcm. 由(1)可知，这张正方形纸片的对角线长为16√2cm, (1+2)r+R=162,2xr=2mR 4 解得R=3205128,=805-32 23 23 150 九年级数学HK版 故圆锥的母线长为3202-128 23 cm,其底面圆的半径 为802-32 23 m 方法技巧专题巧求不规则图形的面积 1.B2.C3.+25-4 4.解：设∠AOB=n°. ,此管道的半径为54cm,水面以上部分的弧长为 27πcm, nπX54 180 =27π，解得n=90,.∠AOB=90°. ,OA=OB,∴.△AOB是等腰直角三角形， ·.S有水蒂分=So0一S写形AB=S00一S扇形OAB十S△0B =π×542 900+号×54×56 360 =2916π-729π+1458 =(2187π+1458)cm2. 5.解：(1)直线CA与⊙O相切， 理由：如图，连接OA. AB=AC,∠B=30°， .∠C=∠B=30°，∠AOD=2∠B=60°，.∠CAO= 90°，即OA⊥CA. 又OA为⊙O的半径，∴.直线CA与⊙O相切. (2)在Rt△AOC中，AC=AB=2√5，∠C=30°， :OA=3AC=2,Sm形=S△0c一S喻形0D=2X2X 万-02-2F-号 360 6.C7.A8.B9.S2SS4S2 10.解：如图，作直径CG,连接OD,OE, OF,DG :AB,CG是⊙O的直径，AB=10,CD =6,EF=8, ∴.CG=10,∠CDG=90°，则DG=√CG-CD= √102-62=8，.DG=EF, ,DG=EF,∴.Sm形x=Sm彩BmF: AB∥CD∥EF,∴.SAcD=SAD,S△Er=S△EF, ,S例影=S原形aoD十S原形mF=S扇形mD十S形mG=S半图 合xx-罗 2元. 11.解：如图，顺次连接A,C,B,D,易知四 边形ACBD是正方形 将阴影弓形平移到中间空白处，阴影部 分的面积恰好是正方形ACBD的 面积. 又⊙O的半径是2，AB=CD=4, ∴S6-AB,CD= -号×4X4=8. 99 12.2元+2 13.解：(1)由旋转的性质可知，△PAB≌△P'CB, .SAAB=S△rCB, Se=Sase一S影m=子（㎡一分）。 (2)如图，连接PP'.根据旋转的性质可 知，PB=PB=4,PC=PA=2,∠PBP =90°，∠BP'C=∠BPA=135°， △PBP是等腰直角三角形，∠BPP =45°，∴PP=2BP=42, ∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°， .△PPC是直角三角形， .PC=√PP+PC=6. 24.8综合与实践进球线路与最佳射门角 1.B2.(1)D和E(2)(4,3) 3.解：甲、乙两个人所在的位置对球门AB的张角一样大. 理由：根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADB =∠ACB. 4.解：(1)射门角∠ACB逐渐变大。 (2)如图，在直线1上任取一点M,连接 AM,BM,作△ABM的外接圆与直线l 相交于另一点N.由同弧所对的圆内角 大于圆周角可知，当C位于MN的中 点时，射门角最大 5.二 6.解：(1)<< (2)∠APB>∠AQB.理由如下： 0 如图所示，设AQ与⊙O交于点G,连 接BG. 0 AB=AB,.∠APB=∠AGB. ∠AGB是△BGQ的外角，∴∠AGB>∠AQB, .∴.∠APB∠AQB. 7.解：(1)456 (2)不对.理由如下： OP=2,PQ=3,0Q=OH=4,而4≠3+22， 即OQ≠PQ+OP, ∴.OP与PQ不垂直，.PQ与⊙O不相切 方法技巧专题圆中常见的作辅助线的方法 1.B 2.解：如图，连接OA. OC为⊙O的半径，AB垂直平分半径OC,AB=6, OE-OC.AE-BE-TAB-3 设⊙0的半径为r,则0E=号 在Rt△OAE中，由勾股定理，得AE= OA-OE, 即3=-（分）°，解得=25（负值已含去）， .⊙0的半径为23 3.解：(1)证明：如图，连接OC,OD. :OA=OD,∠BAD=∠BFD=60°， ∴.△AOD是等边三角形. ,OC=OD,OA⊥CD,∴.∠AOC ∠AOD=60°， ∴.∠COD=120°，∠CFD= ∠c0D-60, ∠BFD=∠CFD,∴.FD平分∠BFC (2)延长CO交⊙O于点H,连接FH,如图. AB⊥CD,.∠DEG=90°. :DE=EG,.∠EDG=∠EGD=45°， .∠CHF=∠EDG=45. ,CH是直径，∴.∠CFH=90° 在Rt△CFH中，∠CHF=45°， :.CF=CH·sin∠CHF=2xg-E. 2 4.解：(1)如图①，连接OC :AB为⊙O的直径，CD⊥AB, .CE-DE-CD. AE=2,OE=3, 图① ..OC=OA=AE+OE=5, .CE=√OC-OE=4,∴.CD=8. (2)证明：如图②，连接AP. AB为⊙O的直径， .∠APB=90°，.BP⊥AP :OC∥PB,.OCLAP,∠B=∠AOC, 图② ∴.AC=PC,.∠AOC=2∠D=∠B. ,CD⊥AB,AB为⊙O的直径， AB垂直平分CD,CF=DF, ∠D=∠DCF, ∠CFP=∠D+∠DCF=2∠D, .∠CFP=∠B. 5.解：(1)证明：过点O作OE⊥BC于点E,如图. AB是⊙O的切线，∴.OA⊥AB. :∠OBC=∠OBA,∴.OA=OE, BC是⊙O的切线. (2)由(1)可知，OA=OE. 下册参考答案 151