专题04 椭圆（期中复习讲义，13大核心题型）高二数学上学期人教A版

专题04 椭圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义 理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 椭圆及其标准方程 掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键 椭圆的简单几何性质 1、掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系,培养数学抽象的核心素养. 2、尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现在小题，特别是离心率的求法是高频考点 直线与椭圆的位置关系 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题 椭圆的弦长公式、中点弦问题 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 图1 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得，整理得 再平方并整理得，两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 【常用结论】 ①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； ②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点03 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 知识点04 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 2、两个性质 知识点05 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点06 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点07 中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 ． 题型一 椭圆的定义及其辨析 解｜题｜技｜巧 （1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. （2）椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 3．（25-26高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 4．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 题型二 判断方程是否表示椭圆 解｜题｜技｜巧 1、根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. 2、由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). （1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程+=1,当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆. 1．（23-24高二上·云南昆明·月考）方程表示椭圆的充要条件是（   ）. A． B．或 C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·河南漯河·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型三 点与椭圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆[以+=1(a>b>0)为例]的位置关系有两种方法 （1）直接利用下面的结论: ①点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1; ②点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1; ③点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. （2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论: ①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 4．（24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 5．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 题型四 椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 椭圆标准方程的求解 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 1．（23-24高二上·河南开封·期中）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西·月考）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东江门·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．，或 C． D．，或 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型五 椭圆中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 焦点三角形的求解思路 1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； 2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 2．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．1 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高二上·甘肃·期末）设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 题型六 椭圆的轨迹方程求法 解｜题｜技｜巧 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 （1）设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 1．（24-25高二上·重庆·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 5．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二·全国·专题练习）已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 题型七 椭圆中的距离最值问题 解｜题｜技｜巧 解决椭圆最值问题的最常见思路 1、与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； 2、与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 3．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 4．（23-24高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为 . 题型八 椭圆的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 （1）由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: ①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上; ②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质. （2）椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置; ②椭圆的范围决定椭圆的大小; ③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点. 1．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 4．（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 6．（24-25高二上·湖南·月考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 8．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 题型九 椭圆的离心率问题 解｜题｜技｜巧 1、求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下: （1）若已知a,c,可直接代入e=求得. （2）若已知a,b,则使用e=求解. （3）若已知b,c,则求a,再利用（1）或（2）求解. （4）若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围). 2、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 1．（24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 2．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·重庆渝中·月考）椭圆的左右焦点分别是，，过的直线交椭圆于A，B两点，且，．则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型十 直线与椭圆的位置关系（含弦长和相切） 解｜题｜技｜巧 1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2、求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 . 4．已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为 ． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 7．已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，弦AB的长为，求直线AB的方程． 题型十一 椭圆中的面积问题 解｜题｜技｜巧 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 3、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 2．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 5．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4. (1)求的方程； (2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积. 6．（24-25高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 题型十二 椭圆中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为a(x,y),则另一个交点为b(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 1．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北·月考）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期中）已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于、两点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十三 椭圆中的定值、定点问题 解｜题｜技｜巧 解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 2．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 4．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知椭圆：（）的长轴长为4，焦距为. (1)求的方程. (2)若，分别为的左、右顶点，过点的直线与交于与，不重合的，两点. ①求四边形面积的最大值. ②设直线，，的斜率分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 5．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 6．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 7．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 6．（24-25高二上·四川眉山·月考）若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·重庆秀山·月考）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·云南保山·月考）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 13．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 17．（24-25高二上·山东烟台·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选题）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 22．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有4个公共点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 23．（24-25高二上·浙江·期中）（多选题）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·上海·期末）椭圆的短轴的长是 . 25．（25-26高二上·全国·课后作业）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹方程为 ． 26．已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率 ． 28．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 29．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 30．（24-25高二上·山西太原·月考）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值. 31．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 32．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 33．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 34．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．求四边形的面积的最大值； 35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点． 36．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 37．（24-25高二上·江西九江·期末）如图，已知，，，，是椭圆的左右顶点，是椭圆上位于轴上方的两点，．当时的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 38．（24-25高二上·福建福州·期末）如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. (1)求的方程； (2)求的最大值； (3)证明：为定值. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 2．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（    ） A． B． C．8 D．64 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点，直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过定点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 7．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 8．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 椭圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义 理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 椭圆及其标准方程 掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键 椭圆的简单几何性质 1、掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系,培养数学抽象的核心素养. 2、尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现在小题，特别是离心率的求法是高频考点 直线与椭圆的位置关系 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题 椭圆的弦长公式、中点弦问题 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 图1 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得，整理得 再平方并整理得，两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 【常用结论】 ①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； ②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 知识点03 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 知识点04 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 2、两个性质 知识点05 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点06 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点07 中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 ． 题型一 椭圆的定义及其辨析 解｜题｜技｜巧 （1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. （2）椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 2．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 3．（25-26高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 4．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径. 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 题型二 判断方程是否表示椭圆 解｜题｜技｜巧 1、根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. 2、由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). （1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程+=1,当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆. 1．（23-24高二上·云南昆明·月考）方程表示椭圆的充要条件是（   ）. A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 2．（25-26高二上·江苏南通·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解. 【详解】椭圆方程， 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：D. 3．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 4．（24-25高二上·河南漯河·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用椭圆方程的标准形式，即可求解. 【详解】由，即， 由题有，所以， 故选：A. 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程类型列不等式求解的关系即可得结论. 【详解】方程转化为， 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以， 则，的一组可能取值是，. 故选：B. 题型三 点与椭圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆[以+=1(a>b>0)为例]的位置关系有两种方法 （1）直接利用下面的结论: ①点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1; ②点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1; ③点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. （2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论: ①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. 1．（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 5．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四 椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 椭圆标准方程的求解 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 1．（23-24高二上·河南开封·期中）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程. 【详解】由题可知，所以， 且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为. 故选：A. 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 3．（24-25高二上·江西·月考）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可. 【详解】设焦点在轴上的椭圆：， 由已知得，即①， 又椭圆：的离心率为，所以②， ①②联立解得，， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东江门·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】B 【分析】由题意，焦点的位置进行分类讨论设出椭圆的方程，由题意列出方程求出，然后得到椭圆的方程即可. 【详解】由题意，当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的方程为， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，所以. 又，所以①. 由椭圆的面积为，可得，即②， 联立①②，解得所以椭圆的标准方程为， 当椭圆的焦点在轴上时，同理，可得椭圆的标准方程， 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 6．已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解. 【详解】设点、，则的中点为， 则，可得. 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意； 故直线的斜率存在，且， 由于A、两点都在椭圆上，则， 两式相减得，即， 因为在直线AB上，故，故，即， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 题型五 椭圆中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 焦点三角形的求解思路 1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； 2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 2．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 3．（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解. 【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 5．若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以， 又因为，即， 因为， 在，根据余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以， 故选：A 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 7．（24-25高二上·甘肃·期末）设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质得到，结合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面积. 【详解】由椭圆的性质可得， 又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即， ∴，C选项正确； 故选：C 题型六 椭圆的轨迹方程求法 解｜题｜技｜巧 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 （1）设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 1．（24-25高二上·重庆·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程. 【详解】由两点间距离公式知： 的几何意义是点到与的距离之和为， ， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，， 点轨迹方程为：. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用动点转移可求的轨迹方程. 【详解】设，则，因在曲线上， 故即， 故选：A. 3．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解. 【详解】设， 因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为， 所以，即， 整理得， 故选:C. 4．（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 【答案】A 【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程. 【详解】    如图，设点，，则， 因点在圆上 ，则 （*）， 又因轴，且M是线段上的点，，则， 则得，即， 将其代入（*），即得是点M的轨迹方程. 故选：A. 5．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 6．（2025高二·全国·专题练习）已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】本题根据中垂线的性质可得点的轨迹是椭圆 【详解】连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则， 而， 故点的轨迹是焦点为，的椭圆， 且，即，则， 因此，点的轨迹方程为． 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 题型七 椭圆中的距离最值问题 解｜题｜技｜巧 解决椭圆最值问题的最常见思路 1、与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； 2、与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C 3．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式求解最大值. 【详解】依题意，，，则，，设， 所以：，又因为：， 所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确. 故选：C． 4．（23-24高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出椭圆左焦点的坐标，结合椭圆的定义转化为求的最小值，再求出点到直线的距离得解. 【详解】椭圆C的左焦点为，则，于是， 当且仅当Q，P，三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 最小值为点到直线的距离，所以的最小值为1. 故选：A 5．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为 . 【答案】11 【分析】通过解析式求出椭圆的的值，做出图像后知道圆与椭圆的位置关系，由椭圆的定义可知为定值，所以当三点共线时最大，求出最大值. 【详解】如图：    由椭圆可知，， 在椭圆中， 又因为圆心为，所以当三点共线时（如图），最大， 此时， 故答案为：11. 题型八 椭圆的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 （1）由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: ①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上; ②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质. （2）椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置; ②椭圆的范围决定椭圆的大小; ③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点. 1．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求得椭圆的焦点在轴上，且，即可求得焦点坐标. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且，， 则，故椭圆焦点的坐标为，． 故选：D 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 【答案】B 【分析】根据题意，分焦点在轴与轴两种情况进行求解. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则． 若，则，显然矛盾； 若，则． 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 4．（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 5．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】解法1：设，利用椭圆的定义得，结合轴，利用勾股定理求解即得；解法2：利用椭圆的通径公式和椭圆的定义即可求得. 【详解】解法1：由题意知，设，则由可得， 在中，，即，解得． 解法2：由题意知椭圆的长轴长，短轴长是椭圆通径长的一半，所以， 则． 故选：C. 6．（24-25高二上·湖南·月考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据离心率求出，进而可求，当点A在椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大. 【详解】由题可知椭圆的焦点在轴上，， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 如图所示，当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大， 此时的最大面积为， 故选：B. 7．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 8．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【答案】C 【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【详解】若是左焦点，连接，又关于原点对称，    所以为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则 ，开口向上且对称轴为，又， 所以. 故选：C 题型九 椭圆的离心率问题 解｜题｜技｜巧 1、求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下: （1）若已知a,c,可直接代入e=求得. （2）若已知a,b,则使用e=求解. （3）若已知b,c,则求a,再利用（1）或（2）求解. （4）若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围). 2、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 1．（24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆离心率的公式计算. 【详解】椭圆满足， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 2．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 3．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合得到，结合，求出离心率即可. 【详解】由题意得，故， 又， 则E的离心率为. 故选：B 4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案. 【详解】将 代入椭圆方程得， 整理得， 由 ，得 ，代入上式， ， 因此，点 和 的坐标分别为 和 ， 弦长 为， 由已知 ，有， ， 离心率 ，其中 ，代入 ， 因此：. 故选：B    5．（23-24高二上·天津·期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与椭圆有交点得，即，可得，即可求解. 【详解】由题意知，以为直径的圆的方程为， 要使得圆与椭圆有交点，需， 即，得，即， 由，解得， 所以椭圆的离心率的最小值为. 故选：C 6．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 7．（24-25高二下·重庆渝中·月考）椭圆的左右焦点分别是，，过的直线交椭圆于A，B两点，且，．则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，得到，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得，且，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，不妨设，则， 因为，所以是直角三角形， 可得，解得，则， 所以，解得， 可得，即椭圆的离心率为. 故选：B. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 题型十 直线与椭圆的位置关系（含弦长和相切） 解｜题｜技｜巧 1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2、求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 【详解】直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故选：A 2．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 【详解】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故． 故答案为：. 4．已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标． 【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0， 设切线的方程为：，，由于过点可得：，① 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， 则，可得②， 由①②可得：，， 所以切线方程为：； 可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得， 即切点， 所以直线的方程为：，切点的坐标． 故答案为： 5．（23-24高二上·全国·课后作业）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 【答案】答案见解析 【分析】联立直线与椭圆方程，消元，求出，再分、、三种情况讨论，即可得解. 【详解】由，消去并整理得③， 此方程的实数解的个数由它的判别式决定，， 当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点，即它们相交. 当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点，它们在这一点相切. 当或时，，方程③没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点，即它们相离. 综上，可得： 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆有一个公共点； 当或时，直线与椭圆没有公共点. 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由短轴长和离心率列式求出即可得解. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式即可计算求解. 【详解】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为. （2）联立， 故， 设，则， 所以. 所以弦的长度为. 7．已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点． (1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； (2)求证：直线与椭圆C相切； 【答案】(1)，左焦点 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得的值，进而求得离心率和椭圆的左焦点； （2）由椭圆的方程，得到，结合直线与椭圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】（1）由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，左焦点为. （2）由椭圆，可得，即 当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切； 当时，联立方程组，可得， 即， 则， 所以直线与椭圆相切， 综上可得，直线与椭圆相切. 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，弦AB的长为，求直线AB的方程． 【答案】 【分析】分别讨论直线斜率不存在于存在两种情况，当存在时设出点斜式，再与椭圆方程联立，根据弦长公式求斜率. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，显然被椭圆截得的弦长为，不是，不合题意． 当直线的斜率存在时，设直线方程为． 设，则A，B的坐标为方程组的解， 消去y得， ， 所以， 代入弦长公式得 ，解得， 所以直线AB的方程为． 题型十一 椭圆中的面积问题 解｜题｜技｜巧 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 3、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 2．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【详解】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率； （2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程. 【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； （2）    如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案. 【详解】（1）由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． （2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 5．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4. (1)求的方程； (2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距得的值，根据椭圆的几何性质知当轴时，的值最小，从而解得的值，进而得椭圆的标准方程； （2）设，与椭圆方程联立，可得，再由得，从而解得的值，进而根据几何性质求面积即可. 【详解】（1）设半焦距为，由，得， 当轴时，的值最小，将代入， 得，所以，解得，， 故的方程为：. （2）由题意得，直线的斜率存在且不为0，且不与椭圆上下顶点重合， 设，联立， 整理得. 易知，设，，则， 由得， 代入（*），得，，解得. 由对称性可知，四边形为等腰梯形，其面积为： ， 所以四边形的面积为. 6．（24-25高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和椭圆过点解得的值，写出椭圆方程； （2）写出直线方程，联立方程组消元得到二次方程，用韦达定理表示出线段的长，再求出点到直线的距离，由三角形面积公式求得四边形面积代数式，然后求最大值. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 题型十二 椭圆中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为a(x,y),则另一个交点为b(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 1．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点, 设，线段中点为, ∴， ∵两点在椭圆上， ∴且， 两式相减得， 即， ∴， ∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 3．（23-24高二上·湖北·月考）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 4．已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】代入点差法公式，求直线的斜率，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设，， 则，两式相减得， 由条件可知，，， 即， 并且由对称性可知，，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离. 故选：B 5．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期中）已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于、两点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知点为的中点，利用点差法可得出直线的斜率，进而可求得该直线的方程. 【详解】由题意可得，解得，所以，椭圆方程为， 因为，则点在椭圆内，设点、， 因为直线过点且与椭圆交于、两点，若，则为的中点， 所以，，， 若直线轴时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 因为，这两个等式作差可得， 即，可得， 因此，直线的方程为，即. 故选：B. 6．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 题型十三 椭圆中的定值、定点问题 解｜题｜技｜巧 解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论. 【详解】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示：    联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 2．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程， （2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点坐标,求出弦长结合三角形面积公式求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为，然后证明即可. 【详解】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）设出，根据题意列出等量关系，化简后得到轨迹方程； （2）先假设存在这样的定点，设直线方程，和曲线方程联立，利用韦达定理化简，对表达式是否可以为定值进行分析即可判断. 【详解】（1）设点，故，而点到直线的距离为， 由已知得，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． （2） 若存在定点满足题意， 当直线斜率存在时，设过点的直线方程为， 联立方程，消去化简得， 则，则， 又，所以， 将代入化简得： ，若为定值，不妨设为， 则，即， 亦即有，， 解得，所以存在定点，使得． 当过的直线垂直轴时，此时，则，满足条件． 所以在轴上存在定点，使得为定值． 4．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知椭圆：（）的长轴长为4，焦距为. (1)求的方程. (2)若，分别为的左、右顶点，过点的直线与交于与，不重合的，两点. ①求四边形面积的最大值. ②设直线，，的斜率分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是， 【分析】（1）根据长轴长及焦距求出即可得解； （2）①由题意设：，联立椭圆方程，消元后的一元二次方程，可得根与系数的关系，利用分割法求出面积，化简后由均值不等式求最值；②由斜率公式写出直线的斜率，计算，转化为关于的式子后，化简得解. 【详解】（1）由题意得得则， 所以的方程为. （2）由（1）可知，， 易得直线的斜率不为零，设：，，.    由得，得 ①四边形的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故四边形面积的最大值为. ②是定值，该定值为. ，，. ， ， 所以. 5．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】(1) (2)直线恒过轴上的一个定点 【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程； （2）设直线方程为.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标. 【详解】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以，直线恒过轴上的定点. 6．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据短轴长求出，再结合的最值关系求出和，从而得到椭圆方程； （2）设出直线方程和交点坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理和斜率公式求出直线所过定点. 【详解】（1）已知短轴长为，根据椭圆的性质，. 设椭圆的半焦距为，已知的最大值是最小值的倍，即. 展开可得，即. 又因为，把代入可得. 即，解得，那么. 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，,. 因为，在椭圆上，代入可得，. 已知，则，，. 把代入得，其值不为， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，，. 联立直线与椭圆方程，得. 展开可得， 整理得. 根据韦达定理，，. 因为，所以，，. 即，. 展开得. 将，代入上式并化简可得. 即，解得或. 当时，直线的方程为， 经过原点. 当时，直线的方程为，所以直线恒过定点，不合题意. 综上所得，直线恒过定点原点. 7．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)；证明见解析． 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： （2）（i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，又是椭圆上的一点， 所以. 故选：A 2．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程中表示椭圆的特征列式求解. 【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B 4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意求得，然后由公式可得. 【详解】由题意得，，所以，． 故选：D． 5．（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】由基本不等式可得，再由椭圆的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 6．（24-25高二上·四川眉山·月考）若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置有，即可求参数范围. 【详解】由题设，可得. 故选：A 7．（24-25高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概念得到，即可得到结果. 【详解】由题意易得，则， 因为椭圆的离心率为，所以， 则， 故的标准方程为， 故选：A． 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 9．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设点的坐标，再应用面积公式计算参数即可. 【详解】设，由题知，，所以， 又，所以，将其代入1，解得， 所以， 故选:B. 11．（24-25高二上·重庆秀山·月考）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 12．（23-24高二下·云南保山·月考）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】设，利用向量数量积的坐标表示与椭圆方程联立求出点坐标，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】设，则满足，取， 因为，所以，即， 联立，解得， 则的面积， 故选：C 13．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解． 【详解】由椭圆的对称性可得， 因为为直角三角形 则， 则不妨设， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率． 故选：B. 14．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 15．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 16．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆的图象，由椭圆的定义可得的周长为 【详解】由题可知：，所以. 如图：. 所以的周长为. 故选：B. 17．（24-25高二上·山东烟台·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】因为是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为，所以周长是， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 18．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，则，在中，是直角，可得，再根据离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得， 因为是直角，所以在中，由勾股定理，得， 即，所以椭圆的离心率. 故选：B 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得. 故选：B． 20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用勾股定理求出，求出，然后在中应用余弦定理可求出该椭圆离心率的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，设，则， 因为，由勾股定理可得， 即，解得，故， 所以， 由余弦定理可得， 即，因为，故， 故选：A. 21．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选题）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】由点与椭圆的位置关系得出的值. 【详解】由题意知，解得． 故选：BC 22．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有4个公共点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【分析】化为标准方程，求出焦点，离心率，公共点依次分析选项即可 【详解】设椭圆，则； 设椭圆，则． 对于A，椭圆的焦点分别在x，y轴上．故A不正确； 对于B，的离心率的离心率．故B正确； 对于C，联立，解得，所以与有2个公共点．故C不正确； 对于D，两椭圆都关于x，y轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心，故D正确. 故选：BD 23．（24-25高二上·浙江·期中）（多选题）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 故选：ACD 24．（24-25高二下·上海·期末）椭圆的短轴的长是 . 【答案】6 【分析】方程化为椭圆的标准方程，即可得出，求解即可. 【详解】由可得， 所以，即，， 所以椭圆的短轴的长为， 故答案为：6 25．（25-26高二上·全国·课后作业）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹方程为 ． 【答案】（其中）（答也对） 【分析】设点的坐标为，直接利用条件建立关系式，进而求解即可. 【详解】设动点，由题意得，即， 整理得， 由，可令，所以点的轨迹方程为（其中）． 故答案为：（其中）. 26．已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，利用两点间的距离公式求解. 【详解】解：设， ， ， ， 当时，取得最大值， 故答案为： 27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率 ． 【答案】/ 【分析】根据点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】设, 则，相减可得， 故答案为： 28．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 7 13 【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，， 设两圆半径分别为，，则，. ∴，|， ，|， 故的最小值为； 的最大值为.    故答案为：7；13 29．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由椭圆短轴长、离心率、可得答案； （2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理判断可得答案. 【详解】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 30．（24-25高二上·山西太原·月考）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为：． （2）联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 则，，， 所以. 31．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设出椭圆的标准方程，再由给定条件列出方程求解，进而求出离心率. （2）求出直线的方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：， 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：，离心率. （2）依题意，直线的方程为，设， 由消去得，，， 所以的面积. 32．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为8，面积为 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ， ， 椭圆 （2）根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 33．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是1 【分析】（1）设出交点坐标，联立方程，求得交点坐标，根据三角形面积公式，可得答案； （2）联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式与弦长公式，化简方程，可得答案； （3）由（2）可知弦长表达式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】（1）设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此． （2）由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是． （3）． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1． 34．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．求四边形的面积的最大值； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率计算公式求出，即可求椭圆方程； （2）求出，联立直线与椭圆方程，再结合韦达定理表示出四边形的面积，进而求出面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为，由椭圆过点，得， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，，则， 设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，，， 四边形的面积， 当且仅当时取等号，所以四边形的面积的最大值为. 35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义计算即可； （2）设方程及坐标，联立椭圆方程，利用韦达定理及两点斜率公式化简计算即可. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为4， 由题得， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为， 其中， 所以的方程为． （2）易知直线的斜率不为0， 设的方程为，， 联立，得， 则， 又可知点，所以， 由得， 又，所以， 即， 又， 代入得， 整理可得， 因为两点不在轴上，所以， 所以，化简得， 所以，直线的方程为， 故直线恒过定点． 36．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程； （2）设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点. 【详解】（1）由已知得，解得， 椭圆的标准方程， （2） 设，则， 可设的直线方程为， 联立方程，整理得， ， ， ， 整理得，， ，解得， 的直线方程为：， 直线恒过定点. 37．（24-25高二上·江西九江·期末）如图，已知，，，，是椭圆的左右顶点，是椭圆上位于轴上方的两点，．当时的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意知，再由三角形面积得出，得出在椭圆上，代入即可求得结果. （2）根据题意延长交椭圆于点，连接，根据图形的对称性可知，则，求为定值，即证为定值，再设直线利用韦达定理即可求得结果. 【详解】（1）依题可知 当时，由，得 即点在椭圆上，代入得，解得 故椭圆的方程为 （2）延长交椭圆于点，连接． 由图形的对称性可知，则 设直线方程：，，， 联立消去，整理得 ， 要证为定值，即证为定值，即证为定值 为定值，即为定值 38．（24-25高二上·福建福州·期末）如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. (1)求的方程； (2)求的最大值； (3)证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列方程计算求解得出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆得出韦达定理，应用弦长公式计算求解； （3）根据韦达定理计算数量积可得定值即可证明. 【详解】（1）根据题意得，，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，，， 由，整理得， 所以，，，解得， 设的中点，则，， 所以的中垂线方程为：，即直线的方程为， 由，整理得，所以，， 所以 ， 又因为，所以当时，； （3）由（2）可知，，，， 所以 . 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为． 故选：C. 2．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得. 【详解】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：B 3．已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（    ） A． B． C．8 D．64 【答案】A 【分析】椭圆上任意一点坐标为，以及椭圆的对称性可得. 【详解】如图，    左右顶点的坐标分别为，设椭圆上任意一点坐标为， 且P不与A、B重合， 则， 又在椭圆上，故，所以， 则， 所以 同理可得 ∴直线这6条直线的斜率乘积 故选：A. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据勾股定理探索的关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 5．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】由、及椭圆定义，可得，，，，再由余弦定理可得，又三角形的面积为，可求得，进而求出椭圆方程. 【详解】设，则， 所以，又， 所以， 又，所以， 所以，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，又三角形的面积为， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． 故答案为：．        6．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点，直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过定点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干条件列出等式，结合，即得解； （2）联立直线与椭圆方程，根据得出，即直线过定点，进而表示，代入韦达定理，换元法求解最值即可. 【详解】（1）由题意，设椭圆方程为 由于椭圆离心率为，且过点， 则，解得， 故椭圆的标准方程为：； （2）联立，可得， 设，则当时有， 若以为直径的圆经过定点，所以， 由，得， 将代入可得， 代入韦达定理可得： 化简可得，因，得， 则直线，故直线过定点， 则 ， 令，则， 当时，取得最大值. 7．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【详解】（1）设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且， 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点． 8．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由离心率和短轴长可求出，得到椭圆方程； （2）设直线方程，联立-消元-韦达定理，用表示，化简可求值. 【详解】（1）由题意可得解得 故椭圆的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 由消去后整理得， 直线与椭圆交于两点， . 设点，的坐标分别为，， 则，， ，， 整理得， ，又， ， 点，都在第一象限， ，即， 故直线的斜率为定值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $