精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期10月联合考试数学试题

辽宁省名校联盟2025年高三10月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 黑龙江省大庆第一中学 巩玲 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】全集，， 所以. 故选：B 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的模的公式即可. 【详解】 故选：B 3. 函数图象的一条对称轴可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把看作一个整体，令，即可得到函数图象的对称轴. 【详解】令，则. 所以函数图象的对称轴为. 选项A：当时，，解得：，所以选项A错误； 选项B：当时，，解得：，所以选项B错误； 选项C：当时，，解得：，所以选项C错误； 选项D：当时，，解得：，所以选项D正确. 故选：D. 4. 已知为实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义，判断与之间的推导关系. 【详解】当时，，，充分性成立； 当时，，解得或，此时不一定有，必要性不成立， 故选：. 5. 已知向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可求，，即可判断A；根据模长公式判断B；由垂直的坐标表达式判断C，进而判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，，故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 6. 某乡镇计划对一荒山区域进行植树绿化，已知该区域到2025年年底植树绿化面积为10万亩，以此值为初始值，该区域经过年，到年底植树绿化面积万亩，且满足关系式，其中为年增长率.若2025年以后每年的增长率均为，则到2030年年底植树绿化面积为（ ） A. 20万亩 B. 18万亩 C. 15万亩 D. 13万亩 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数关系式待定系数法计算即可. 【详解】由题意，可知到2030年年底，则，此时， 所以，即万亩 故选：C 7. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，先求得切线方程，再根据导数的几何意义，求得该切线与的切点坐标，代入方程，即可求得m值. 【详解】对求导可得， 所以在点处的切线斜率， 所以切线方程为，整理得， 设与曲线相切于点， 对求导可得， 所以在点处切线的斜率，解得， 代入切线，可得，即切点， 将切点代入，解得. 故选：D 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据正切的二倍角公式及诱导公式计算，然后通过正弦的两角差公式及二倍角公式化简，最后化简为二阶齐次式求解即可. 【详解】由题意，因为， 所以， 所以. 故 . 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】借助函数的单调性判断A；借助函数的单调性判断B；借助函数的单调性判断C；利用作差法判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递增，且， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为函数在上单调递减， 所以，故B正确； 对于C，因为函数在上单调递减，且， 所以，故C正确； 对于D，因为且， 所以，故， 所以，故D错误. 故选：BC 10. 记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为递增数列 C. 若，则取得最小值时 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件求得等比数列的首项和公比，得到其通项公式、前项和与前项积，然后逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为. 由题可知：， 化简得：，解得或. 所以或. 选项A：，所以选项A正确； 选项B：当时，数列为递减数列； 当时，数列为递增数列，所以选项B错误； 选项C：若，则，所以， 所以，. 所以. 当或时，取得最小值，最小值为.所以选项C错误； 选项D：若，则，所以， 所以，. 所以. 因为，所以，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 11. 已知函数与的定义域均为，若为奇函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为0 C. D. 若，则a的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由为奇函数结合赋值法可判断选项正误；对于B，由结合可得为偶函数，然后由在上单调递增结合对称性可判断选项正误；对于C，由结合赋值法，可得，，然后由B分析可判断选项正误；对于D，分类讨论与和的大小情况，结合单调性与对称性可判断选项正误. 【详解】对于A，因为奇函数，则， 令，得，故A正确； 对于B，，因奇函数， 则为偶函数，即图象关于对称，又在上单调递增， 则在上单调递减，则，由（1），， 结合，令，可得，即的最小值为0，故B正确； 对于C，，令，得. 令，得.由B分析，，又在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，若 ，因在上单调递减，， 则，不合题意； 若，由B分析， ，又，结合在上单调递增， 则； 若，则，结合在上单调递增，则恒成立. 综上可得，若，则，故D错误. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】对进行求导并判断其单调性即可求出. 【详解】由题意得，，恒成立，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减，是的极大值点，且的极大值为. 故答案为：. 13. 已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义列式求出，进而求出. 【详解】由及在上的投影向量为，得， 则，解得，因此，即， 所以. 故答案为：. 14. 已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】两边同除后再将所求平方结合基本不等式可得. 【详解】因为，两边同除可得， ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点是函数图象上两个相邻的对称中心. （1）求； （2）若函数在区间上的值域为，求的值. 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦型函数的性质、余弦函数的周期公式求出. （2）由（1）求出，利用余弦型函数的性质，结合给定的值域求出值. 【小问1详解】 依题意，函数的最小正周期， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 由函数在上的值域为，得函数在上的值域为， 而，且函数在上单调递增，则， 且在上的值域为， 因此，且，则， 所以. 16. 已知函数. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）当时，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性证明即可； （2）利用函数的对称性结合倒序相加法计算即可. 【小问1详解】 易知，， 则为奇函数，所以的图象关于原点中心对称，证毕； 【小问2详解】 由上的图象关于原点中心对称，知的图象关于中心对称，所以， 即， ， 两式相加得 ， 所以. 17. 如图，在菱形中，分别是的中点，记. （1）用表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用给定的基底，结合几何图形求解. （2）利用数量积的运算律列式求解. 【小问1详解】 依题意，，则， ，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，即， 由菱形，得，则，即， 整理得，因此，所以. 18. 在正项数列中，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出，再分奇偶讨论并结合等差数列的前项和公式求出即可； （3）构造数列，求其单调性，得其最大值即可. 【小问1详解】 因，则， 因数列为正项数列，则，即， 故数列是等差数列； 【小问2详解】 由（1）可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 则， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 故； 【小问3详解】 因对都成立， 则对都成立， 令， 则 ， 当时，，即，即； 当时，，即，即； 则数列的最大值为， 则，得， 则的取值范围为. 19 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若方程存在两个不同实数根. （i）求整数的取值集合； （ii）若，求实数的取值范围. 参考数据：. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调区间. （2）（i）利用方程根的意义，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点求解；（ii）利用方程根的意义并令，再构造函数，利用导数确定单调性求出范围，进而求出的范围. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 （i）方程，令函数， 依题意，直线与函数的图象有两个不同交点， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 则当且仅当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 又，所以整数的取值集合为. （ii）由（i）知，，且， 令，即，则，解得， 令，求导得，令函数， 求导得，函数在上单调递减，， 则，函数在上单调递减，由，得， 于是，即，解得，则， 由，得，即， 由（i）知在上单调递增，因此， 所以实数取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高三10月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 黑龙江省大庆第一中学 巩玲 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 7 D. 8 3. 函数图象的一条对称轴可以为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量满足，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 6. 某乡镇计划对一荒山区域进行植树绿化，已知该区域到2025年年底植树绿化面积为10万亩，以此值为初始值，该区域经过年，到年底植树绿化面积万亩，且满足关系式，其中为年增长率.若2025年以后每年的增长率均为，则到2030年年底植树绿化面积为（ ） A. 20万亩 B. 18万亩 C. 15万亩 D. 13万亩 7. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为递增数列 C. 若，则取得最小值时 D. 若，则 11. 已知函数与的定义域均为，若为奇函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为0 C. D. 若，则a的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极大值为__________. 13. 已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则__________. 14. 已知正数满足，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点是函数图象上两个相邻的对称中心. （1）求； （2）若函数在区间上的值域为，求的值. 16. 已知函数. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）当时，求的值. 17. 如图，在菱形中，分别是的中点，记. （1）用表示向量； （2）若，求的值. 18. 正项数列中，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的取值范围. 19 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若方程存两个不同实数根. （i）求整数的取值集合； （ii）若，求实数取值范围. 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $