精品解析：湖北省新八校协作体2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

湖北省2025-2026学年度上学期高三10月月考 高三数学试卷 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★★祝考试顺利★★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 定义域为的函数，且，则 B. 函数的最小值为1 C. 定义域为的函数满足，当时，，则 D. 定义域为的函数，，则 10. 已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的对称轴为 D. 若函数，则在上有6个零点 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的定义域为__________. 13. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________；的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 17. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 18. 设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. （1）求点轨迹方程. （2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省2025-2026学年度上学期高三10月月考 高三数学试卷 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★★祝考试顺利★★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定即可得到答案． 【详解】命题“”的否定是“”． 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，则， 解得，所以， 且， 所以. 故选：D. 3. 已知复数（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则化简，可得，进而根据虚部的定义求解即可. 【详解】由， 则，虚部为. 故选：C. 4. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设，根据导数的定义可得，进而对函数求导列方程求解即可. 【详解】由，则， 而，则，即. 故选：B 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的平移可得，进而求解即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算法则，指对互换即可得到结论. 【详解】, 所以，所以 故选：A 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析单调性，可得，进而比较大小即可. 【详解】设，则， 而函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 又， 所以在时恒成立， 故在上单调递减， 所以，则， 即，则，即. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，则可将原不等式化为，再参变量分离后构造函数并结合导数研究其单调性后计算即可得. 【详解】因为函数满足，所以， 因为对，当时都有， 所以在上单调递增， 所以等价于， 即，， 即，，即， 令，则， 则当时，，仅当时取等号，即在上单调递增， 故，即， 则实数的取值范围为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 定义域为的函数，且，则 B. 函数的最小值为1 C. 定义域为的函数满足，当时，，则 D. 定义域为的函数，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助代入计算可得A；借助同角三角函数基本关系与基本不等式计算可得B；借助赋值法计算可得C、D. 【详解】A：由，则，则，即， 有， 即，则对于任意恒成立，故， 故，故A正确； B：， 当且仅当时等号成立，故B正确； C：，故C错误. D：令，则，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的对称轴为 D. 若函数，则在上有6个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算可得A；结合平移性质计算可得，即可得B；利用正弦型函数对称轴计算可得C；计算出后，将的图象画出即可得D. 【详解】； 对A：依题意，，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：由，令，， 解得，，故的对称轴为，故C正确； 对D： ， 令，则， 在直角坐标系中分别作出的图象如图所示， 观察可知，它们在上有6个交点， 即在上有6个零点，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导，根据有两个极值点可得，进而判断即可；对于B，根据导数的几何意义转化问题为与图象的交点个数，进而求解判断即可；对于C，由题意可得，化简得到，再结合可得到即可判断；对于D，由题意可得，根据导数的运算法则可得，，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，要使有两个极值点， 故有两个不等实根，所以，即， 所以当时，必有两个极值点，故A正确； 对于B，，设切点为， 在点处的切线方程为， 又切线过点，则， 整理得，即，令， 过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数， 而，令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使与图象有3个交点，则，故B正确； 对于C，由题意可得 ， 则， 又，则， 则，即，故C错误； 对于D，由题意可得， 则，， 同理， ，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再结合抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由，解得且， 则的定义域为， 由，解得且， 则的定义域为. 故答案为：. 13. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，根据题干中已知条件凑出问题中的不等式即可求解. 【详解】构造函数，则，且， 因为对于任意的，都有， 所以，故函数在R上单调递减， 所以解不等式即，即解，所以， 故不等式的解集为. 故答案为： 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________；的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由条件和余弦定理即可得角C，再由正弦定理和辅助角公式可得所求式子的最大值. 【详解】由，又， 所以，，且. 所以是钝角，且. 再由，得，，且. 所以 （其中） 所以，当且仅当，时，，取得最大值. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，进而结合周期公式求得，进而可得的解析式，再根据三角函数的性质求解单调递减区间； （2）转化问题为恰有3个不相等的实数根，进而结合正弦函数的图象求解即可. 【小问1详解】 由， 则最小正周期，即. 令， 解得， 则单调减区间. 【小问2详解】 因为，则， 当时，， 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为. 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 【答案】（1）答案见解析 （2）极大值极小值. 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，进而得到函数的单调性； （2）由（1）知若要有两个极值点，这两个极值点一定为.解法一：由两个极值点都在区间内，得到条件，解不等式即得答案，再利用（1）求出极值；解法二：由，得，对分类讨论，可得答案，再利用（1）求出极值. 【小问1详解】 当时，在上恒大于0，在上恒小于0，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒大于0，在上单调递增； 当时，在上恒大于0，在上恒小于0， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 解法一：函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，则， 解得，则的取值范围. 的极大值，的极小值. 解法二：因为， ①当时，则解得； ②当时，在内不存在两个极值点，所以不符合； ③当时，，则无解. 则函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，的取值范围. 的极大值的极小值. 17. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . 【小问2详解】 由（1）得. 则 . 18. 设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. （1）求点轨迹方程. （2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与曲线Γ的方程，根据韦达定理可得，即，进而求解即可. 【小问1详解】 设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为， 联立，得. 设，则，即， 则 ，为定值. 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对记，若，有，求的取值范围； （3）设，且，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知，当且时，，即， 令，得， 因为，所以， 当时，，当时，， ， 以上不等式相加得 ，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）转化问题为对时恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）由（2）得，，，令，得，再利用累加法求证即可. 【小问1详解】 由，则， 而，则， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 若对，有， 即为：对时恒成立， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价于， 即为恒成立， 设，则， 设，，则， 因为，所以， 所以在为减函数，则， 所以在为减函数，即， 所以，则的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $