精品解析：陕西省咸阳市礼泉县第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

礼泉二中2025—2026第一学期高二级月考试题（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）命题人：王民放 审核人：晁丽萍 第Ⅰ卷（选择题53分） 一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 1. 若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：B. 2. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 3. 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系及夹角公式计算即可得. 【详解】， ， 则， 因为，所以， 即与的夹角是. 故选：B. 4. 已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D. 【详解】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确； 选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，， 平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确； 选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确； 选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误. 故选：D. 5. 在三棱锥中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求出答案. 【详解】因为，所以，故， 又， 所以． 故选：B 6. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 7. 在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把作为基底，然后用基底把表示出来，然后求出其模即可 【详解】如图， , 所以 ， 所以， 所以的长为， 故选：D 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A. 点关于原点的对称点的坐标为； B. 点关于y轴对称的点的坐标是； C. 点关于平面对称的点的坐标是； D. 已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，D错误. 故选：BC 10. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，计算，即可判断；对于B，求出的值，即可判断；对于C，计算的值，即可判断；对于D，求出的坐标，根据法向量含义可得，即可判断. 【详解】对于A，，则， 所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，即不垂直， 所以不成立，故C是假命题； 对于D，， 因为向量是平面的法向量，故， 即，故D是真命题， 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题97分） 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11. 已知，平面的法向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以与共线， 又，，则， 所以，. 故答案为：. 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故答案为： 13. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即得． 【详解】以为原点，建立空间直角坐标系， 则，所以 所以点到直线的距离为：， 即点到直线的距离为． 故答案为：． 14. 已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积求出和夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围为，即可求出异面直线AB和CD所成角的大小． 【详解】， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线AB和CD所成角的大小为. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，计算： （1），，，； （2）. 【答案】（1），，，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量模长公式，及空间向量的坐标运算法则进行计算； （2）利用空间向量的坐标夹角公式进行求解. 【小问1详解】 ，，，，所以 【小问2详解】 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或. 【解析】 【分析】 （1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出； （2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值； （3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值. 【详解】解：（1）点，，， ∴， 由，设，且， ∴，解得， ∴或； （2）， ， 若与互相垂直，则， ∴， 即， 化简得， 解得或； （3）向量， ， 由向量与平行，则 ， 解得或. 【点睛】本题考查空间向量平行和垂直的坐标表示，属于基础题. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. （1）将空间向量与用表示出来； （2）求线段BM的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可； （2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 由题可知因为， 又因为， 所以. 易得， 所以， 所以，即的长为. 18. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 法一:是等边三角形，且是中点 面，面  面，面，且 面 面  AI 法二：取的中点，则面，可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴，则，，，； 所以 ，，则，即； AI （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论； （2）可由等体积法计算即可得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题可知：； 在中，，； 取中点，在中，， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：，，，， 设面的法向量为，； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 礼泉二中2025—2026第一学期高二级月考试题（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）命题人：王民放 审核人：晁丽萍 第Ⅰ卷（选择题53分） 一、单项选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 1. 若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A. 点关于原点的对称点的坐标为； B. 点关于y轴对称的点的坐标是； C. 点关于平面对称的点的坐标是； D. 已知点与点，则AB的中点坐标是. 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 共面 10. 给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 第Ⅱ卷（非选择题97分） 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11. 已知，平面的法向量，若，则______． 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为___________． 14. 已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为______. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，计算： （1），，，； （2）. 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若与互相垂直，求； （3）若向量与平行，求． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设. （1）将空间向量与用表示出来； （2）求线段BM的长. 18. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $