精品解析：河北省石家庄市第四十二中学2025-2026学年九年级上学期 数学月考试题

初三数学试卷 注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共120分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( ) A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 甲乙丙均可以 3. 若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方的结果是▊，则▊表示的是（ ） A. 8 B. 10 C. D. 5. 如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（ ） A. B. C. D. 6. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得． ． 或，解得． 其中完全正确的是（ ） A. 甲 B. 甲和乙 C. 乙 D. 都不正确 7. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 8. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两位同学记录了某一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于甲，乙两位同学该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 乙的众数为70分钟 B. 甲的中位数为63分钟 C. 乙的方差比甲的大 D. 甲的平均数比乙的大 11. 如图,中，点是边的中点，交对角线于点，则等于(　　) A. B. C. D. 12. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 卷Ⅱ（非选择题，共84分） （用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） 二、填空题（本大题共4个小题，，每小题3分，共12分） 13. 点在线段上，若，则________． 14. 嘉淇在处理一组数据“37，38，40，37，□”时，其中一个数据印刷不清楚，已知这组数据的中位数和去掉“□”后的4个数据的众数相等，写出一个“□”里可填的整数：______． 15. 如图，琪琪的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为________． 16. 如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1）___________； （2）的长为_____________． 三、解答题（本大题共6个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； 18. 如图，． （1）若平分，求的度数； （2）若，求的长． 19. 嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成4，请你解方程； （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是2．”通过计算说明原题中“□”是几； （3）若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和． 20. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 （1）学生成绩统计表中______，______； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？请说明理由． 21. 某装专卖店在销售中发现，一款盘装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采以适当的降价措施，以扩大销售抵，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售　　　　　件，每件盈利　　　　　元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）平均每天赢利1300元，可能吗？请说明理由． 22. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，___________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共120分，考试时间90分钟．请将选择题的答案填涂在机读卡上，非选择题写在答题纸上． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列属于一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是等式，则A不符合题意， B．中未知数的次数是1，则B不符合题意， C．符合一元二次方程的定义，则C符合题意， D． 含有2个未知数，则D不符合题意， 故选：C． 2. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( ) A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 甲乙丙均可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴，导游小方应该选择甲团． 故选：A． 3. 若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 4. 用配方法解方程时，配方的结果是▊，则▊表示的是（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可；（2）形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．将方程的常数项移到右边，含的项移到左边，两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， 所以▊． 故选：B． 5. 如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键，由相似三角形的性质得出，再由相似比为，且，即可得解． 【详解】∵∽ 相似比为，， ， 线段长度能确定， 故选：． 6. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得． ． 或，解得． 其中完全正确的是（ ） A. 甲 B. 甲和乙 C. 乙 D. 都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用解一元二次方程因式分解法，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙利用解一元二次方程因式分解法，计算正确； 故选：C． 7. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 8. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 9. 如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，由得，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 甲、乙两位同学记录了某一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于甲，乙两位同学该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 乙的众数为70分钟 B. 甲的中位数为63分钟 C. 乙的方差比甲的大 D. 甲的平均数比乙的大 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算甲、乙两人数据的平均数、众数、中位数，再进一步求解即可． 【详解】解：A、乙的众数为35分钟和70分钟，故不符合题意； B、甲的数据由小到大排列35、35、56、56、63、70、70，处于最中间的数为56，中位数是56，故不符合题意； C、由折线统计图可得，乙每天校外锻炼的时间比甲的波动大，所以乙的方差比甲的大，故符合题意； D、甲的平均数为，乙的平均数为，因为，所以甲的平均数比乙的小，故不符而题意； 故选：C． 11. 如图,中，点是边的中点，交对角线于点，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，证明AD∥BC，AD=BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC=AD=2DE，即可解决问题． 【详解】四边形为平行四边形， ； ， ； 点是边的中点， ， ．故选B． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键． 12. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出，进而根据根的判别式的意义判断A，B选项，根据根与系数的关系式得出，进而判断C选项，根据，，得出，，进而求得的值，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程存在两实数根， ∴ A． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； B． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； C． ∵，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意； D． ∵，若，则 ∴，则 ∵ ∴，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） （用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） 二、填空题（本大题共4个小题，，每小题3分，共12分） 13. 点在线段上，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的比，解题关键是根据题意作出图形，结合比例的性质求解．根据题意，可设，则，进而即可求解． 【详解】解：如下图， ∵， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 嘉淇在处理一组数据“37，38，40，37，□”时，其中一个数据印刷不清楚，已知这组数据的中位数和去掉“□”后的4个数据的众数相等，写出一个“□”里可填的整数：______． 【答案】36（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，中位数的定义，掌握中众数，中位数的定义成为解题的关键． 先根据众数的定义确定众数，然后得出中位数为37，再进一步解答即可． 【详解】解：37，38，40，37的众数为37， “37，38，40，37， □”的中位数为37， 由条件可知第2个37为原数据的第三个数， □， □可以是36， 故答案为：36（答案不唯一）． 15. 如图，琪琪的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则，根据题意列方程为：，解方程即可得出答案． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 墙长， 长为． 故答案为：． 16. 如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1）___________； （2）的长为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． （1）根据平行线分线段成比例定理求出，然后根据比的性质求解即可； （2）根据（1）中结论并结合已知求出，然后平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 又因为， 所以 所以； 故答案为：； （2）因为 所以 因为， 所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）先移项，再用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 或 【小问2详解】 或 18. 如图，． （1）若平分，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 19. 嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚． （1）她把“□”猜成4，请你解方程； （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是2．”通过计算说明原题中“□”是几； （3）若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和． 【答案】（1） （2）8 （3）28 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）利用根与系数关系定理求解即可． （3）利用根与系数关系定理解答即可． 本题考查了配方法求方程的根，根与系数关系，活用根与系数关系，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m，中的数是n，根据题意，得， 解得：， 故中的数是8． 【小问3详解】 解：设中的数是n，是方程的两个实数根， 则， 根据题意，得， 又都是整数，且 ， 由于， 故 或或， 解得或或， 故正数之和为． 20. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了统计图表．请根据统计图表信息，解答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 7.55 中位数 8 b 众数 a 7 （1）学生成绩统计表中______，______； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？请说明理由． 【答案】（1）8， （2） （3） 解：七年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级， 所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：观察扇形统计图得：得8分的人数最多， ∴； 根据题意得：位于第10位，11位的分别为7分，8分， ∴； 故答案为：8；7.5 【小问2详解】 解：七年级学生成绩的平均数； 【小问3详解】 略 21. 某装专卖店在销售中发现，一款盘装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采以适当的降价措施，以扩大销售抵，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售　　　　　件，每件盈利　　　　　元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）平均每天赢利1300元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）20 （3）不可能 【解析】 【分析】（1）若每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元； （2）设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合“为了扩大销售量，尽快减少库存”，即可确定每件童装降低的价格； （3）设每件童装降价元，则每件盈利(40 元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不可能每天盈利1300元； 【小问1详解】 若每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：；； 【小问2详解】 设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为 件，依题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ∴， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元； 【小问3详解】 不可能，理由如下： 设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，依题意得：， 整理得：； ∵， ∴方程无实数解，即不可能每天盈利1300元； 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各量；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”． 22. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，___________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可得出的值； （3）分两种情况考虑，根据三角形相似可得对应边成比例，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ， ， ， 点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ； 故答案为：；； 【小问2详解】 由题意得：， 解得： (不合题意舍去)，， 当秒时，的长度等于； 【小问3详解】 在中，，， 又与以B、P、Q为顶点的三角形相似， 或， 即或， 解得：或， 故的值为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、列代数式、勾股定理、解一元二次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $