精品解析：安徽省阜阳市太和县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级监测·数学 上册21.1~22.1 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都由A，B，C，D四个选项，具中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 4. 抛物线的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 点和点在抛物线上，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的开口方向为___________．（填“向上”或“向下”） 12. 把方程化成一般形式是________． 13. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 14. 如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为________．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知y关于x的二次函数为，求a的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小强同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时的部分过程如下． 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， …… （1）请你帮小强同学完成剩余的推导过程． （2）用公式法解一元二次方程． 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学小组在解方程时，将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得，；当时，，解得，．故原方程的解为，，，． （1）上述解方程的方法所体现的数学思想是________． A．类比思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想 （2）请你运用该小组的方法解方程：． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． （1）求m的值． （2）将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 某数学实践小组准备用一元二次方程的相关知识为某小型夜市的升级改造提供方案． 【项目准备】 （1）布局知识学习：在一块矩形夜市场地中，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道． （2）布局方式构建：如图，已知矩形夜市场地的长为60米，宽为30米，摊位总面积为1000平方米．设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为 ① 米，根据摊位总面积可列方程 ② ，从而求得人行过道的宽为 ③ 米． 【项目分析】 （3）租金调整商讨：夜市通过改善环境，融入地方特色，对摊位每月的租金进行适当的调整，最终决定上涨租金． ①项目条件：该夜市共有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为5000元时，摊位刚好全部租完． ②基本约定： （ⅰ）所有横向或纵向人行过道平行，三排摊位之间也平行； （ⅱ）租金单价统一． （4）方案论证：通过调查后发现每个摊位的月租金每上涨100元，就会少租出1个摊位，设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为 ④ 个，已知升级改造后夜市的月租金收入的总金额为302500元，可列方程 ⑤ 求出a的值，最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为 ⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用升级改造方案，并确认摊位的租金（略）． 请将上述材料横线上所缺内容补充完整： ①________________；②________________；③________________；④________________； ⑤________________；⑥________________． 七、（本题满分12分） 22. 关于x的代数式，其中，若存在实数m，使得当时代数式的值为，则称m为这个代数式的“二倍值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值为0，当时，代数式的值为2，则称0和1都是代数式的“二倍值”． （1）代数式的“二倍值”是________． （2）判断代数式是否有“二倍值”．若有，请求出该代数式的“二倍值”；若没有，请说明理由． （3）餐饮店中某道菜品的成本价为每盘5元，在某段时间内，若每盘菜以x元销售，可售出盘，若售价x为这段时间内总利润的“二倍值”，求这道菜的售价． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，将一个边长为4的正方形放在平面直角坐标系中，正方形的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴重合，二次函数的图象经过边的中点D．将正方形绕点O逆时针旋转，当点C落在x轴上时停止运动． （1）点D的坐标为________，二次函数的解析式为________． （2）如图2，当图1中正方形的顶点C刚好落在二次函数的图象上时，求点C的纵坐标． （3）如图3，将一个边长未知的正方形的顶点E，G放在二次函数第一象限内的图象上，此时点F恰好落在y轴上，设点E，G的横坐标分别为m，n，且，请写出m，n的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级监测·数学 上册21.1~22.1 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都由A，B，C，D四个选项，具中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、中，未知数的最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数的二次项系数为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数为3， 故选：D． 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，列出关于a的方程，通过解方程可以求得a的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的解， ， 解得：． 故选：A． 4. 抛物线的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点式的应用，先根据抛物线顶点式确定顶点坐标，再根据象限的定义判断顶点所在象限． 【详解】解：由题意知，抛物线的顶点为， ∵，，满足第三象限坐标特征， 此时在第三象限． 故选：C． 5. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 6. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：． 故选：C． 7. 如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，等腰三角形的性质， 先根据等腰三角形的性质得，再设坐标代入关系式，可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵抛物线经过点， 得， 解得. 故选：C. 8. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 9. 点和点在抛物线上，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．首先确定二次函数图像的对称轴为直线，根据抛物线的对称性知，当和时，函数值相等，即图像过，再根据二次函数的增减性逐项判断即可。 【详解】解：， ∴抛物线对称轴为直线， 根据抛物线的对称性知，当和时，函数值相等，即，即图像过， 故B选项正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当，， 故A选项正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 故C选项正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，， 故D选项错误； 故选：D． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的开口方向为___________．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数中二次项系数的正负即可判断． 【详解】解：中， 抛物线的开口方向为向下， 故答案为：向下． 12. 把方程化成一般形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先将给定方程去括号，再移项，合并同类项得到结果． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题二次函数图象的平移变换；根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：先向右平移1个单位长度将替换为， 再向下平移3个单位长度在原解析式后面减3， ∴平移后解析式为， 故答案为：． 14. 如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为________．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及一元二次方程的求解． （1）根据点P的运动速度和时间，结合线段的长度关系，即可求出的长； （2）先根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据点P、Q的运动速度和时间表示出、的长，最后根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：（1）已知点P从点A出发，速度是，运动时间为， ∴， 又∵为等腰三角形，为边上的高， ∴点D为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）当时，，， ∵， ∴中边上的高为， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程得到原方程的解． 【详解】解：， ， ，， ，． 16. 已知y关于x的二次函数为，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义列出对应的方程，使得自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0，联立两个方程解得a的值． 【详解】解：由题意知，要使为二次函数， ∴，解得， ∴ ∴a的值为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小强同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时的部分过程如下． 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， …… （1）请你帮小强同学完成剩余的推导过程． （2）用公式法解一元二次方程． 【答案】（1） 解：移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得， ∵，， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）根据公式法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）该二次函数的解析式为 （2）点在该二次函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学小组在解方程时，将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得，；当时，，解得，．故原方程的解为，，，． （1）上述解方程的方法所体现的数学思想是________． A．类比思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想 （2）请你运用该小组的方法解方程：． 【答案】（1）B （2）， 【解析】 【分析】本题考查了数学思想的识别以及换元法解方程． （1）通过将视为一个整体，设，将原方程转化为关于t的方程，再求解t，最后求解x，这种将复杂问题转化为简单问题的方法体现了转化思想； （2）运用换元法，设，将原方程转化为关于t的方程，求解t后再求解a． 【小问1详解】 解：题目中将视为一个整体， 设，将原方程转化为关于t的方程， 再求解t，最后求解x，这种将复杂问题转化为简单问题的方法体现了转化思想． 故选：B． 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， ∴， 解得，， ①当时，，即， 此时，方程无实数解， ②当时，，即， ∴， 解得，， 故原方程的解为，． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． （1）求m的值． （2）将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质以及点的平移和翻折变换． （1）先求出点A的坐标，再根据点的平移规律得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入抛物线的解析式中，求解m的值； （2）先将抛物线的解析式化为顶点式，得到其顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出抛物线的顶点坐标． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令， 可得， ∴点A的坐标为， ∵点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知，则抛物线的解析式为， 将其化为顶点式：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线是抛物线沿x轴翻折得到的， ∴抛物线的顶点坐标为． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 某数学实践小组准备用一元二次方程的相关知识为某小型夜市的升级改造提供方案． 【项目准备】 （1）布局知识学习：在一块矩形夜市场地中，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道． （2）布局方式构建：如图，已知矩形夜市场地的长为60米，宽为30米，摊位总面积为1000平方米．设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为 ① 米，根据摊位总面积可列方程 ② ，从而求得人行过道的宽为 ③ 米． 【项目分析】 （3）租金调整商讨：夜市通过改善环境，融入地方特色，对摊位每月的租金进行适当的调整，最终决定上涨租金． ①项目条件：该夜市共有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为5000元时，摊位刚好全部租完． ②基本约定： （ⅰ）所有横向或纵向人行过道平行，三排摊位之间也平行； （ⅱ）租金单价统一． （4）方案论证：通过调查后发现每个摊位的月租金每上涨100元，就会少租出1个摊位，设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为 ④ 个，已知升级改造后夜市的月租金收入的总金额为302500元，可列方程 ⑤ 求出a的值，最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为 ⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用升级改造方案，并确认摊位的租金（略）． 请将上述材料横线上所缺内容补充完整： ①________________；②________________；③________________；④________________； ⑤________________；⑥________________． 【答案】①；②；③5；④；⑤；⑥5500 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，设出未知数，列出方程是解题关键． 项目准备：设人行过道宽为x米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； 项目分析：设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为个，根据题意列出一元二次方程方程，解方程，即可求解． 【详解】解：项目准备：设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为米， 根据摊位总面积可列方程：， 解得：， 当时，，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 则人行过道的宽为5米； 项目分析：设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为个，由题意得： ， 解得：， 元， 答：最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为5500元． 七、（本题满分12分） 22. 关于x的代数式，其中，若存在实数m，使得当时代数式的值为，则称m为这个代数式的“二倍值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值为0，当时，代数式的值为2，则称0和1都是代数式的“二倍值”． （1）代数式的“二倍值”是________． （2）判断代数式是否有“二倍值”．若有，请求出该代数式的“二倍值”；若没有，请说明理由． （3）餐饮店中某道菜品的成本价为每盘5元，在某段时间内，若每盘菜以x元销售，可售出盘，若售价x为这段时间内总利润的“二倍值”，求这道菜的售价． 【答案】（1）1 （2） 解：代数式没有“二倍值”，理由如下： 由题意得，即 ∴方程没有实数解， 故代数式没有“二倍值”. （3）这道菜的售价为7元或10元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据题意建立一元二次方程求解即可； （1）根据“二倍值”的定义得，求解即可； （2）根据“二倍值”的定义得，求解判断即可； （3）先用代数式表示出总利润，然后根据“二倍值”的定义建立方程求解. 【小问1详解】 解：由题意得 解得 ∴1是代数式的“二倍值” 故答案为：1. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：菜总售价为，菜总成本为 ∵总利润=总售价总成本 ∴总利润为 由题意得 解得，. 故这道菜的售价为7元或10元. 八、（本题满分14分） 23. 如图1，将一个边长为4的正方形放在平面直角坐标系中，正方形的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴重合，二次函数的图象经过边的中点D．将正方形绕点O逆时针旋转，当点C落在x轴上时停止运动． （1）点D的坐标为________，二次函数的解析式为________． （2）如图2，当图1中正方形的顶点C刚好落在二次函数的图象上时，求点C的纵坐标． （3）如图3，将一个边长未知的正方形的顶点E，G放在二次函数第一象限内的图象上，此时点F恰好落在y轴上，设点E，G的横坐标分别为m，n，且，请写出m，n的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）点C的纵坐标为 （3） 解：， 理由：如图3，过点E作轴交x轴于点P，过点G作交x轴于点Q， ∵点E，G在抛物线上， 设点E坐标为，点G坐标为， ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， 此时， 即． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出每条边的长度，再利用点D过抛物线且其为中点得出点D的坐标，将点D坐标代入抛物线内得出抛物线解析式； （2）设点C坐标为，已知点C在抛物线上，且,利用勾股定理求得后得出，解得n的值，即点C的纵坐标； （3）过点E作轴交x轴于点P，过点G作轴交x轴于点Q，设点E坐标为，点G坐标为，证明，得到对应边的表达式，进而可推导出m，n的数量关系． 【小问1详解】 解：由题意知，四边形是边长为4的正方形，点D为中点， ∴， ∴点D的坐标为， ∵点D经过抛物线， ∴将点D代入抛物线得：， ∴， 即抛物线解析式为． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设点C坐标为， ∵正方形绕点O逆时针旋转， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵点C在抛物线上， ∴， 将代入中， 得到，即， 解得：， ∵， ∴，即点C的纵坐标为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的图象特征与性质，正方形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $