精品解析：山东省潍坊市安丘市东埠中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026上学期八年级数学阶段性测试 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 2. 下列命题的逆命题是真命题的是　　 A. 若，则 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 相等的角是对顶角 D. 全等三角形的面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】解：A、其逆命题是“若，则，当a,b互为相反数时，平方也相等，错误，故是假命题； B、其逆命题是“锐角三角形是等边三角形”锐角三角形的范围较大，不一定都是等边三角形，错误，故是假命题； C、其逆命题是“对顶角相等”正确，是真命题； D、其逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，面积相等对应边不等也不是全等三角形，错误，故是假命题． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理也考查了逆命题． 3. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 4. 下列说法正确的个数是（ ） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题，逆定理，根据定义逐个判断即可. 【详解】解：因为每个命题都有逆命题，所以①正确； 因为真命题的逆命题不一定是真命题，所以②不正确； 因为假命题的逆命题不一定是真命题，所以③不正确； 因为每个定理都有逆命题，不一定是真命题，所以④不正确，⑤正确； 因为命题“若，那么”的逆命题是“若，那么”，可举反例当，则，所以⑥不正确. 所以正确的有2个. 故选：B. 5. 利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　） A. 直角三角形的每个锐角都小于 B. 直角三角形有一个锐角大于 C. 直角三角形的每个锐角都大于 D. 直角三角形有一个锐角小于 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于． 故选：A． 6. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据作图过程可以证明，进而可得结论． 【详解】∵， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴， ∴射线就是的平分线． 故选：C． 7. 如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，由折叠的性质可得，，结合题意求出，再由三角形内角和定理求出，最后再由角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，已知直线，点C，E是线段上的点，且满足，，，，，，则为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 51 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，从而得出，证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为，则的长度为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：是的高线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为10， ， ， ， ， 故答案为：A． 10. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③ ④均是正确的,②缺少条件无法证明. 【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°, ∵∠ACB＝∠BAD ∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B, ∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°, ∴∠CAB=90°,①正确, ∵AE平分∠CAD,EF∥AC， ∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误, ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF, ∴∠BAE＝∠BEA,③正确, ∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确, 综上正确的一共有3个,故选B. 【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键. 二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分） 11. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【解析】 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 12. 如图，中，，，点，，分别是边，，边上的点，且，．则的度数为___． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，先根据等边对等角结合三角形内角和定理得出，证明，得出，从而即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：中，，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，已知，添加以下条件①②③④，能直接证明的是___________（写出一种即可） 【答案】①或④（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 根据“角角边”证明这两个三角形全等可判断①，④. 【详解】解：当时， ∵， ∴； 当时， 不能直接证明和全等； 当时， ∵， ∴. 故答案为：①或④（答案不唯一）. 14. 如图，点在上，，，，．___________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，三角形内角和定理， 先根据“角角边”证明，可得，即可求出，再根据“等边对等角”及三角形内角和定理求出，，则此题可解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 15. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 三、解答题 16. 如图，点E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，AC与BD相交于点O，求证：AE∥CF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用SSS证明△ABE与△CDF全等，再利用平行线的性质证明即可． 【详解】证明：∵BF=DE， ∴BF-EF=DE-EF， 即BE=DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE∥CF． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SSS证明△ABE与△CDF全等，再利用平行线的性质证明． 17. 如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等边对等角，同角的余角相等， 对于（1），以点D为圆心，以为半径画弧，交于点H，G，再以点H，G为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，连接，交于点E，交于点F，则点E，F即为所求作； 对于（2），先根据等边对等角得，再根据同角的余角相等可得，则此题可证. 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即. 18. 如图，，，，点F是的中点．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．连接，证明，得到，再利用三线合一即可得证．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 19. 完成下列填空，括号中填推理依据 已知：，、分别为、的中点． 求证： 证明：延长到，使，连接 是中点 又，， ， ___________，（全等三角形性质）， ∴___________（___________）， ___________（___________）， 为的中点 （___________）， 由，以及 （___________）， ___________（全等三角形性质）， ___________ 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，延长到，使，连接，先证明得出，，从而得出，由平行线的性质可得，再证明得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：延长到，使，连接 是中点 又，， ， ，（全等三角形性质）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 为的中点 （等量代换）， 由，以及 ， （全等三角形性质）， ∴． 20. 如图，，，，，直线与相交于点，与相交于点． （1）与相等吗？请说明理由； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由题意可得：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知，E，F是上的两点，且，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，得到，根据平角的定义和三角形内角和定理得到，再证明，即可得到． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴． 22. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 23. 小学学过，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角都等于．数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边上的动点（除、C外）．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ （1）先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点H，连接，则，易证_________________，所以________________ （2）在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小亮提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（除B、C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； （3）连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系并证明． 【答案】（1），，， （2）小亮的观点正确，证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，取的中点H，连接，则，从而可得为等腰直角三角形，求出，再证明，即可得解； （2）由正方形的性质可得，，在上取一点，使得，连接，证明为等腰直角三角形，求出，再证明，即可得解； （3）延长到，使得，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，由（2）可得为等腰直角三角形，求出，再证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 如图1，取的中点H，连接，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是正方形外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；；；． 【小问2详解】 解：小亮的观点正确，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图2，在上取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是正方形外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，延长到，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（2）可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上学期八年级数学阶段性测试 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 2. 下列命题的逆命题是真命题的是　　 A. 若，则 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 相等的角是对顶角 D. 全等三角形的面积相等 3. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的个数是（ ） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　） A. 直角三角形的每个锐角都小于 B. 直角三角形有一个锐角大于 C. 直角三角形的每个锐角都大于 D. 直角三角形有一个锐角小于 6. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是( )． A. B. C. D. 7. 如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线，点C，E是线段上的点，且满足，，，，，，则为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 51 9. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为，则的长度为（     ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分） 11. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 12. 如图，中，，，点，，分别是边，，边上的点，且，．则的度数为___． 13. 如图，已知，添加以下条件①②③④，能直接证明的是___________（写出一种即可） 14. 如图，点在上，，，，．___________ 15. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 三、解答题 16. 如图，点E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，AC与BD相交于点O，求证：AE∥CF． 17. 如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 18. 如图，，，，点F是的中点．求证： 19. 完成下列填空，括号中填推理依据 已知：，、分别为、的中点． 求证： 证明：延长到，使，连接 是中点 又，， ， ___________，（全等三角形性质）， ∴___________（___________）， ___________（___________）， 为的中点 （___________）， 由，以及 （___________）， ___________（全等三角形性质）， ___________ 20. 如图，，，，，直线与相交于点，与相交于点． （1）与相等吗？请说明理由； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 21. 如图，已知，E，F是上的两点，且，若，求的度数． 22. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 23. 小学学过，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角都等于．数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边上的动点（除、C外）．，且交正方形外角的角平分线于点，请问“”是否成立？ （1）先考虑特殊情况，当是的中点时，经过思考，小明展示了一种正确解题思路：取的中点H，连接，则，易证_________________，所以________________ （2）在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小亮提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（除B、C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小亮的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由； （3）连接交直线于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $