精品解析：四川省绵阳市涪城区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年九年级上学期10月月考 （九年级数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化成一般形式为( ) A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 18 B. C. 20 D. 22 5. 九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 7. 若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的对称轴是直线，与轴的交点纵坐标是2，与轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①；②方程一定有一根在和之间；③方程一定有两个不等实根：④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点到地面的高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器与围墙的距离为（ ） A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 5m 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 14. 若是方程的一个解，则代数式的值为_____． 15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 16. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 18. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 三．解答题（共46分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值及方程的两根． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 23. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 24. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围． 25. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，另一交点为B，与y轴的交点坐标为． （1）求出b，c的值； （2）求出顶点D的坐标以及面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期10月月考 （九年级数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，并且其最高次数为1，不是一元二次方程，则A不符合题意， B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则B不符合题意， C、，其最高次数为3，不是一元二次方程，则C不符合题意， D、符合一元二次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 2. 一元二次方程化成一般形式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程右边的项移到左边，即可解答． 【详解】解：把一元二次方程化为一般形式得． 故选：B． 3. 下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两个根互为相反数，得到两根之和为，进行判断即可． 【详解】解：A、，方程没有实数根，不符合题意； B、，两根之和为，符合题意； C、，方程没有实数根，不符合题意； D、，且两根之和为4，不符合题意； 故选：B． 4. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 18 B. C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键． 根据根与系数的关系看得，由a，b是方程的两个实数根可得，进而可以得解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 则的值为18． 故选：A． 5. 九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 故选：D． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故B错误； 根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误； ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确； 故选：D ． 7. 若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据：抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大. 【详解】因为，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，-3>-4, 所以，y1>y2 故选C 【点睛】理解二次函数的基本性质. 8. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 9. 据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 10. 二次函数的对称轴是直线，与轴的交点纵坐标是2，与轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①；②方程一定有一根在和之间；③方程一定有两个不等实根：④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴公式、二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系 ．熟练掌握二次函数的性质，能利用对称轴和函数与轴交点的关系、函数与方程的转化关系来分析问题是解题的关键． 根据二次函数的对称轴公式、函数的对称性、函数与方程的关系以及函数值的特点来逐一判断各个结论即可． 【详解】解： 对于二次函数，其对称轴公式为． 已知对称轴是直线，即，等式两边同时乘以，可得，移项得到，所以结论正确； ∵二次函数的对称轴是直线，且与轴的一个交点在和之间． 设与轴的两个交点坐标分别为，， ∴根据二次函数的对称性，对称轴， ∵，设在和之间，， ∴． 当时，；当时，， ∴另一个交点在和之间，即方程一定有一根在和之间， 故结论正确； 方程的根的情况，可看作二次函数与直线的交点情况． ∵二次函数与轴的交点纵坐标是，即，且二次函数图象是抛物线，开口向上或向下， 无论开口方向如何，直线与二次函数一定有两个不同的交点， ∴方程一定有两个不等实根，故结论正确； ∵对称轴， ∴，且， 当时，， ∵与轴的一个交点在和之间， ∴当时，． 把代入，可得， ∴，故结论正确； 综上，四个结论都是正确的， 故选： D． 11. 随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点到地面的高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器与围墙的距离为（ ） A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 5m 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：D． 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与轴的交点问题可对B选项进行判断；利用二次函数的增减性对C进行判断．把，和代入抛物解析式可对D选项进行判断．本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的解．也考查了二次函数的性质． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故A选项的结论错误； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标在与之间， 抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间， 一元二次方程的正实数根在2和3之间，故B选项的结论错误； 点，在抛物线上， 当点、都在直线的右侧时，，此时； 当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，， 此时且，即， 当时，，故C选项的结论错误． 把，代入抛物线得，， 而， ， ，故D选项的结论正确； 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 14. 若是方程的一个解，则代数式的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，将代入，得到，再将作为整体代入即可． 【详解】解：是方程的一个解， ， ， ， 故答案为：12． 15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 16. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 18. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 三．解答题（共46分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值及方程的两根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）由题意易得，则有，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得，即， （负值已舍）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 23. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 【答案】（1）①；②3 （2）开口向下 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②将a、b值代入中求解即可； （2）根据表格数据得到对称轴为直线，进而可得是顶点，和关于对称轴对称，则，根据二次函数的图象特征求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得， 解得， ∴二次函数的表达式是； ②∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称，则， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下， 即该二次函数图象的开口向下． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 24. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象知：当时，. 25. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，另一交点为B，与y轴的交点坐标为． （1）求出b，c的值； （2）求出顶点D的坐标以及面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于M，将二次函数解析式化为顶点式即可得出，求出，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 解：将与代入二次函数解析式得： ， 解得：． 【小问2详解】 解： 由（1）知二次函数解析式为； 作轴于M，如图所示： ， ∴顶点， ， 令，则， 解得：或， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $