精品解析：陕西省西安交通大学附属中学2025～2026学年高二上学期第一次月考数学试题

交大附中2025~2026学年第一学期 高二年级第一次月考数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线,满足，所以，则. 所以准线方程是. 故选A. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求出渐近线方程． 【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 故选：B． 3. 当变动时，曲线不可能表示的图形是（ ） A. 焦点在y轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆，双曲线，圆的标准方程结合分类讨论来加以判断即可. 【详解】当时，由于有， 由可整理为， 因为，所以曲线表示焦点在y轴上的椭圆，故排除A； 当时，由于有， 由可整理为， 因为，所以曲线表示焦点在x轴上的双曲线，故排除B； 当时，由于有， 由可整理为， 所以曲线表示圆，故排除D； 无论为何值，曲线不可能表示抛物线，故选C. 故选：C 4. 若实数满足，则曲线与曲线的（ ） A. 离心率相等 B. 虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【详解】，则，， 双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为， 双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 焦距为，离心率为， 因此，两双曲线的焦距相等， 故选D. 5. 已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离. 【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为是该抛物线上的两点，故， 所以， 又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题. 6. 直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案. 【详解】设  和  为直线与椭圆的交点，且  为  中点，因此： ， 点  和  满足椭圆方程： ， 将方程 (1) 减去 (2)：， 因式分解：， 代入中点坐标：， 得：， 整理得：， 因此，斜率 . 故选：B 7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线．由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2． 8. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点，从而可知轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是；最后通过渐近线与相交弦斜率关系，得到离心率范围. 【详解】设，的内切圆圆心分别为, 如图，设的内切圆与轴的切点为，由双曲线定义，根据圆的切线长性质得，进而得点的横坐标为，即点是双曲线右顶点； 同理可得点也是的内切圆与轴的切点，连接，，，从而可知轴， 设直线的倾斜角为，∴，，又，∴，， ∴，解得， ∴，∴，则离心率. 故选项为：B. 【点睛】根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点是第一个突破口；通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是第二个突破口；通过渐近线与相交弦斜率关系得到离心率范围是第三步.本题对相关知识的基本功要求较高，运算能力、数形结合能力要求高，具有典型模型特点. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与虚轴长相等 B. 与焦距相等 C. 与离心率相等 D. 与渐近线相同 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为， 双曲线的虚轴在轴上，虚轴长为，故A错误； 双曲线和焦距均为，故B正确； 双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，故C错误； 双曲线的渐近线为， 双曲线的渐近线为，故D正确． 故选：BD. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，，若以为圆心，为半径作圆，过双曲线右支上一点P作圆的切线，切点为T，且的最小值不大于，则双曲线的离心率e的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，得到，由求解. 【详解】如图所示： 连接，则， 因为，所以， 由题意得，化简得， 即，即， 则，即， 又，则， 故选：ABC 11. 设函数由方程确定，关于函数下列结论中错误的是（ ） A. 存在，，使得成立； B. ，使得且同时成立； C. 对于任意，恒成立； D. 对任意，，都有恒成立． 【答案】ABD 【解析】 【分析】将方程去绝对值符号，画出函数的图像，对命题逐一分析判断，结合图像即可判断函数的单调性，即可判断A； 对于B，即，均在图像上，讨论分别在一、二、四象限代入方程，看是否有实数解，即可判断； 对于C，恒成立，即恒成立，结合图像即可判断； 对于D，通过举出反例即可判断，如当时. 【详解】解：根据题意，方程，当且时，方程为， 当且时，方程为，即， 当且时，方程为， 当且是时，方程为，则函数的图象如图： 对于A，是定义域上的单调减函数，则对于任意的，，，使得成立，A错误； 对于B，假设在第一象限，则也在第一象限， 此时方程组，而该方程组无解， 若在第四象限，则在第二象限， 此时方程组，此时方程组也无解， 同理：若在第二象限，则在第四象限，此时方程组也无解， 故不存在，，，使得（a）且（b）同时成立，故B错误； 对于C，对于任意，恒成立，即，由函数的图象可知，恒成立，C正确； 对于D，当时，此时， 即，不是恒成立，则D错误. 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线方程可知， 由焦半径公式可得：，， 所以，． 所以点的坐标为 故答案为： 13. 设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 14. 双曲线的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是________（写出所有正确的序号） （1）P到两条渐近线的距离之积为2 （2）当直线l运动时，始终有 （3）在中， （4）内切圆半径取值范围为 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离直接计算可得； （2）根据线段与线段的中点是否重合可得； （3）根据直线的倾斜角与三角形内角的关系，再结合三角恒等变换可得； （4）根据三角形内切圆半径与三角形的面积的关系，将半径表示成关于P点的横坐标的一个函数关系，从而求得半径的范围. 【详解】①由双曲线，可化为，则，， 双曲线的渐近线方程为，即. 设，因P点在双曲线上，所以， 所以P到两条渐近线和的距离分别为： ，，所以 故（1）正确； ②由直线l与双曲线C的左右支都相交，所以直线l的斜率存在， 设l的方程为，，，，. 联立，消去y得， 若，即，方程有且仅有一个解，与题意不符. 所以，且是方程的两个根，由韦达定理得， 所以的中点的横坐标为. 再联立，解得，再由，解得. 所以的中点的横坐标为，与的中点的横坐标相同，且P，Q，S，T都在直线l上. 所以与的中点重合，根据中点的性质可得. 故（2）正确； ③在中，，，设，，则. 因直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，且. 所以，， . 所以. 故（3）正确； ④设内切圆半径为r，设，，则.， 所以. 同理. 所以 由，， 所以， 因，所以，得，， 所以.所以内切圆半径取值范围为. 故（4）正确. 故答案为：（1）（2）（3）（4）. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【小问1详解】 由抛物线的性质，，故抛物线. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 16. 已知双曲线E:的渐近线方程为，焦距为，作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为的中点. （1）求双曲线E的方程； （2）求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由双曲线的渐近线方程为，焦距为，求出，从而得到双曲线的方程. (2) 设,则，设出直线的方程与双曲线方程联立，韦达定理可求出直线方程. 【详解】（1）由双曲线E:的渐近线方程为：. 又双曲线E的渐近线方程为. 所以又焦距为，即所以. 又在双曲线中. 解得. 双曲线E的方程为. （2）设, 设直线l方程为：. 由，得 ∴ …① ∴， 由为的中点，得解得， 当时满足① ∴直线l的方程为，即 【点睛】本题考查双曲线方程的求法,考查直线与双曲线相交的中点弦问题，属于中档题. 17. 已知抛物线上的点到焦点的距离为4． （1）求的值； （2）设是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1），； （2）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦半径公式直接求出p，把代入再求t； （2）设直线的方程为，，.利用“设而不求法”求出直线过定点． 【小问1详解】 由抛物线的定义得，，解得. 所以抛物线的方程为，代入点，可解得． 【小问2详解】 易得斜率不为0，设直线的方程为，，. 因为是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，所以. 联立消元得，则，， 由，得，所以或（舍去）， 即，即，所以直线的方程为， 所以直线过定点． 18. 已知椭圆的左顶点为，左焦点为，下顶点为，若椭圆C的长轴是短轴的倍，且（O为坐标原点） （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与曲线C相交于A、B两点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可； （2）设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，，由得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意知：，设，， 联立得， ，即， ，， 所以， ，，满足， ， 又点到直线的距离， ， 把代入上式得： 的面积为. 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E． （1）求椭圆C的方程； （2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由； （3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在，（﹣3，0） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程． （2）直线l的方程为y＝k（x+4），与椭圆联立，得，，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果． （3）OM的方程可设为y＝kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果． 【小问1详解】 ∵椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，左顶点为A（，）， ∴a＝4， 又， ∴c＝2． 又∵b2＝a2﹣c2＝12， ∴椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 直线l的方程为y＝k（x+4）， 由消元得，． 化简得，， ∴x1＝﹣4，， 当时，， ∴． ∵点P为AD的中点， ∴P的坐标为， 则． 直线l的方程为y＝k（x+4），令x＝0，得E点坐标为（0，4k）， 假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ， 则kOP kEQ＝ ，即恒成立， ∴（4m+12）k﹣3n＝0恒成立， ∴，即， ∴定点Q的坐标为（﹣3，0）． 【小问3详解】 ∵OM∥l， ∴OM的方程可设为y＝kx， 由，得M点的横坐标为， 由OM∥l，得， ， 当且仅当即时取等号， ∴当时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2025~2026学年第一学期 高二年级第一次月考数学试题 注意：本试题共4页，四道大题. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 当变动时，曲线不可能表示的图形是（ ） A. 焦点在y轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 抛物线 D. 圆 4. 若实数满足，则曲线与曲线的（ ） A. 离心率相等 B. 虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D. 焦距相等 5. 已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 A. B. C. D. 6. 直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. 8. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与虚轴长相等 B. 与焦距相等 C. 与离心率相等 D. 与渐近线相同 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，，若以为圆心，为半径作圆，过双曲线右支上一点P作圆的切线，切点为T，且的最小值不大于，则双曲线的离心率e的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数由方程确定，关于函数下列结论中错误的是（ ） A. 存在，，使得成立； B. ，使得且同时成立； C. 对于任意，恒成立； D. 对任意，，都有恒成立． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的坐标为________． 13. 设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 14. 双曲线的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是________（写出所有正确的序号） （1）P到两条渐近线的距离之积为2 （2）当直线l运动时，始终有 （3）在中， （4）内切圆半径取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 16. 已知双曲线E:的渐近线方程为，焦距为，作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为的中点. （1）求双曲线E的方程； （2）求直线l的方程. 17. 已知抛物线上的点到焦点的距离为4． （1）求的值； （2）设是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 18. 已知椭圆的左顶点为，左焦点为，下顶点为，若椭圆C的长轴是短轴的倍，且（O为坐标原点） （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与曲线C相交于A、B两点，且，求的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E． （1）求椭圆C的方程； （2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由； （3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $