精品解析：陕西省西安市新城区西光中学教育集团 2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

西安市西光中学教育集团2025-2026学年第一学期初三年级第一次月考数学试题 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B． 方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； C． 方程含两个未知数和，不是一元方程，故此选项不符合题意； D． 方程未明确，当时不是二次方程，因此不满足条件，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件可使的ABCD为菱形的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】添加∠AOD=90°，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，证明ABCD为菱形． 【详解】A. ABCD是矩形 B. 四边形ABCD为平行四边形 ，这是平行四边形的性质 C. 四边形ABCD为平行四边形 ，这是平行四边形的性质 D. ABCD为菱形 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形． 3. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方方法，关键是一次项系数一半的平方． 通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解： 移项得：， 配方：两边加上一次项系数一半的平方，即， ∴， 即， 故选 D． 4. 下列各组线段长度可组成成比例的是（ ） A. B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C． ，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查比例线段，掌握成比例线段的定义和特征为解题关键． 5. 如图，某园林公司计划将一块长200m、宽80m的矩形荒地改造成绿色公园，公园内部修建四条宽度相等的石板路，余下区域（阴影部分）种植植被．若要使种植植被区域的面积占整个公园总面积的90%，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 根据矩形的面积公式结合种植植被区域的面积占整个公园总面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程. 【详解】解：设小路的宽为x米，则种植植被区域的面积相当于长为米，宽为米的矩形面积， ∴， 故选：A． 6. 在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，设出，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 10. 已知，那么的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 11. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，设袋中红球约有个，由题意可得，据此即可求解，掌握随着实验次数的增大时，事件出现的频率稳定在事件发生的概率附近是解题的关键． 【详解】解：设袋中红球约有个， 由题意得，， 解得， ∴袋中红球约有个， 故答案为：． 12. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 13. 如图，在正六边形中，为对称中心，连接对角线，过点，若在线段上有定点使得，已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正六边形，含有特殊角的直角三角形．连接，过作于．易求，从而可得到其他角度，设，用表示出，根据求出，从而可求． 【详解】解：如图，连接，过作于： ∵六边形是正六边形， ∴其内角为， 则， 设，则， 又∵， ∴， ∴， 易知是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，共81分） 14. 解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解，然后再在数轴上表示解集即可． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式的解集为， 15. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把原方程整理得，再运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：原方程整理得， ∴， ∴， 则，即 ， ，． 17. 已知两线段，长度分别为a和b，根据要求作图，尺规作图作菱形，使边长为a，一条对角线长为b． 【答案】 菱形即为所求： 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的判定是关键． 先作，使得，再分别以为圆心，线段的长度为半径画弧相交于点C，连接即可. 【详解】略 18. 如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，． 在和中， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】略 19. 创文创卫，就是创建“全国文明城市”和创建“国家卫生城市”．某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了文明礼仪、环境保护、卫生保洁、垃圾分类四个主题（依次用表示），每个学生选一个主题参与． （1）张宇从四个主题中随机选择一个，求他参与文明礼仪的概率； （2）李静和周凯分别从四个主题中随机选择一个，求他们选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，熟练掌握概率意义，画树状图法或列表法计算概率，是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即得； （2）利用列表法求出李静和周凯分别从四个主题中随机选择一个，选择不同主题的概率即可． 【小问1详解】 解：（1）从四个主题中随机选择一个， ． 【小问2详解】 解：列表如下： 李静 周凯 A A 由表可得，共有16种等可能的结果，其中他们选择不同主题的结果有12种， ． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 21. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 【答案】边框内外边缘所围成的两个矩形不相似 【解析】 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． 【详解】解：∵矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵外框外边缘所围成的矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵，对应边不成比例， ∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似． 23. 京东销售一种每件成本为50元的座椅，当每件座椅的售价为90元时，每天可卖出20件 ．经市场调查发现：该座椅的售价每降低1元，则平均每天的销售量可增加2件． （1）若该座椅的售价为每件x元，平均每天的销售量为y件，请写出y与x的关系式； （2）如果京东在该座椅上每天要获利1200元，那么这种座椅每件售价应是多少元? 【答案】（1） （2）当每件售价为70元或80元时，每天销售利润达到1200元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列出y关于x的函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用每天的销售量每件降低的价格，即可得出y关于x的函数解析式； （2）利用总利润=每件的销售利润×日销售量，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当每件售价为70元或80元时，每天销售利润达到1200元． 24. 如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 【答案】（1） 证明：连接相交于点O， 点分别是四边形各边的中点， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可； （2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点分别是四边形各边的中点， ， 矩形的周长为12，面积为7， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 25. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】（1）②④ （2）①，②， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 26. 如图1，已知正方形的边长为4，点E，F分别是，上的动点，满足，连接点，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接与交于点H，恰好点G是的中点． ①求的长； ②如图3，点P为上一点，，垂足为点Q，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可知，，证明，可知，即，即可证明； （2）①由勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得到，根据正方形的性质得到，进而得到，由可知，根据等角对等边得到，可得，进而计算即可； ②作，垂足为点K，根据等腰三角形三线合一可知平分，根据角平分线的性质可知，即，则当点H，P，K三点共线时，的值最小，最小值为，由正方形的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； ②作，垂足为点K， ∵，， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴， ∴当点H，P，K三点共线时，的值最小， 此时，的最小值为， ∵是正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学教育集团2025-2026学年第一学期初三年级第一次月考数学试题 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件可使的ABCD为菱形的是　　 A. B. C. D. 3. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段长度可组成成比例的是（ ） A. B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 如图，某园林公司计划将一块长200m、宽80m的矩形荒地改造成绿色公园，公园内部修建四条宽度相等的石板路，余下区域（阴影部分）种植植被．若要使种植植被区域的面积占整个公园总面积的90%，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 7. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 8. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 10. 已知，那么的值是 _____． 11. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个． 12. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 13. 如图，在正六边形中，为对称中心，连接对角线，过点，若在线段上有定点使得，已知，则的长为______． 三、解答题（共13小题，共81分） 14. 解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来． 15. 解方程：． 16. 解方程：． 17. 已知两线段，长度分别为a和b，根据要求作图，尺规作图作菱形，使边长为a，一条对角线长为b． 18. 如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 19. 创文创卫，就是创建“全国文明城市”和创建“国家卫生城市”．某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了文明礼仪、环境保护、卫生保洁、垃圾分类四个主题（依次用表示），每个学生选一个主题参与． （1）张宇从四个主题中随机选择一个，求他参与文明礼仪的概率； （2）李静和周凯分别从四个主题中随机选择一个，求他们选择不同主题的概率． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 22. 如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 23. 京东销售一种每件成本为50元的座椅，当每件座椅的售价为90元时，每天可卖出20件 ．经市场调查发现：该座椅的售价每降低1元，则平均每天的销售量可增加2件． （1）若该座椅的售价为每件x元，平均每天的销售量为y件，请写出y与x的关系式； （2）如果京东在该座椅上每天要获利1200元，那么这种座椅每件售价应是多少元? 24. 如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 25. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 26. 如图1，已知正方形的边长为4，点E，F分别是，上的动点，满足，连接点，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接与交于点H，恰好点G是的中点． ①求的长； ②如图3，点P为上一点，，垂足为点Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $