函数的值域与最值 讲义-2026届高三数学一轮复习

函数的值域与最值 课前必备知识 课标要求 1.掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值.2.建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题． 知识梳理 1．函数的值域 值域是__函数值__的取值范围，它是由__定义域和对应关系__所确定的，所以求值域时要注意__定义域__． 2．函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 设函数f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 (1)∀x∈D，都有__f(x)≤M__； ∃x0∈D，使得__f(x0)＝M__ (2)∀x∈D，都有__f(x)≥M__； ∃x0∈D，使得__f(x0)＝M__ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 3.求函数值域或最值的常用方法 求函数的值域与最值没有通用的方法，要根据问题的不同特点，综合而灵活地运用各种方法求解．常见的方法有： (1)配方法——常用于二次型函数； (2)分离常数法——常用于分式型函数，且分子次数不低于分母次数； (3)不等式法——常用于函数是n项的和或积的形式； (4)换元法、数形结合法以及利用函数的单调性法等． 常用结论 1．基本函数的值域 (1)一次函数y＝kx＋b (k≠0)的值域为__R__． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域： 当a＞0时，值域为__[，＋∞)__； 当a＜0时，值域为__(－∞，]__． (3)反比例函数y＝(x≠0)的值域为y∈R，且__y≠0__． (4)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__． (5)对数函数y＝logax (a＞0，且a≠1，x＞0)的值域为__R__． (6)正、余弦函数的值域为__[－1，1]__，正切函数的值域为__R__． 2．若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B. 课前训练 1．已知函数f(x)的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f(x)≥M；q：M是函数f(x)的最小值，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数y＝的值域是(　　) A．R B．{y|y≠－1，y∈R} C．{y|y≠2，y∈R} D．{2} 3．(教材母题必修3.2例5改编)设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝(　　) A．4 B．6 C．10 D．24 4．(2024·北京卷)若函数f(x)＝的值域为(0，＋∞)，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1] B．(－1，0) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 5．已知x∈[－3，－1]，则函数y＝x＋＋2的最大值为________，最小值为________． 课堂核心考点 变式训练 考点1　求函数的值域或最值 【例1】 (1)下列函数中最小值为6的是(　　) A．y＝x2＋2x＋6 B．y＝|cos x|＋ C．y＝3x＋ D．y＝ln x＋ (2)已知函数f(x)＝x＋(a>0). (ⅰ)当a＝1，x∈(0，＋∞)时，则函数f(x)的值域为________； (ⅱ)当a＝2，x∈[1，3]时，则函数f(x)的最大值为________． (3)函数f(x)＝的值域为(　　) A．[－，] B．[－，0] C．[0，1] D．[0，] (ⅰ)根据函数的图象可得f(x)的值域为[2，＋∞). (ⅱ)根据函数的图象可得f(x)在[1，2)上为减函数，在[2，3]上为增函数，所以f(x)max＝max{f(1)，f(3)}＝5. (3)C　令x＝cos θ，θ∈[0，π]， 则f(x)＝g(θ)＝，其几何意义是单位圆(在x轴及其上方)上的动点M(cos θ，sin θ)与点A(2，1)连线的斜率k，由图象得0≤k≤1，即函数f(x)的值域为[0，1]，故选C. (1)求函数的值域、最值的常用方法： ①配方法——转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法． ②分离常数法——分式型函数常用此法． ③利用函数的单调性． ④利用基本不等式． ⑤换元法——对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响． (2)求函数的值域时，应先考虑定义域，运用换元法时，要注意换元前后变量的取值范围． 变式探究 1．函数y＝(x>1)的值域是____________． 2．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　) A．F(x)的最大值为3，最小值为1 B．F(x)的最大值为2－2，无最小值 C．F(x)的最大值为7－2，无最小值 D．F(x)的最大值为3，最小值为－1 3．已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域是(1，4]，值域是[3，＋∞)，设函数f(x)的定义域是A，值域是B，则A∩B＝(　　) A．∅ B．[4，7] C．[2，7] D．[2，] 考点2　函数最值的综合应用 【例2】 (1)(2024·河北保定期中)设函数f(x)＝(2≤x≤a)，其中实数a>2.若f(x)的值域是[9，11]，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，4] B．[4，6] C．(2，8] D．[4，8] (2)设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则实数a的一个取值为________；实数a的最大值为________. (1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域． (2)函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域．最值可由值域得到，但我们也要重视最值的概念，注意检验是否具备取得最值的条件． (3)函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式、立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题． 变式探究 4．已知函数f(x)＝ax－＋(a>0)，且f(x)在(0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为______． 5．(2024·厦门模拟)已知函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，] B．[1，2) C．(0，] D．[，＋∞) 考点3　恒成立问题 【例3】 (1)已知函数f(x)＝若对任意的x∈(t2－4，t2)，不等式f(x＋t)<4f(x)恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(0，1) B．[0，1] C．(，) D．[，] (2)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，] B．(－∞，] C．(－∞，] D．(－∞，] 变式探究 6．已知函数f(x)＝ex＋ae-x，若f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________. 7．若对任意x∈R，不等式3x2－2ax≥|x|－恒成立，则实数a的取值范围是______________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的值域与最值 课前必备知识 课标要求 1.掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值.2.建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题． 知识梳理 1．函数的值域 值域是__函数值__的取值范围，它是由__定义域和对应关系__所确定的，所以求值域时要注意__定义域__． 2．函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 设函数f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 (1)∀x∈D，都有__f(x)≤M__； ∃x0∈D，使得__f(x0)＝M__ (2)∀x∈D，都有__f(x)≥M__； ∃x0∈D，使得__f(x0)＝M__ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 3.求函数值域或最值的常用方法 求函数的值域与最值没有通用的方法，要根据问题的不同特点，综合而灵活地运用各种方法求解．常见的方法有： (1)配方法——常用于二次型函数； (2)分离常数法——常用于分式型函数，且分子次数不低于分母次数； (3)不等式法——常用于函数是n项的和或积的形式； (4)换元法、数形结合法以及利用函数的单调性法等． 常用结论 1．基本函数的值域 (1)一次函数y＝kx＋b (k≠0)的值域为__R__． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域： 当a＞0时，值域为__[，＋∞)__； 当a＜0时，值域为__(－∞，]__． (3)反比例函数y＝(x≠0)的值域为y∈R，且__y≠0__． (4)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__． (5)对数函数y＝logax (a＞0，且a≠1，x＞0)的值域为__R__． (6)正、余弦函数的值域为__[－1，1]__，正切函数的值域为__R__． 2．若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B. 课前训练 1．已知函数f(x)的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f(x)≥M；q：M是函数f(x)的最小值，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　对∀x∈R，都有f(x)≥M⇏M是函数f(x)的最小值；M是函数f(x)的最小值⇒对∀x∈R，都有f(x)≥M. 所以p是q的必要不充分条件．故选B. 2．函数y＝的值域是(　　) A．R B．{y|y≠－1，y∈R} C．{y|y≠2，y∈R} D．{2} 解析：C　因为y＝＝＝2－， 又因为－≠0，所以2－≠2，即y≠2.故选C. 3．(教材母题必修3.2例5改编)设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝(　　) A．4 B．6 C．10 D．24 解析：C　因为f(x)＝＝2＋，所以f(x)在[3，4]上是减函数． 所以m＝f(4)＝4，M＝f(3)＝6.所以M＋m＝6＋4＝10.故选C. 4．(2024·北京卷)若函数f(x)＝的值域为(0，＋∞)，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1] B．(－1，0) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：D　当x<1时，函数f(x)＝－x＋2在(－∞，1)上单调递减，f(x)在(－∞，1)上的值域是(1，＋∞)， 因为函数f(x)在R上的值域是(0，＋∞)， 则函数f(x)＝在[1，＋∞)上的值域包含(0，1]， 显然a>0，否则当x≥1时，≤0，不符合题意， 于是函数f(x)＝在[1，＋∞)上单调递减，其值域为(0，a]，因此(0，1]⊆(0，a]，则a≥1， 所以实数a的取值范围为[1，＋∞).故选D. 5．已知x∈[－3，－1]，则函数y＝x＋＋2的最大值为________，最小值为________． 解析：－2　－3 函数y＝x＋＋2在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减， 当x∈[－3，－1]时，函数y＝x＋＋2在[－3，－2]上单调递增，在[－2，－1]上单调递减， 即当x＝－2时，ymax＝－2，而当x＝－3时，y＝－，当x＝－1时，y＝－3，则ymin＝－3， 所以函数y＝x＋＋2的最大值为－2，最小值为－3. 课堂核心考点 变式训练 考点1　求函数的值域或最值 【例1】 (1)下列函数中最小值为6的是(　　) A．y＝x2＋2x＋6 B．y＝|cos x|＋ C．y＝3x＋ D．y＝ln x＋ (2)已知函数f(x)＝x＋(a>0). (ⅰ)当a＝1，x∈(0，＋∞)时，则函数f(x)的值域为________； (ⅱ)当a＝2，x∈[1，3]时，则函数f(x)的最大值为________． (3)函数f(x)＝的值域为(　　) A．[－，] B．[－，0] C．[0，1] D．[0，] 解析：(1)C　对于A，y＝x2＋2x＋6＝(x＋1)2＋5，最小值为5，故错误； 对于B，令t＝|cos x|∈(0，1]，则y＝t＋在(0，1]上单调递减，其最小值为10，故错误； 对于C，y＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时，等号成立，故正确； 对于D，当0<x<1时，ln x<0，显然不成立，故错误．故选C. (2)(ⅰ)[2，＋∞)　(ⅱ)5　函数f(x)的图象如下： (ⅰ)根据函数的图象可得f(x)的值域为[2，＋∞). (ⅱ)根据函数的图象可得f(x)在[1，2)上为减函数，在[2，3]上为增函数，所以f(x)max＝max{f(1)，f(3)}＝5. (3)C　令x＝cos θ，θ∈[0，π]， 则f(x)＝g(θ)＝，其几何意义是单位圆(在x轴及其上方)上的动点M(cos θ，sin θ)与点A(2，1)连线的斜率k，由图象得0≤k≤1，即函数f(x)的值域为[0，1]，故选C. (1)求函数的值域、最值的常用方法： ①配方法——转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法． ②分离常数法——分式型函数常用此法． ③利用函数的单调性． ④利用基本不等式． ⑤换元法——对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响． (2)求函数的值域时，应先考虑定义域，运用换元法时，要注意换元前后变量的取值范围． 变式探究 1．函数y＝(x>1)的值域是____________． 解析：[0，＋∞)　因为x>1，则x－1>0， 可得y＝ ＝(x－1)＋－2 ≥2－2＝0， 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以函数的值域为[0，＋∞). 2．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　) A．F(x)的最大值为3，最小值为1 B．F(x)的最大值为2－2，无最小值 C．F(x)的最大值为7－2，无最小值 D．F(x)的最大值为3，最小值为－1 解析：C　在同一坐标系中先作出f(x)＝3－2|x|与g(x)＝x2－2x的图象，然后根据定义作出F(x)的图象(图中实线部分). 由图象可知，当x<0时，y＝F(x)取得最大值，由3－2|x|＝x2－2x得x＝2－或x＝2＋(舍去)，此时函数F(x)有最大值3＋2(2－)＝7－2，无最小值．故选C. 3．已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域是(1，4]，值域是[3，＋∞)，设函数f(x)的定义域是A，值域是B，则A∩B＝(　　) A．∅ B．[4，7] C．[2，7] D．[2，] 解析：C　因为g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域是(1，4]，值域是[3，＋∞)， 所以f(2x－1)的定义域是(1，4]，值域是[2，＋∞). 由1＜x≤4得1＜2x－1≤7，所以f(x)的定义域是(1，7]，值域是[2，＋∞)， 则A＝(1，7]，B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2，7].故选C. 考点2　函数最值的综合应用 【例2】 (1)(2024·河北保定期中)设函数f(x)＝(2≤x≤a)，其中实数a>2.若f(x)的值域是[9，11]，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，4] B．[4，6] C．(2，8] D．[4，8] (2)设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则实数a的一个取值为________；实数a的最大值为________. 解析：(1)D　函数f(x)＝＝x＋＋1，由对勾函数的性质可知，f(x)在[2，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，且注意到f(2)＝11，f(4)＝9，f(8)＝11， 所以所求实数a的取值范围是[4，8].故选D. (2)0(答案不唯一)　1　若a＝0，f(x)＝所以f(x)min＝0. 若a<0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求． 若a>0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)>f(a)＝－a2＋1， 当x≥a时，f(x)min＝ 所以－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2， 解得0<a≤1. 综上可得0≤a≤1，所以实数a的最大值为1. (1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域． (2)函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域．最值可由值域得到，但我们也要重视最值的概念，注意检验是否具备取得最值的条件． (3)函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式、立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题． 变式探究 4．已知函数f(x)＝ax－＋(a>0)，且f(x)在(0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为______． 解析：2　f(x)＝ax－＋(a>0)，所以f(x)在(0，1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝a＋， 所以g(a)＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号，所以g(a)的最小值为2. 5．(2024·厦门模拟)已知函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，] B．[1，2) C．(0，] D．[，＋∞) 解析：C　若对∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立， 只需函数y＝g(x)的值域为函数y＝f(x)的值域的子集即可． 函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]的值域为[－1，3]. 当a>0时，g(x)＝ax＋2单调递增，由x∈[－1，2]可得其值域为[2－a，2＋2a]， 要使[2－a，2＋2a]⊆[－1，3]， 需解得0<a≤， 综上，实数a的取值范围为(0，].故选C. 考点3　恒成立问题 【例3】 (1)已知函数f(x)＝若对任意的x∈(t2－4，t2)，不等式f(x＋t)<4f(x)恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(0，1) B．[0，1] C．(，) D．[，] (2)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，] B．(－∞，] C．(－∞，] D．(－∞，] 解析：(1)B　函数f(x)＝由二次函数的图象和性质可知， 当x<0时，f(x)为减函数，且f(x)>0；当x≥0时，f(x)为减函数，且f(x)≤0， 所以f(x)在R上为减函数． 当x<0时，f(2x)＝(2x)2＝4x2＝4f(x)； 当x≥0时，f(2x)＝－(2x)2＝－4x2＝4f(x)， 所以4f(x)＝f(2x)，不等式f(x＋t)<4f(x)等价于f(x＋t)<f(2x)， 则x＋t>2x在x∈(t2－4，t2)上恒成立，即t>x在x∈(t2－4，t2)上恒成立， 得t≥t2，解得0≤t≤1.故选B. (2)B　因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－1). 因为x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)∈[－，0]. 所以x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈[－，0]； 所以x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0]， 函数f(x)的大致图象如图． 当x∈(2，3]时，由4(x－2)(x－3)＝－，解得x1＝，x2＝， 若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m≤. 则实数m的取值范围是(－∞，].故选B. (1)恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B. (2)含参数问题的处理常采用分离变量法，分离变量后，转化为函数的最值问题． 变式探究 6．已知函数f(x)＝ex＋ae-x，若f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________. 解析：[3，＋∞) 由已知得ex＋≥2恒成立， 即a≥－(ex)2＋2ex恒成立， 因此a≥(－(ex)2＋2ex)max. 令g(x)＝－(ex)2＋2ex＝－(ex－)2＋3， 当ex＝，即x＝ln 时，g(x)max＝3，所以a≥3. 故实数a的取值范围是[3，＋∞). 7．若对任意x∈R，不等式3x2－2ax≥|x|－恒成立，则实数a的取值范围是______________． 解析：[－1，1]　已知3x2－2ax≥|x|－⇔2ax≤3x2－|x|＋. 当x>0时，2a≤(3x－1＋)min， 而3x－1＋＝3x＋－1≥2－1＝2，当且仅当x＝时等号成立， 所以2a≤2，即a≤1. 当x＝0时，不等式恒成立． 当x<0时，2a≥(3x＋1＋)max， 而3x＋1＋＝1－[(－3x)＋(－)]≤－2，当且仅当x＝－时等号成立，所以2a≥－2，即a≥－1. 综上所述，－1≤a≤1，故实数a的取值范围是[－1，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $