函数的值域与最值 一题多变系列讲义-2026届高三数学一轮复习

专题03 函数的值域与最值(一题多变) 【典例展示】(1)已知关于x的函数的定义域为D,若存在区间,使得的值域也是,则当t变化时,的最大值是_. (2)已知,,且,求的最值. 【思路分析】 解答(1)题,应通过确定函数的值域,结合已知条件,确定的表达式,进一步求其最值.具体的,由于函数的单调性较为明确,故根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b满足的方程.此方程有两个相异实根,由且得出t的取值范围,由韦达定理得到关于t的二次函数,运用配方法求最值. 对于第(2)题,求二元函数的最值,常用消元法化归为一元函数来处理.思路一,利用代入法,将转化成二次函数在指定范围的值域;思路二,利用数形结合思想,把可看作线段上的点与原点的距离, 【精细解析】(1)是,上单调递增函数,有或. 由单调性及题设得即a、b是方程在或上的两个不相等的实数根. 即满足且,得且, ∴. 当时,取得最大值,,又,故 (2)解法一由. ∴, 在内递减,在内递增,显然有,. 解法二(几何法)可看作线段上的点与原点的距离, 易得,故,. 【题后反思】本题均与“二次”问题相关,易于使人联想配方法、判别式法,但对于(1)题,需首先根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b满足的方程.再由且得出t的取值范围,由韦达定理得到关于t的二次函数,运用配方法求最值. 对于第(2)题,从数的角度出发,易于想到代入消元法.而对于解法二,则需牢固树立数形结合的转化意识,从“形”的角度出发,化数的问题为“形”的问题,化抽象为直观. 【追根溯源】 一、在函数中,自变量x对应的函数值的集合叫做函数的值域. 二、函数在处的函数值是,如果对于定义域内任意x,不等式恒成立,那么就是函数的最小值,记作;如果对于定义域内任意x,不等式恒成立,那么就是函数的最大值,记作. 三、求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的,解法也是相通的.这类数学问题的技巧性较强,且常常可以一题多解,解题的关键在于变更问题和构造模型,常用的方法主要有以下几种: 1.配方法 适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数,要特别注意自变量的取值范围. 2.判别式法 适用于可化为关于x的二次方程的函数,由,求出y的取值范围,要检验函数的这个最值在定义域内是否有相应的x值. 3.均值不等式法 利用均值不等式求函数值域或最值时,一定要注意满足“一正二定三相等”的原则. 4.换元法 根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换,常可以使解析式复杂的问题转化为简单易求解的问题.当然,用换元法求函数值域或最值时,要注意新变量的取值范围. 5.数形结合法 从理解或构造函数的几何意义着手,看能否与距离、斜率及对称问题等相通. 6.函数单调性质法 利用函数在相应区间上的单调性,由于值域或最值是对函数的总体而言.若需对问题分段讨论,最后必须加以整合. 7.导数法 设的导数为,由的符号确定区间上的单调性,由可求得极值点坐标,若函数定义域为,则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值. 在实际数学问题中,求函数的最值或值域,提问的角度不同,解答方式也会有所差异,求函数最值时也要注意函数的定义域,若定义域为开区间,则在区间端点不可能出现最值. 【变化角度】改变函数的表达形式,通过等价变形“构造”二次型函数,应用配方法求解. 求函数的值域. 【思路分析】本题是分式函数,分子分母是“同次”的,因此可以通过分子、分母同除以x,是分子为常数,只需讨论分母的“值域”,如解法一;另外注意到分母为根式,且可以变形为,联想同角三角函数公式,而运用“三角换元法”,将问题转化成求三角函数的值域,即解法二. 【详解】解法一(分类讨论法)当时; 当时,,由知 ,∴; 当时,. ∵.∴. 综上所述,函数的值域为. 解法二(换元法)∵, 故可设,. 于是. 由,知.∴ 【变换角度】改变所求二元表达式的结构,利用均值不等式求函数的最值. 已知,,且,求xy的最小值. 【思路分析】根据限制条件,有两种思路,思路一直接从限制条件入手,应用均值不等式,求得最小值. 思路二,从限制条件出发,应用代入消元的方法,将问题转化成“一元函数”-分式函数,利用“分离常数法”,创造应用均值不等式的条件求最值.如果在“分离常数”后,应用“对勾函数”的单调性,也是一种可行的方法. 思路三,代入消元转化成一元分式函数后,应用判别式法. 【详解】解法一:(圴值不等式法),,,∴,解得,当且仅当且,即,时,xy有最小值6. 解法二:(消元后配凑运用均值不等式)由得, ∴. 即. ∵,∴,当且仅当,即为时等号成立,此时. 解法三:(判别式法)由解法二知,令,整理得, 此方程有大于1的根的必要条件是. ∵,.反之当时,方程的两根都大于1.故(此时,). 【变换角度】改变分式函数分子、分母的次数,应用“化部分分式法”转化求解. 设为常数,求函数的最小值. 【思路分析】 本题分子参数高于分母次数,因此采用“化部分分式法”,转化应用均值不等式或“对勾函数”的单调性求解. 【详解】, 当且仅当,即时等号成立. 当时,,时,, 当时,不成立.此时,令,.由单调性的定义可以证 明是上的增函数.∴当,即时,. 综上,当时,;当时,. 【变换角度】变具体函数为抽象函数关系式,与求函数解析式与求函数值域综合考查. 已知函数满足,求的值域. 【思路分析】首先利用函数方程法,将f(x)作为一个未知数来考虑,通过给自变量“赋值”,建立方程(组),消去另外的未知数得到.接下来可采用判别式法或基本不等式法求其值域. 【详解】. ① 用替代,得.② ① 2+②,得,整理得.③ ( )用判别式法求③的值域:令.∵且. 故. ∴或,的值域为. ( )用基本不等式求③的值域:当时, ∵,∴,即; 当时, ,,则.∴,即. ∴的值域为. (2024高三 全国 专题练习) 1.函数的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【分析】设(),则函数等价于,,结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设,,则, 则函数等价于,, ∵在上是增函数,. ∴函数的最小值是3. 故选:A. (2024 湖南岳阳 三模) 2.已知函数,不存在最小值,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分别在条件下结合指数函数单调性及二次函数性质,确定函数的取值规律,由条件列不等式求的范围,可得结论. 【详解】(1)当时,若,则, 因为函数在上单调递增,所以, 若,则,当且仅当时取等号, 因为不存在最小值, 所以,所以, (2)当时,若,则, 因为函数在上单调递增,所以, 若,则,当且仅当时取等号, 因为不存在最小值, 所以,所以, 所以实数的取值范围是, 故选:C. (22-23高一上 陕西西安 期末) 3.已知正实数满足则的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设,则,代入已知等式,化为关于x的方程,由判别式非负,解得t的最大值. 【详解】设,则, 因为, 所以,即:, 所以, 解得:, 又因为,为正实数, 所以, 所以的最大值为. 故选:C. (2024高三 全国 专题练习) 4.(多选)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则实数m的取值范围可以是( ) A.[0,4] B.[,2] C.[,2] D.[1,2] 【答案】BC 【详解】 ∵ y=x2-3x-4=(x-)2-,作出函数y=x2-3x-4在区间[0,m]上的图象如图所示.由图象可知,当x=时,ymin=-.令y=x2-3x-4=-4得出x=0或x=3.当0<m<时,函数y=x2-3x-4在区间[0,m]上单调递减,此时ymin=m2-3m-4>-,不符合题意;当≤m≤3时,且当x∈[0,m]时,由图象可知ymin=-,ymax=-4,符合题意;当m>3时,且当x∈[0,m]时,由图象可知ymin=-,ymax=m2-3m-4>-4,不符合题意.综上所述,实数m的取值范围是[,3].故选BC. (2024高三 全国 专题练习) 5.已知函数在上的最大值比最小值大,则 . 【答案】1 【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知在上单调减,在上单调递增,分和两种情况讨论,求出最值即可求解. 【详解】, 所以为奇函数,且在上的最大值比最小值大, 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减,在上单调递增. 当时,即时,在上单调递增. 则, 解得. 当时,即时,在上单调递减,在上单调递增. , 因为,所以, 所以, 解得(舍去)或9(舍去). 综上, 故答案为:1 (2021高三 全国 专题练习) 6.若x,y为实数且满足,试分别求x、y的最值. 【答案】,. 【分析】由题可整理成关于x或y的一元二次方程,然后利用判别式法即求. 【详解】由已知变形得,, 则,即有, 于是,即,即; 同理可得,,, 则,即有, 于是,即, . 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题03 函数的值域与最值（一题多变） 【典例展示】（1）已知关于x的函数的定义域为D，若存在区间，使得的值域也是，则当t变化时，的最大值是______． （2）已知，，且，求的最值． 【思路分析】 解答（1）题，应通过确定函数的值域，结合已知条件，确定的表达式，进一步求其最值.具体的，由于函数的单调性较为明确，故根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b满足的方程．此方程有两个相异实根，由且得出t的取值范围，由韦达定理得到关于t的二次函数，运用配方法求最值． 对于第（2）题，求二元函数的最值，常用消元法化归为一元函数来处理.思路一，利用代入法，将转化成二次函数在指定范围的值域；思路二，利用数形结合思想，把可看作线段上的点与原点的距离， 【精细解析】（1）是，上单调递增函数，有或． 由单调性及题设得即a、b是方程在或上的两个不相等的实数根． 即满足且，得且， ∴． 当时，取得最大值，，又，故 （2）解法一由． ∴， 在内递减，在内递增，显然有，． 解法二（几何法）可看作线段上的点与原点的距离， 易得，故，． 【题后反思】本题均与“二次”问题相关，易于使人联想配方法、判别式法，但对于（1）题，需首先根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b满足的方程．再由且得出t的取值范围，由韦达定理得到关于t的二次函数，运用配方法求最值． 对于第（2）题，从数的角度出发，易于想到代入消元法.而对于解法二，则需牢固树立数形结合的转化意识，从“形”的角度出发，化数的问题为“形”的问题，化抽象为直观. 【追根溯源】 一、在函数中，自变量x对应的函数值的集合叫做函数的值域． 二、函数在处的函数值是，如果对于定义域内任意x，不等式恒成立，那么就是函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意x，不等式恒成立，那么就是函数的最大值，记作． 三、求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的，解法也是相通的．这类数学问题的技巧性较强，且常常可以一题多解，解题的关键在于变更问题和构造模型，常用的方法主要有以下几种： 1．配方法 适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2．判别式法 适用于可化为关于x的二次方程的函数，由，求出y的取值范围，要检验函数的这个最值在定义域内是否有相应的x值． 3．均值不等式法 利用均值不等式求函数值域或最值时，一定要注意满足“一正二定三相等”的原则． 4．换元法 根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换，常可以使解析式复杂的问题转化为简单易求解的问题．当然，用换元法求函数值域或最值时，要注意新变量的取值范围． 5．数形结合法 从理解或构造函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率及对称问题等相通． 6．函数单调性质法 利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言．若需对问题分段讨论，最后必须加以整合． 7．导数法 设的导数为，由的符号确定区间上的单调性，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值． 在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求函数最值时也要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值． 【变化角度】改变函数的表达形式，通过等价变形“构造”二次型函数，应用配方法求解. 求函数的值域. 【思路分析】本题是分式函数，分子分母是“同次”的，因此可以通过分子、分母同除以x，是分子为常数，只需讨论分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母为根式，且可以变形为，联想同角三角函数公式，而运用“三角换元法”，将问题转化成求三角函数的值域，即解法二. 【详解】解法一（分类讨论法）当时； 当时，，由知 ，∴； 当时，． ∵．∴． 综上所述，函数的值域为． 解法二（换元法）∵， 故可设，． 于是． 由，知．∴ 【变换角度】改变所求二元表达式的结构，利用均值不等式求函数的最值. 已知，，且，求xy的最小值． 【思路分析】根据限制条件，有两种思路，思路一直接从限制条件入手，应用均值不等式，求得最小值. 思路二，从限制条件出发，应用代入消元的方法，将问题转化成“一元函数”--分式函数，利用“分离常数法”，创造应用均值不等式的条件求最值.如果在“分离常数”后，应用“对勾函数”的单调性，也是一种可行的方法. 思路三，代入消元转化成一元分式函数后，应用判别式法. 【详解】解法一：（圴值不等式法），，，∴，解得，当且仅当且，即，时，xy有最小值6． 解法二：（消元后配凑运用均值不等式）由得， ∴． 即． ∵，∴，当且仅当，即为时等号成立，此时． 解法三：（判别式法）由解法二知，令，整理得， 此方程有大于1的根的必要条件是． ∵，．反之当时，方程的两根都大于1．故（此时，）． 【变换角度】改变分式函数分子、分母的次数，应用“化部分分式法”转化求解. 设为常数，求函数的最小值． 【思路分析】 本题分子参数高于分母次数，因此采用“化部分分式法”，转化应用均值不等式或“对勾函数”的单调性求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立． 当时，，时，， 当时，不成立．此时，令，．由单调性的定义可以证 明是上的增函数．∴当，即时，． 综上，当时，；当时，． 【变换角度】变具体函数为抽象函数关系式，与求函数解析式与求函数值域综合考查. 已知函数满足，求的值域． 【思路分析】首先利用函数方程法，将f(x)作为一个未知数来考虑，通过给自变量“赋值”，建立方程（组），消去另外的未知数得到．接下来可采用判别式法或基本不等式法求其值域． 【详解】． ① 用替代，得．② ①×2+②，得，整理得．③ （ⅰ）用判别式法求③的值域：令．∵且． 故． ∴或，的值域为． （ⅱ）用基本不等式求③的值域：当时， ∵，∴，即； 当时， ，，则．∴，即． ∴的值域为． （2024高三·全国·专题练习） 1．函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2024·湖南岳阳·三模） 2．已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （22-23高一上·陕西西安·期末） 3．已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． （2024高三·全国·专题练习） 4．(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（    ） A．[0，4] B．[，2] C．[，2] D．[1，2] （2024高三·全国·专题练习） 5．已知函数在上的最大值比最小值大，则 . （2021高三·全国·专题练习） 6．若x，y为实数且满足，试分别求x、y的最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$