第03讲 函数的值域和最值 讲义-2026届高三数学一轮复习

第03讲 函数的值域（最值） 求函数值域的常见方法 1、直接法： 对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 2、逐层法： 求型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域； 3、配方法： 配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元； 5.三角换元： 利用三角函数关系换元 6、分离常数法： 形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域； 7、基本不等式法： 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 8.对号函数和双刀函数： 9.函数单调性法： 确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 10、函数的有界性法： 形如（或）（其中不为0）的函数求值域或最值，可用表示出（或），再根据且（或且），列出关于的取值范围.类似地，有：①，则；②，则；③，则 11、判别式法： 形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 12 数形结合法： 作出函数在定义域范围内的图像；利用函数的图像求出函数的值域. 13．平方法： 14 反函数法： 求已知函数的反函数；求反函数的定义域；利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域 15.导数法： 对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数单调性；如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 16.高中常见函数值域 （1）指数函数 （2）对数函数 （3）幂函数 （4）对勾函数 （5）高斯函数 （6）分段函数 （7）抽象函数 （8）.三角函数值域 题型1：直接法观察法 1.函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式及定义域直接求解. 【详解】∵，，，∴函数的值域为． ∵，∴，∴函数的值域为. 故答案为：，. 2.已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为. 故答案为： 3.已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域，代入解析式，求出值域. 【详解】当时，，当时，， 故值域为. 故选：A 4.函数的定义域是，求值域。 【答案】 【详解】解法一：图象法：由题意知函数是由向右平移个单位得到，画出函数图象易得值域为 解法二：直接利用不等式性质：因为，所以，所以，所以 5.函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 又，所以函数的值域为 故选：A 6.函数的值域为 【答案】 【分析】先求分母的范围，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】因为，所以，则， 所以，即的值域为. 故答案为：. 7.已知函数的定义域为，求其值域． 【答案】. 【分析】将定义域内的值逐个代入即可求出. 【详解】因为函数的定义域为， ， ， ， ， ， 的值域为. 8.函数的值域是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以 9．（多选题）下列函数中，值域是的是（   　 ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，值域为，A不正确；对于B，，值域为，B不正确；对于C，，值域为，C正确；对于D，，值域为，D正确.故选:CD. 10已知函数的定义域为，值域为R，则（       ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为R C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R 【答案】B 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.故选：B 11.（多选题）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值可能为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【详解】，，当时，，，，此时的取值为1；当时，，，，此时的取值为2，3．综上，函数的值可能为．故选：BCD． 12（多选题）函数的函数值表示不大于x的最大整数，当时，下列函数时，其值域与的值域相同的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以当时，的值域为．对于A选项，，，该函数的值域为；对于B选项，，，该函数的值域为；对于C选项，，，该函数的值域为；对于D选项，，，该函数的值域为．故选：ABD． 13.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【详解】函数解析式为，值域为，由得，；由，得，则定义域可以为，，，，，，，，，因此“孪生函数”共有9个．故选：C 题型2：配方法（二次函数图像法） （一）：定义域为R 1.函数的值域为_______． 【答案】 【解析】因为 所以，所以值域为 故答案为： 2.求下列函数的值域： (1)，； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据定义域即可求出函数的值域； 【详解】（1）由题意， 在中，， ， ，，，， ∴这个函数的值域为. （2）由题意， 在中，， ∵， ∴这个函数的值域为. 3.已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）分别求，， 【答案】（1）定义域为，值域为．（2）=14，, 【分析】(1)根据二次函数的性质可得函数的定义域，将函数配方即可得值域； (2)可将代入函数解析式，求出对应的函数值即为，同理将，代入函数解析式，求出对应的函数值. 【详解】解：（1）函数定义域为， 因为， 所以的值域为． （2）， ， 【点睛】本题主要是考查函数的三要素：定义域、值域、对应法则，对于函数的定义域及值域可结合二次函数的性质进行解答，求值域时可先对函数解析式进行配方，再求解,是基础题. 4.函数的值域为________. 【答案】 【分析】先求出的取值范围，再求出，且，即得解. 【详解】解：由题得且. 因为, 且. 所以原函数的值域为. 故答案为： 5．已知，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答. 【详解】因为，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 6.设，函数的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用配方法可求值域，从而可得正确的选项. 【详解】根据题意，， 于是，符合题意的选项有C，D． 故选：CD. 7．定义运算，若函数，则的最小值为（        ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】..故选：B 8.已知函数，若函数与在时有相同的值域，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】由于函数，则当时，，又函数与在时有相同的值域，则函数必须能够取到最小值，即，解得 9.定义在上的函数的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成： 由 +10+241 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域： 因为, 所以1 即函数的值域是 （二）：定义域不为R 1．已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为（    ） A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5 C．最小值为1，无最大值 D．无最值 【答案】C 【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论． 【详解】由已知函数图象对称轴是，在上，函数是减函数，在上是增函数，因此时，函数取得最小值为1，但无最大值， 故选：C． 2．已知函数f (x)，，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,对称轴,当,又因为, 所以函数的值域为. 故选:D 3.已知，定义域为 [1，3]，求其值域。 【答案】 【详解】由题意知函数的开口向上，对称轴为，所以在上为单调递增函数，所以 ， 得值域为 4.若函数，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 从而， 当时，取得最小值，且最小值为.故选：D 5.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当时，；当或时，.因此当时，函数在区间上的最小值为，最大值为，所以，实数的取值范围是.故选：C 6.若函数的定义域和值域都是，则（       ） A．1 B．3 C． D．1或3 【答案】B 【详解】因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是， 所以，，解得或（舍），故选：B 7．已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由的定义域得出的定义域，再将代入，由的范围求出值域即可． 【详解】由的定义域为，， 则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递增， 当，当， 故函数的值域为. 故选：C． 8.已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于函数的对称轴为，因为 ，则当时，，又 即与对称轴的距离较远，所以当时， 不妨设，，由以为三边的三角形，由构成三角形的条件可得，解得 9.已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，时时，函数的部分图象及在上的的图象如图所示.所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是， 故选：B. （三）：与分式结合 1.函数的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且，所以，即的值域为.故选：A 2．函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. （四）：与根式结合 1.函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，得，设，则，所以，即函数的值域是.故选：C、 2.函数定义域和值域分别为、，则=（       ） A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2] 【答案】D 【详解】要使函数有意义,则解得，故；由，所以.故.则选:D 3.的最大值为_________. 【答案】 【详解】解法一：均值不等式： 解法二：二次函数思想：因为，开口向下，对称轴为，当时，，所以的最大值为 4.函数的值域是_____. 【答案】 【解析】函数的定义域为， 化简得：，解得：， 所以函数的值域为. 5.（多选题）函数的值域为，则实数的可能取值是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，，则值域为，A正确；对于B，当时，，则值域为，B正确；对于C，当时，，则值域为，C正确；对于D，当时，，则值域为，D错误.故选：ABC. 6.对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为_______. 【答案】 【详解】函数的定义域为，即，若，则的定义域为，但的值域，估，不合题意 若，对于正实数，则的定义域为，的最大值为，估函数值域，由题意知，由于，所以 7.定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．与的取值有关 【答案】A 【详解】函数的值域为，所以区间的长度为.设的解集为，所以.因为，且，所以，解得.故选：A （五）：先换元再二次 1.函数的最大值为_______． 【答案】2 【解析】设，则， 所以原函数可化为：， 由二次函数性质，当时，函数取最大值2. 2．求函数的值域为_________. 【答案】 【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域. 【详解】令，则， 容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为， ，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值， 所以函数值域为. 故答案为： 3.已知函数，对任意非零实数x，均满足.则的值为___________；函数的最小值为___________. 【答案】 0 【解析】函数，因对任意非零实数x，均满足， 则，有， 即， 由等式两边展开式最高次项系数得：，即， 当时，，解得，经检验得，，， 对任意非零实数x成立， 因此， ， ，当即时，， 所以的值为0，函数的最小值为. 4.已知函数，则其值域为__________. 【答案】 【分析】根据换元法将函数变为，结合二次函数的单调性即可求解最值,进而求解值域. 【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为， 故答案为： 5.函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，根据二次函数性质得到最值. 【详解】设，，则， 当，即时，函数有最大值为. 故选：. 【点睛】本题考查了指数型函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键. 6求下列函数的值域． 值域为． 利用换元法，设，则，然后求出值域，进而利用复合函数的性质判断单调区间. 【详解】解  （1）由，解得． 设，则． ∴，即函数的值域为． 7.函数，其中，则其值域为 . 【答案】/ 【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为. 故答案为： （六）：与三角函数结合 1.已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 令， 即， 由，则.故选：A. 2.函数是（ ） A．奇函数，且最小值为-2 B．偶函数，且最小值为-2 C．非奇非偶函数，且最小值为 D．非奇非偶函数，且最大值为 【答案】C 【解析】，其定义域为， ，故函数为非奇非偶函数， 令，则，则， 易知，故选：C. 题型3：换元法函数值域或最值 1.求函数的值域。 【答案】 【详解】设，则的对称轴为，所以在上单调递增，所以当时，，所以的值域为 2.求函数的值域。 【答案】 【详解】设，则，函数可化为，对称轴为，所以函数在上单调递减，所以当时，，所以原函数的值域为 3．已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【答案】13 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 4.函数，的值域为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，函数可化为，对称轴为，所以当时，函数，当时，，所以原函数的值域为 12.求函数的值域． 【答案】 【详解】令，则，由及，得，所以，则（），为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增 因此当时，；当时，，故函数的值域为． 5．若函数的值域是，函数的值域是，则__________． 【答案】 【详解】由题得，所以函数的值域为.对于函数，函数的定义域为，设，所以，所以，函数的对称轴为，所以函数的值域为.所以.故答案为： 6.函数的最大值为（       ）． A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，即定义域为；设且，又因为，所以，所以，当且仅当时有最大值，当时，，所以满足；故选B. 7.函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】∵，∴，即函数的定义域为.令，则，∴，∴，当且仅当时有最大值为1，当时，或1满足.故选：D 8.已知函数，其中m为实数． (1)求的定义域； (2)当时，求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1)；(2)[2，2]；(3)当时，的最小值为2；当时，的最小值为 【详解】(1)由解得．所以的定义域为． (2)当时，．设，则．当时，取得最大值8；当或时，取得最小值4．所以的取值范围是[4，8]．所以f（x）的值城为[2，2]． (3)设，由（2）知，，且，则．令，, 若，，此时的最小值为；若，． 当时，在[2，2上单调递增，此时的最小值为；当，即时，，此时的最小值为；当，即时，，此时的最小值为所以，当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为 9．若函数的值域是，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 又当时，，当时，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：B． 10．函数的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 令，则， 令，，因为函数在上单调递增，所以， 即，则， 即函数的最大值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 11.函数在上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，则，则， 根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 故函数值域为.，故选：C. 12.已知函数． (1)求函数的值域； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析． 【分析】(1)根据倒数代换和二次函数的值域以及反比例函数的特点即可求解.(2)根据函数不动点的定义即可求解. 【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为； （2） 当时，此时显然； 当时，必有两点位于函数图像上，且两点关于直线对称．又因为，所以． 因为当时，． 即对恒成立，所以不存在两点关于直线对称． 综上，． 13.已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义，即可证明； （2）首先将拆分成内外层函数，，，结合（1）的结论求出的值域，即可得解. 【详解】（1）在上的单调递减，证明如下： 设，则 ， 因为，所以，，， ，即， 所以，即， 所以函数在上的单调递减； （2） ， 设，在上单调递增，当时，， 所以， 令，， 由（1）可知，在上单调递减， 又，，所以， 所以的值域为. 14.设函数． (1)证明：函数在上单调递减； (2)求函数的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由单调性定义法（任取、作差、变形、断号、写结论）可证明. （2）换元法转化为求含参分式型函数的值域，对参数进行分类讨论研究函数的单调性即可得值域. 【详解】（1）对任意的，，且， ∵， ∴， ∴， 即： ∴函数在上单调递减． （2） ∴的定义域为， 令，则， ①当时，在单调递减，又∵， 所以的值域为； ②当时，，所以在单调递减，又∵， 所以的值域为； ③当时，，所以在单调递减，在单调递增， ， 所以的值域为． 所以，综上可得： 当时，的值域为； 当时，的值域为． 题型4：分离常数法 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 而由函数向右平移3个单位得到， 所以得值域和的值域相同，都为， 所以得值域为， 故选：B 2．若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 3．函数的值域为 . 【答案】 【详解】依题意，函数的定义域为，而，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 4.函数在区间的最大值是______． 【答案】1 【解析】∵函数， ∴函数在区间上为单调增函数 ∴当时，函数取得最大值，为. 故答案为：. 5.函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 显然函数在上为减函数， 所以，当时，函数取得最大值，且最大值为， 当接近时，接近， 所以的值域为.故选：D. 6.函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可． 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数 的值域为． 故答案为：． 7.求函数的值域 【答案】 【详解】方法一：分离常数法：，因为，所以原函数的值域为 8.求函数 的值域 【答案】 【详解】方法一：分离常数法：，因为，所以原函数的值域为 9．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 10．函数在上的值域是 . 【答案】 【详解】函数， 当时，； 当时，， 根据对勾函数的性质可知： 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 故答案为： 11.函数的最大值为___________. 【答案】2 【解析】由题意，当时，可知，显然的最大值非负， 因为， 所以当取得最大值时， 当时，，令， 由对号函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 从而在的最小值为， 故的最大值. 12.函数的值域是___________. 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 由于，所以，且， 所以且， 所以函数的值域为. 13.求函数的值域. 【答案】. 【解析】， 因，即，则， 当且仅当，即 时等号成立，于是得， 所以原函数的值域为. 14.已知函数的，则其值域为 . 【答案】 【分析】首先利用换元，将函数转化为，，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】设， 即，函数在区间单调递增， 所以. 故答案为： 15．设，函数表示不超过的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为，所以，所以，当时，；当时，；当时，； 当时，，所以函数的值域为，故选：C. 题型5：反函数法求值域最值 1.求函数 的值域 方法二：反解法：由，可得， 所以，因为，所以，解得，所以原函数的值域为 2.求函数的值域 方法二：反解法：由，可得， 所以，因为，所以，解得，所以原函数的值域为 3.求函数的值域 方法二：反解法：由，可得 ，所以当时，所以原函数的值域为 题型6：利用函数的有界性求值域最值 1.求函数的值域 【答案】 【详解】方法一：分离常数法：，因为，所以原函数的值域为 2.求函数 的值域 【答案】 【详解】方法一：分离常数法：，因为，所以原函数的值域为 题型7：均值不等式法 1．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为R B．的值域是 C．是奇函数 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】选项A根据函数解析式有意义列出不等式，解不等式得定义域；选项B利用基本不等式求函数值域；选项C根据奇偶性定义判断函数的奇偶性；选项D根据复合函数的单调性判断函数在上的单调性. 【详解】对于选项A，要使函数有意义，需满足，解得，所以的定义域为，故选项A正确； 对于选项B，当时，；当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立；综上，，即的值域是，故选项B正确； 对于选项C，的定义域为，，所以是奇函数，故选项C正确； 对于选项D，当时，，令，则变为. 由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，所以；又在上单调递减；所以在单调递增，在单调递减，故选项D错误. 故选：D 2.求函数的值域． 【答案】 【分析】先转化构造乘积为定值,再分情况应用基本不等式求解即可. 【详解】， 若，则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． 若，则， ∴ ， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的值域为． 3.已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 . 【答案】 【分析】空1，分，两种情况，运用基本不等式解决即可；空2，根据对勾函数特点，运用函数单调性解决即可. 【详解】由题知，函数，， 当时，， 此时， 当且仅当，即时取等号， 当时，，此时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，值域为； 当时， 因为， 所以， 当时，， 当时，， 所以当时，. 故答案为：；. 4.已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 . 【答案】 【分析】空1，分，两种情况，运用基本不等式解决即可；空2，根据对勾函数特点，运用函数单调性解决即可. 【详解】由题知，函数，， 当时，， 此时， 当且仅当，即时取等号， 当时，，此时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，值域为； 当时， 因为， 所以， 当时，， 当时，， 所以当时，. 故答案为：；. 5.已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数化简为，再结合双勾函数即可得出答案. 【详解】因为，所以， ， 令， 由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以 . 故答案为：. 6.求函数的值域． 【答案】 【分析】先转化构造乘积为定值,再分情况应用基本不等式求解即可. 【详解】， 若，则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． 若，则， ∴ ， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的值域为． 7.已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并使用定义法说明理由 (2)判断函数在上的单调性，并使用定义法说明理由 (3)求函数的值域 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合函数奇偶性的定义判断即可； （2）结合函数单调性的定义判断即可； （3）化简，令，利用函数性质即可求解. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数. （2）函数在上的单调递增，理由如下： 任取，，且， 则， 因为，则，，，， 所以，即， 所以函数在上的单调递增. （3）当时，， 当时， ，令 ， 由函数的图象性质知，函数的值域为， 综上，函数的值域为. 8.已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数化简为，再结合双勾函数即可得出答案. 【详解】因为，所以， ， 令， 由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以 . 故答案为：. 题型8：函数单调性法求值域最值 1．在[3，4]的最大值为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】在上是减函数， 所以当时，取得最大值为.故选：A 2.的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，又在时单调递增， 所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：A. 3.已知函数，求的值域． 【答案】 【分析】利用函数单调性定义可证明在上单调递增，即可求出的值域为． 【详解】任取，则 ， 由于，所以， 可得，即 所以在上单调递增，无最小值， 且趋近于0时，趋近于；当时取得最大值1. 所以的值域为． 4.若，则函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域. 【详解】， 任取，，且， 则， 所以， 所以函数在上单调递增， 则，， 所以函数在上的值域是. 故答案为：. 5.已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________. 【答案】； 【解析】因函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 即有当时，，而当时，，当时，，则， 所以函数的最大值为，最小值为. 6．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)最大值为，最小值为6. 【详解】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 7．已知函数. (1)先判断函数在区间上的单调性，再用定义法证明； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析； (2)最大值为，最小值为. 【详解】（1）在上单调递减， 令， 则 ， 又，， 所以，故， 则在区间上的单调递减. （2）由（1）知：在上的单调递减，所以在上递减， 即，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为. 8．（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知：在区间上单调递增， 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减， 因为，且， 可知函数的最大值为，最小值为2， 所以函数的值域为． 9．已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）任取，且， 由， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； （2）由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 10.设函数，函数在定义域内是单调函数，且对于任意，都有，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对于任意，都有，令（为常数），再由函数在定义域内是单调函数，得到，进而令，得到求解. 【详解】解：因为在定义域内是单调函数， 且对于任意，都有， 令（为常数），即. 令，得，即， 则，解得. 故. 易知在上为增函数， 所以. 故选：A. 11.已知. (1)求的解析式及定义域； (2)求的值域，单调区间并判断奇偶性.（不要求写理由，只写结果） 【答案】(1)，定义域为； (2)详见解析. 【分析】（1）利用配凑法求的解析式，根据解析式求定义域； （2）由定义法求函数单调区间，得函数值域；由定义法判断函数奇偶性. 【详解】（1）因为， 所以. 函数有意义，则， 所以的定义域为. （2）因为，任取， 所以， 由，可得，， 当时，；当时，， 所以当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，； 同理，在上单调递增，在上单调递减，； 所以值域为； 又，即， ，即， 所以为非奇非偶函数； 所以函数的值域为；单调增区间为，，单调减区间为，；为非奇非偶函数. 题型9：含有两个绝对值的函数用分段函数讨论或图像法 1.函数的值域为 ． 【答案】 【分析】分情况讨论函数的解析式，画出函数图象，即可确定函数的值域. 【详解】①当时，； ②当时，， ③当时，， 所以，， 函数图象如下图，    所以，函数的值域为. 故答案为： 2.已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析，的值域为 【分析】（1）根据零点分段法去绝对值，由此将表示为分段函数的形式； （2）根据的解析式画出的图象，结合图象求得的值域. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 所以. （2）解：得，由此画出的图象如下图所示：    由图象知，的值域为 3.已知函数，则函数的值域为 ；记函数的值域为M，若，则的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】取绝对值符号，再根据一次函数的性质即可得出函数的值域，再令，利用定义法判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可求得最小值. 【详解】解：， 所以函数的值域为， 令， 设， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上递增， 所以， 即的最小值为5. 故答案为：；5. 4.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 当时， 当时， 综上可知的值域为， 故选：B 5.已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为R D．当时，有最大值 【答案】ABD 【分析】A选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A正确； B选项，先求出在上均单调递减，结合奇偶性得到B正确； C选项，由在和上的单调性结合奇偶性得到的值域，C错误； D选项，根据在上的单调性得到最大值. 【详解】对于A，由得函数定义域为， 所以． 由， 可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，当且时，函数， 该函数图象可由函数图象向右平移2个单位得到， 所以函数在和上均单调递减， 由偶函数性质，可知在上单调递增，故B正确； 对于C，由B可得，当且时， 函数在和上均单调递减， 所以该函数在的值域为； 又因为函数为偶函数，且， 所以在其定义域上的值域为，故C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，所以有最大值为，故D正确． 故选：ABD． 6.已知函数． (1)判断函数在的单调性； (2)求函数在上的值域； (3)作出函数，的图象． 【答案】(1)函数在上单调递增 (2) (3)作图见解析 【分析】（1）用单调性定义证明，取值、作差、变形、定号即可得到函数在的单调性. （2）函数，结合单调性综合分析即可求出函数在上的值域. （3）结合（1）（2），即可作出函数，的图象. 【详解】（1）证明．设，则， ∵∴，即，故函数在上单调递增 （2）函数，所以函数在，上单调递增， 故当时，；当时，； 故在的值域为 （3）由（1）（2）可得，图象如图所示 题型10：图像法 1.函数的值域是_________. 【答案】 【解析】由题意：函数，开口向上，对称轴， 画出函数如下， 函数在区间上的值域为. 故答案为： 2.作出下列函数的图象，并写出函数的值域： （1）； （2）． 【答案】（1）图象见解析，值域为；（2）图象见解析，值域为. 【解析】（1）因为， 所以图象如下图所示： 由函数的图象可知：函数的值域为； （2）因为， 所以函数的图象如下图： 由函数的图象可知：函数的值域为：. 3.函数的值域为_____. 【答案】 【详解】原函数化为， 其图象如图，原函数值域为 4．若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B．R C． D． 【答案】A 【详解】即， 当, 或时，， 函数的值域为. 故选：A. 5．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 【答案】(1)；； (2)答案见解析； (3) 【详解】（1），； ，； ，； （2）此分段函数的图象如图所示． 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 图中实线组成的图形就是函数的图象； （3）由函数图象可知，当时，取最大值. 6．求函数的值域． 【答案】 【详解】当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 作出函数的图象如图所示， 因为，，（取不到）， 所以函数的最小值为，无最大值， 结合图象知：函数的值域为. 7.定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    8.已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由是偶函数及图像可得出结论. 【详解】显然是偶函数，其图像如下图所示： 要使值域为，且，, 则，；，；，. 故选：ACD. 9.已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案. 【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立； ，两函数如下图所示： 由图可知，当时，的最大值为， 当时，的最大值为在区间的最大值，即为， 当时，的最大值为； ①若满足，当时，，不符题意； 当时，，解得或（舍去） 当时，，不符题意； ②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为. 故答案为：①；② 10.已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 因为， 所以的图象如图实线所示： 由可得， 由可得， 由图知在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以的最小值为，故选：B. 11．定义为中的最大值，设，则的最小值为（    ）． A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为A， 由 ，解得，即. 所以的最小值为. 故选：D. 12．函数的最小值是 . 【答案】 【详解】，即有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值为. 故答案为： 13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数的值域 【答案】 【详解】由于，所以，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，的值域为. 14.（1）定义为中的最小值，设，则的最大值是_____． 【答案】　2　 【详解】本题若利用的定义将转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点，即，所以． （2）.对任意，函数，则的最小值为(　　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【详解】画出图像可知：在处取最小值，因为，所以 15.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】当时，单调递增，所以，即，当时，单调递减，所以，即，所以A选项正确；当时，单调递减，此时，所以，B选项错误；当时,的图象如图所示， 在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，，因为，，所以在处取得最大值，故，C选项正确；当时，，画出图象，如图 显然，，故D选项正确故选：ACD 16.对，记，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________． 【答案】　　 【详解】由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2．所以x≥．所以f(x)＝其图象如图所示． 由图象易知，当x＝时，函数有最小值，所以f(x)min＝＝＝． 17设函数定义域为R，对给定正数M，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 【答案】　A　 【详解】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以为分界线，图像在下方的图像不变，在上方的图像则变为，通过作图即可得到的值域为． 题型11：判别式法 1.函数的值域是 ． 【答案】 【分析】将函数两边同时乘以整理成关于的一元二次方程，讨论时，，解方程即可得出答案. 【详解】由， 得， 当时，上式无解； 当时，要使方程有解，需满足 即，解得或. ∴的值域为． 故答案为： 2.求函数的值域. 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，原函数化为， 所以，整理得， 解得即或， ∴综上，函数的值域为 3.已知，求函数的值域． 【思路分析】先将原函数整理成关于x的一元二次方程：2x2﹣yx﹣17+3y＝0，该方程有解，所以限制y为，解该不等式组即得原函数的值域． 【答案】解：由原函数得：2x2﹣yx﹣17+3y＝0；则该关于x的一元二次方程有解；则有；解得；∴原函数的值域为[，+∞）． 4.函数的值域为______. 【答案】 【详解】方法一：分离常数法：，当时，，当时，，当时，所以，当时，所以，原函数的值域为 方法二：判别式法：设，可得，因为函数的定义域为，当时，即时，得，满足题意，当当时， ，解得，所以原函数的值域为 5.若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B． 6.函数的最大值与最小值的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则有， 当时，代入原式，解得． 当时，， 由，解得，于是的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B. 7.已知函数的值域为[1，3]，求的值 【答案】 【解析】由题意定义域为， 则在上有解， 当符合题意， 当，即的解集为[1，3]， 故1和3为关于y的二次方程的两个根， 所以，解得 8.若函数的定义域为，值域为，求的值. 【答案】 【详解】判别式法：设，得， 因为函数的定义域为，所以，即，由知，关于的一元二次方程的两个根分别为和，由根与系数的关系得，解得 9.函数的最大值与最小值的和是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解. 【详解】设，则有， 当时，代入原式，解得． 当时，， 由，解得，于是的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值与最小值的和为． 故选：B. 10已知函数的值域为，则常数______． 【答案】7或 【详解】因为，所以，，即，因为函数的值域为，所以是方程的两个根，所以，， 解得或，所以7或.故答案为：7或. 题型12：平方法（平方后可以消去未知数x即可）. 1.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为_________. 【答案】 【详解】函数定义域 设，开口向下，对称轴为，当时，，当时所以，所以 ，所以 题型13：导数求最值 1．若是函数的极值点. (1)求实数的值及的单调区间； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，函数的单调减区间为，单调增区间为： (2). 【详解】（1）因为函数的定义域为：， 所以， 又是函数的极值点， 所以， 此时 因为， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以有是函数的一个极小值点， 此时，且函数的单调减区间为， 单调增区间为： （2）由（1）知， 若，由（1）知： 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数， 又， ， 因为， 所以， 所以函数在区间上的值域为： 2．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； 【答案】(1)极大值为，没有极小值. (2)0 【详解】（1）当时，，定义域：，， 令，则，变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 则的极大值为：，没有极小值； （2）当时，，定义域：， ， 令，定义域：，， 则在上是增函数，则，所以， 即在上是增函数，则. 3．已知函数． (1)当时，求在上最大值及最小值； 【答案】(1)最小值是0，最大值是 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，； 时，，单调递减；时，，单调递增； 是函数的极小值，即的最小值；又， ； 的最大值是； 函数在上的最小值是0，最大值是； 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； 【答案】(1)； (2)； 【详解】（1）因为， 所以， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令， 则， 当时，，在上单调递增. 因为，， 所以，使得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数可能在或处求得最大值， 又，， 所以. 5．已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； 【答案】(1) 【详解】（1）的定义域为，故， 令，， 当时，， 所以在上单调递减，且， ， 所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使 又当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以函数在区间上的最小值为. 6．已知函数的图象在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为8，最小值为 【详解】（1）解：， 又函数的图象在处的切线方程为， 所以， 解得. （2）由（1）可知， 令，解得，或. 当或时，；当时，. 故的增区间为和的减区间为 因为， 所以在上的最大值为8，最小值为. 导数求函数的最值（含参） 1．已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)的极大值为，极小值为 (2) 【详解】（1）当时，，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 综上，的极大值为，极小值为； （2），， 故，， 令得或， 因为，当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以，所以； 当，即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以； 综上： 2．已知函数，是自然对数的底数. (1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点； (2)若，且，求的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)，. 【详解】（1）解：当，时，， ∴，∴ 当时，，∴，故是上的增函数， 同理是上的减函数， ，，， 故当时，，当时，， 故当时，函数的零点在内，∴满足条件. 同理，当时，函数的零点在内，∴满足条件， 综上. （2）由已知 ①当时，由，可知，∴； ②当时，由，可知，∴； ③当时，，∴在上递减，上递增， ∴当时，， 而，设， ∵（仅当时取等号）， ∴在上单调递增，而， ∴当时，，即时，，∴ 即. 3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若的最小值不大于0，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）由函数，则其定义域为， 求导可得，令，解得， 当时，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知，当时，无最小值； 则当时，在单调递减，在单调递增， 则， 由题意可得：，由，则，解得. 4．已知函数，求函数在区间上的最小值． 【答案】答案见解析 【详解】， 令，得，. ①当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. ②当时，，在区间 上单调递增， 所以. ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 则． 当时，在上恒成立， 故此时在上单调递减； 当时，由，得,由，得， 故此时在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 所以在上单调递减，所以； 当时， (i)若，即时，在上单调递增， 此时，； (ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，； (iii)若，即时，在上单调递减， 此时，． 综上所述，． 6．已知函数． (1)若，，求函数斜率为的切线方程； (2)若，讨论在的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）已知，函数定义域为， 当，时，函数， 可得， 不妨设切点为，此时， 因为切线斜率为1， 所以，解得， 所以， 此时切点坐标为， 则曲线在点处的切线方程为， 即； （2）若，即， 此时，函数定义域为， 可得，令，解得， 当，即时，， 此时函数在定义域上单调递增， 则； 当，即时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 又，， 当，即时，可得， 所以当时，； 当，即时，可得， 所以当时，； 当，即时，，此时函数在定义域上单调递减， 则， 综上，当时，函数的最大值为0； 当时，函数的最大值为． 由函数的最值求参数 1．已知函数（）. (1)若，求在处的切线方程； (2)若为的极大值点，求的取值范围； (3)若存在最小值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为 则， 若，可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为. （2）由（1）可知：， 因为，令，解得或， 若，则， 令，解得或；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以为的极大值点，符合题意； 若，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以为的极小值点，不合题意； 综上所述：的取值范围. （3）因为，可知：当x趋近于时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于， 结合（2）中单调性可知：存在，使得且， 即且， 则，解得， 所以的取值范围为. 2．已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)若函数在上存在最小值，求的取值范围． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为是函数函数的极值点， 所以， ，此时， 所以在上，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点， 故所求的值为12. （2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， ， 因为，所以，所以，所以的取值范围. 3．已知函数. (1)若，求在定义域内的极值； (2)当时，若在上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2) 【详解】（1）解：当时，，的定义域是，且，              当时，，单调递增， 当时，，单调递减，                  所以在有极小值，无极大值. （2）解：因为，则，因为，    ①当时，即当，则在上恒成立，此时在上单调递减， 所以，所以（舍去）；           ②当时，即当时， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，所以.           综上，. 4．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数在点处切线方程为，即. （2）函数，求导得，， 当时，，函数在上单调递增，，解得，矛盾， 当时，由，得，函数递减，由，得，函数递增， 因此，解得，从而， 当时，，函数在上单调递减，，解得，矛盾， 所以. 5．已知函数，． (1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围； (2)记函数，若的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，则， 由题意知在区间内恒成立， 所以，在区间内恒成立． 令，，因为恒成立， 所以在区间内单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为． （2）解：，其中． 因为， ①当时，对任意的恒成立， 所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意； ②当时，令，则或（舍去）， 当时，；当时，. 所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增， 则是函数的极小值点，也是最小值点， 所以， 解得，合乎题意. 综上所述，. 6．已知函数的定义域为，其中. (1)若是函数的一个驻点，求a的值； (2)函数在区间上严格增，求a的取值范围； (3)当时，若函数，在处取得最大值，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），. 是的一个驻点，，解得. 时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 是的一个驻点. 综上，. （2）①当时，在区间上是增函数，符合题意； ②当时，，令得：， 当时，对任意，(符合题意)， 当时，当时，，(符合题意)， 综上所述，. （3）， ， 令，即，显然有， 设方程的两个根为，由式得，不妨设， 当时，为极小值，所以在上的最大值只能为或， 当时，由于在上是单调递减函数， 所以最大值为，所以在上的最大值只能为或， 又已知在处取得最大值，所以，即，解得， 又因为，所以. 试卷第6页，共6页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 函数的值域（最值） 求函数值域的常见方法 1、直接法： 对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 2、逐层法： 求型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域； 3、配方法： 配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域； 4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元； 5.三角换元： 利用三角函数关系换元 6、分离常数法： 形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域； 7、基本不等式法： 形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 8.对号函数和双刀函数： 9.函数单调性法： 确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如的函数可用函数单调性求值域； （2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。 10、函数的有界性法： 形如（或）（其中不为0）的函数求值域或最值，可用表示出（或），再根据且（或且），列出关于的取值范围.类似地，有：①，则；②，则；③，则 11、判别式法： 形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 12 数形结合法： 作出函数在定义域范围内的图像；利用函数的图像求出函数的值域. 13．平方法： 14 反函数法： 求已知函数的反函数；求反函数的定义域；利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域 15.导数法： 对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数单调性；如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 16.高中常见函数值域 （1）指数函数 （2）对数函数 （3）幂函数 （4）对勾函数 （5）高斯函数 （6）分段函数 （7）抽象函数 （8）.三角函数值域 题型1：直接法观察法 1.函数，的值域为 ，函数，的值域为 ． 2.已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 3.已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 4.函数的定义域是，求值域。 5.函数的值域是（       ） A． B． C． D． 6.函数的值域为 7.已知函数的定义域为，求其值域． 8.函数的值域是 （A） （B） （C） （D） 9．（多选题）下列函数中，值域是的是（   　 ） A． B． C． D． 10已知函数的定义域为，值域为R，则（       ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为R C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R 11.（多选题）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值可能为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 12（多选题）函数的函数值表示不大于x的最大整数，当时，下列函数时，其值域与的值域相同的是（       ） A．， B．， C．， D．， 13.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 题型2：配方法（二次函数图像法） （一）：定义域为R 1.函数的值域为_______． 2.求下列函数的值域： (1)，； (2). 3.已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）分别求，， 4.函数的值域为________. 5．已知，则的最大值为__________. 6.设，函数的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 7．定义运算，若函数，则的最小值为（        ） A． B． C．1 D．3 8.已知函数，若函数与在时有相同的值域，则实数的取值范围为 9.定义在上的函数的值域是__________． （二）：定义域不为R 1．已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为（    ） A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5 C．最小值为1，无最大值 D．无最值 2．已知函数f (x)，，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3.已知，定义域为 [1，3]，求其值域。 4.若函数，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 5.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6.若函数的定义域和值域都是，则（       ） A．1 B．3 C． D．1或3 7．已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 8.已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9.已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． （三）：与分式结合 1.函数的值域为（       ） A． B． C． D． 2．函数的值域为 . （四）：与根式结合 1.函数的值域是（       ） A． B． C． D． 2.函数定义域和值域分别为、，则=（       ） A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2] 3.的最大值为_________. 4.函数的值域是_____. 5.（多选题）函数的值域为，则实数的可能取值是（       ） A． B． C． D． 6.对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为_______. 7.定义：称为区间的长度，若函数的定义域与值域区间长度相等，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．与的取值有关 （五）：先换元再二次 1.函数的最大值为_______． 2．求函数的值域为_________. 3.已知函数，对任意非零实数x，均满足.则的值为___________；函数的最小值为___________. 4.已知函数，则其值域为__________. 5.函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6求下列函数的值域． 7.函数，其中，则其值域为 . （六）：与三角函数结合 1.已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C． D． 2.函数是（ ） A．奇函数，且最小值为-2 B．偶函数，且最小值为-2 C．非奇非偶函数，且最小值为 D．非奇非偶函数，且最大值为 题型3：换元法函数值域或最值 1.求函数的值域。 2.求函数的值域。 3．已知函数的值域为，则实数的值为 ． 4.函数，的值域为　　 A． B． C． D． 5.求函数的值域． 6．若函数的值域是，函数的值域是，则__________． 7.函数的最大值为（       ）． A． B． C． D．2 8.函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 9.已知函数，其中m为实数． (1)求的定义域； (2)当时，求的值域； (3)求的最小值． 10．若函数的值域是，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 11．函数的最大值为 . 12.函数在上的值域为（ ） A． B． C． D． 13.已知函数． (1)求函数的值域； (2)证明：； 14.已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，，求的值域． 15.设函数． (1)证明：函数在上单调递减； (2)求函数的值域． 题型4：分离常数法 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为 . 4.函数在区间的最大值是______． 5.函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ） A． B． C． D． 6.函数 的值域为 ． 7.求函数的值域 8.求函数 的值域 9．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．函数在上的值域是 . 11.函数的最大值为___________. 12.函数的值域是___________. 13.求函数的值域. 14.已知函数的，则其值域为 . 15．设，函数表示不超过的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（       ） A． B． C． D． 题型5：反函数法求值域最值 1.求函数 的值域 题型6：利用函数的有界性求值域最值 1.求函数的值域 题型7：均值不等式法 1．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为R B．的值域是 C．是奇函数 D．在区间上单调递增 2.求函数的值域． 3.已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 . 4.已知函数，当时，值域为 ；当时，值域为 . 5.已知，则函数的值域为 ． 6.求函数的值域． 7.已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并使用定义法说明理由 (2)判断函数在上的单调性，并使用定义法说明理由 (3)求函数的值域 8.已知，则函数的值域为 ． 题型8：函数单调性法求值域最值 1．在[3，4]的最大值为（ ） A．2 B． C． D．4 2.的值域是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数，求的值域． 4.若，则函数在上的值域是 ． 5.已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________. 6．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 7．已知函数. (1)先判断函数在区间上的单调性，再用定义法证明； (2)求函数在区间上的最值. 8．（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 9．已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 10.设函数，函数在定义域内是单调函数，且对于任意，都有，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 11.已知. (1)求的解析式及定义域； (2)求的值域，单调区间并判断奇偶性.（不要求写理由，只写结果） 题型9：含有两个绝对值的函数用分段函数讨论或图像法 1.函数的值域为 ． 2.已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 3.已知函数，则函数的值域为 ；记函数的值域为M，若，则的最小值为 ． 4.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为R D．当时，有最大值 6.已知函数． (1)判断函数在的单调性； (2)求函数在上的值域； (3)作出函数，的图象． 题型10：图像法 1.函数的值域是_________. 2.作出下列函数的图象，并写出函数的值域： （1）； （2）． 3.函数的值域为_____. 4．若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B．R C． D． 5．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 6．求函数的值域． 7.定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 10.已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 11．定义为中的最大值，设，则的最小值为（    ）． A． B．4 C．0 D． 12．函数的最小值是 . 13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数的值域 14.（1）定义为中的最小值，设，则的最大值是_____． （2）.对任意，函数，则的最小值为(　　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 15.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（       ） A．， B．， C．， D．， 16.对，记，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________． 17设函数定义域为R，对给定正数M，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 题型11：判别式法 1.函数的值域是 ． 2.求函数的值域. 3.已知，求函数的值域． 4.函数的值域为______. 5.若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 6.函数的最大值与最小值的和是（ ） A． B． C． D． 7.已知函数的值域为[1，3]，求的值 8.若函数的定义域为，值域为，求的值. 9.函数的最大值与最小值的和是（        ） A． B． C． D． 10已知函数的值域为，则常数______． 题型12：平方法（平方后可以消去未知数x即可）. 1.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为_________. 题型13：导数求最值 1．若是函数的极值点. (1)求实数的值及的单调区间； (2)求函数在区间上的值域. 2．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； 3．已知函数． (1)当时，求在上最大值及最小值； 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； 5．已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； 6．已知函数的图象在处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间上的最值. 导数求函数的最值（含参） 1．已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 2．已知函数，是自然对数的底数. (1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点； (2)若，且，求的最小值和最大值. 3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若的最小值不大于0，求的取值范围. 4．已知函数，求函数在区间上的最小值． 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求在上的最小值． 6．已知函数． (1)若，，求函数斜率为的切线方程； (2)若，讨论在的最大值． 由函数的最值求参数 1．已知函数（）. (1)若，求在处的切线方程； (2)若为的极大值点，求的取值范围； (3)若存在最小值，直接写出的取值范围. 2．已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)若函数在上存在最小值，求的取值范围． 3．已知函数. (1)若，求在定义域内的极值； (2)当时，若在上的最小值为，求实数的值． 4．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值. 5．已知函数，． (1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围； (2)记函数，若的最小值是，求的值． 6．已知函数的定义域为，其中. (1)若是函数的一个驻点，求a的值； (2)函数在区间上严格增，求a的取值范围； (3)当时，若函数，在处取得最大值，求a的取值范围. 试卷第6页，共6页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$