函数的概念及其表示 讲义-2026届高三数学一轮复习

第6讲　函数的概念及其表示 课前必备知识 课标要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识梳理 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个__数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一__确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作__y＝f(x)，x∈A__，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__． (2)函数有三个要素：__定义域__、__值域__和__对应关系__． 2．函数的表示 解析法，就是用__解析式__表示两个变量之间的对应关系． 图象法，就是用__图象__表示两个变量之间的对应关系． 列表法，就是列出__表格__来表示两个变量之间的对应关系． 3．分段函数 分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的__对应关系__的函数称为分段函数． 常用结论 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__并集__，其值域等于各段函数的值域的__并集__． 课前训练 1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点(　　) A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 解析：B　若1不在函数f(x)的定义域内，y＝f(x)的图象与直线x＝1没有交点；若1在函数f(x)的定义域内，y＝f(x)的图象与直线x＝1有1个交点，故选B. 2．(教材母题必修复习参考题3T1改编)函数f(x)＝－(x＋3)0的定义域是(　　) A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，3) C．(－∞，－3) D．(－∞，3) 解析：B　由函数解析式有意义，得解得x<3且x≠－3， 所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3).故选B. 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 解析：A　(方法1)令2x＋1＝t，则x＝， 所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.故选A. (方法2)因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2. 4．下列四组函数，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝x C．f(x)＝x，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝· 解析：A　对于A，f(x)＝|x＋1|＝与g(x)＝的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，A正确； 对于B，f(x)＝＝|x|，与g(x)＝x的对应关系不同，所以不是同一函数，B错误； 对于C，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝x的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，C错误； 对于D，f(x)＝的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，g(x)＝·的定义域为{x|x≥2}，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，D错误．故选A. 5．已知函数f(x)＝若f(m)＝4，则m＝________． 解析：0或2　由题意可得或所以m＝0或m＝2. 课堂核心考点 考点1　函数定义域的意义及求法 【例1】(1)函数f(x)＝＋的定义域是______________． (2)已知函数f(x＋1)的定义域是[1，7]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域是(　　) A．[4，16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．[1，3] D．[3，4] 解析：(1)(0，1)∪(1，2]∪[3，＋∞)　由函数解析式有意义，得 ⇒ ⇒0<x<1或1<x≤2或x≥3， 故函数的定义域是(0，1)∪(1，2]∪[3，＋∞). (2)C　函数f(x＋1)的定义域是[1，7]，则2≤x＋1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8. 函数h(x)＝f(2x)＋的解析式有意义， 必有解得1≤x≤3， 所以函数h(x)的定义域是[1，3].故选C. 函数定义域的求解策略 (1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：有实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求解． (3)抽象函数 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 变式探究 1．函数f(x)＝＋ln (2x－x2)的定义域是__________． 解析：(1，2)　要使函数有意义，则解得1<x<2.所以函数f(x)的定义域是(1，2). 2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是____________________. 解析：(－∞，－6]∪[2，＋∞) 由题意得|x＋2|＋|x－m|≥4恒成立， 由于|x＋2|＋|x－m|≥|－2－m|＝|2＋m|，当x在－2和m之间(包括－2和m)时取等号， 所以(|x＋2|＋|x－m|)min＝|2＋m|. 所以|2＋m|≥4， 所以2＋m≥4或2＋m≤－4， 即m≥2或m≤－6， 故实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞). 考点2　函数的表示 【例2】 (1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)的解析式是________________． (2)若函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1，则f(2)＝(　　) A．－ B． C． D． (3)(2025·浙江嘉兴月考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝x3f()(x≠0)，f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)，则f(3)＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：(1)f(x)＝x2－x＋1　令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝1，所以c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1. 由题意可知，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，得所以 所以f(x)＝x2－x＋1. (2)A　因为函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1，　① 所以f()＋2f(x)＝＋1，　② 联立①②得 解得f(x)＝－＋， 所以f(2)＝－＋＝－.故选A. (3)D　因为f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)， 令x＝y＝0，则f(0)＝0， 令x＝1，y＝－1， 则f(1)＋f(－1)－2＝f(0)＝0. 又f(x)＝x3f()，令x＝－1， 则f(－1)＝0，所以f(1)＝2. 又f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)，令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)＋2＝6， 令x＝1，y＝2，则f(3)＝f(1)＋f(2)＋4＝2＋6＋4＝12.故选D. 函数解析式的常用求法 (1)待定系数法，若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法． (2)换元法，已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)方程组法，求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f(x)的解析式． 变式探究 3．(2024·江苏南通二模)已知f(x)对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f()＝2，则f(4)＝(　　) A．4 B．8 C．64 D．256 解析：D　由f(x＋y)＝f(x)·f(y)，当y＝x时，有f(2x)＝f 2(x). 又f()＝2，所以f(4)＝f 2(2)＝f 4(1)＝f 8()＝28＝256.故选D. 4．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1对任意的x∈(0，＋∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)＝__________. 解析：1－log3x(答案不唯一)　由题意可知，f(x)＋f(y)可变化为f(xy)的形式，由此可想到对数函数， 又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1， 所以满足条件的一个函数可取f(x)＝1－log3x. 5．(多选)(2025·北京东城月考)设a为常数，f(0)＝，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x)，则(　　) A．f(a)＝ B．f(x)＝ C．f(x＋y)＝2f(x)f(y) D．满足条件的f(x)不止一个 解析：ABC　已知f(0)＝，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x). 对于A，令x＝y＝0，则＝f(0)＝f(a)＋f(a)＝f(a)，即f(a)＝，A正确． 对于B，令y＝0，则f(x)＝f(x)f(a)＋f(0)f(a－x)＝f(x)＋f(a－x)，故f(x)＝f(a－x)， 令x＝y，则f(2x)＝f(x)f(y)＋f(y)f(x)＝2f(x)f(y)＝2f 2(x)≥0，故f(x)非负； 令y＝a－x，则f(a)＝f 2(x)＋f 2(a－x)＝2f 2(x)＝，解得f(x)＝±， 又f(x)非负，故可得f(x)＝，B正确． 对于C，由B项分析可得f(x＋y)＝2f(x)f(y)，C正确． 对于D，由B项分析可得满足条件的f(x)只有一个，D错误．故选ABC. 考点3　分段函数 【例3】 (1)(2024·全国模拟预测)设函数f(x)＝若f(f(2))＝，则a＝________． (2)(2024·吉林模拟预测)已知f(x)＝若f(a)＝1，则a＝(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2 (3)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝则f(f())＝________，不等式f(x)<f(2x)的解集是___________________________． 解析：(1)2　函数f(x)＝ 有f(2)＝－2×2－1＝－5， 则f(f(2))＝f(－5)＝a-5＝＝，解得a＝2. (2)B　当a<1时，f(a)＝2a-1＝1， 则a－1＝0，解得a＝1(舍去)； 当a≥1时，f(a)＝＝1，则＝2，解得a＝4.故选B. (3)1　(－∞，－)∪(，＋∞) 由题意可知，f(f())＝f(1)＝1. 因为f(x)<f(2x)， 当|2x|<1，即－<x<时，则|x|<<1，可得1<1，不合题意； 当即x∈(－1，－]∪[，1)时，可得1<(2x)2， 解得x>或x<－，所以x∈(－1，－)∪(，1)； 当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1，可得x2<(2x2)＝4x2，符合题意． 综上所述：不等式f(x)<f(2x)的解集是(－∞，－)∪(，＋∞). (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则． (2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式．自变量的值不确定时，要分类讨论． 变式探究 6．设函数f(x)＝则f(8)＝(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 解析：C　因为f(x)＝ 则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.故选C. 7．已知f(x)＝满足f(a)<f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：D　当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以f(a)<f(－a)⇔a2＋2a<－a2－2a，即a2＋2a<0，解得－2<a<0； 当a≥0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a， 所以f(a)<f(－a)⇔－a2＋2a<a2－2a，即a2－2a>0，解得a>2. 所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞).故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲　函数的概念及其表示 课前必备知识 课标要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识梳理 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个__数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一__确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作__y＝f(x)，x∈A__，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__． (2)函数有三个要素：__定义域__、__值域__和__对应关系__． 2．函数的表示 解析法，就是用__解析式__表示两个变量之间的对应关系． 图象法，就是用__图象__表示两个变量之间的对应关系． 列表法，就是列出__表格__来表示两个变量之间的对应关系． 3．分段函数 分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的__对应关系__的函数称为分段函数． 常用结论 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__并集__，其值域等于各段函数的值域的__并集__． 课前训练 1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点(　　) A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 2．(教材母题必修复习参考题3T1改编)函数f(x)＝－(x＋3)0的定义域是(　　) A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，3) C．(－∞，－3) D．(－∞，3) 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 4．下列四组函数，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝x C．f(x)＝x，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝· 5．已知函数f(x)＝若f(m)＝4，则m＝________． 课堂核心考点 考点1　函数定义域的意义及求法 【例1】(1)函数f(x)＝＋的定义域是______________． (2)已知函数f(x＋1)的定义域是[1，7]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域是(　　) A．[4，16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．[1，3] D．[3，4] 函数定义域的求解策略 (1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：有实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求解． (3)抽象函数 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 变式探究 1．函数f(x)＝＋ln (2x－x2)的定义域是__________． 2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是____________________. 考点2　函数的表示 【例2】 (1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)的解析式是________________． (2)若函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1，则f(2)＝(　　) A．－ B． C． D． (3)(2025·浙江嘉兴月考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝x3f()(x≠0)，f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)，则f(3)＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 函数解析式的常用求法 (1)待定系数法，若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法． (2)换元法，已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)方程组法，求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f(x)的解析式． 变式探究 3．(2024·江苏南通二模)已知f(x)对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f()＝2，则f(4)＝(　　) A．4 B．8 C．64 D．256 4．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1对任意的x∈(0，＋∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)＝__________. 5．(多选)(2025·北京东城月考)设a为常数，f(0)＝，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x)，则(　　) A．f(a)＝ B．f(x)＝ C．f(x＋y)＝2f(x)f(y) D．满足条件的f(x)不止一个 考点3　分段函数 【例3】 (1)(2024·全国模拟预测)设函数f(x)＝若f(f(2))＝，则a＝________． (2)(2024·吉林模拟预测)已知f(x)＝若f(a)＝1，则a＝(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2 (3)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝则f(f())＝________，不等式f(x)<f(2x)的解集是___________________________． (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则． (2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式．自变量的值不确定时，要分类讨论． 变式探究 6．设函数f(x)＝则f(8)＝(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 7．已知f(x)＝满足f(a)<f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $