精品解析：点 福建省福州屏东中学2023—2024 学年上学期九年级数学校本练习

福州屏东中学2023-2024学年第一学期九年级数学校本练习C4 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 百发百中 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意； C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意； D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题． 4. 下列抛物线平移后可得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，即可解答. 【详解】解：A. ，此抛物线开口向下，向右平移1个单位长度后可得到抛物线； B、C、D三条抛物线开口向上，平移后不能得到. 故选A. 【点睛】本题考查抛物线的平移及平移规律，解题关键是平移规律，另外抛物线平移后，只是位置改变，形状和开口大小、方向不变. 5. 已知正六边形内接于，若的直径为，则该正六边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接OA、OB，由正六边形内接于可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长． 【详解】如图，连接OA、OB， ∵的直径为， ∴OA=1， ∵正六边形内接于， ∴∠AOB=60°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=1， ∴该正六边形的周长是1×6=6， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，正确得出∠AOB=60°解题关键． 6. 如图，，与相交于点，若，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出GE=8，再根据相似三角形判定的预备定理得出GE=8，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴GE=8， ∵AB∥EF， ∴△ABG∽△FEG， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，更根据题意判断出△ABG∽△FEG是解题关键． 7. 若关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式与方程即可得到满足条件的a的值． 【详解】根据题意得，且， 解得且； 故选：B． 8. 函数y=的图象是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据反比例函数的值域进行判断．∵函数y=中的y＞0，且关于y轴对称．∴选项C符合题意． 故选C． 考点：反比例函数的图象． 9. 某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案． 【详解】解：每份盒饭涨价x元后，利润为(16+x-12)元， 销售量为(360-40x)盒， ∴可得方程为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键． 10. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．设，而，即函数向上平移1个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解． 【详解】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标， 而， 即函数向上平移1个单位得到函数， 则两个函数的图象如图所示， 从图象看，， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若的半径为，则的圆心角所对的弧长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据弧长公式求解即可； 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：． 12. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在0.4，则盒子中白球大约有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】直接用总数乘以频率即可得到答案． 【详解】解：白球大约有（个）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查频率估计概率，当进行大量重复试验时，频率可近似等于概率． 13. 已知反比例函数y＝，当－3＜x＜－1时，y的取值范围是__________． 【答案】－4＜y＜－ 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性可求得答案． 【详解】解： 在反比例函数y=中，k=4＞0， ∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， 当-3＜x＜-1时，函数图象在第三象限， 当x=-3时，y=-，当x=-1时，y=-4， ∴-4＜y＜-， 故答案为-4＜y＜-． 【点睛】本题主要考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=（k≠0）中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大． 14. 已知，则的值是____________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据，可得=5，又因为 =[][ ]=(x2+3x)(x2+3x+2)，再整体代入即可解答. 【详解】解：∵ ∴=5， ∴ =[][ ] =(x2+3x)(x2+3x+2) =5×（5+2） =5×7 =35 故答案为35. 【点睛】本题考查整体代入思想，解题关键是原式分组相乘，然后整体代入. 15. 如图，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点放在以为直径的半圆上，的两边分别交半圆于，两点，若，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AQ，根据圆周角定理可得∠QAB=∠QPB=45°，∠AQB=90°，所以△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：连接AQ， ∵∠QPB=45°， ∴∠QAB=∠QPB=45°， ∵AB为直径 ∴∠AQB=90°， ∴△ABQ是等腰直角三角形， 即AQ=BQ， ∵AB=2，AQ2+BQ2=AB2， ∴2BQ2=4， ∴BQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共60分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-公式法及因式分解法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程步骤是解题的关键． （1）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 则， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，即， 则或， ∴，． 17. 如图，在⊙O中，半径弦AB于点C，，若，求OO的半径． 【答案】9 【解析】 【分析】连接OA，由垂径定理得到，设⊙O的半径为r，由得到，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连OA， ∵半径弦AB于点C， ∴C是AB的中点，． 设⊙O的半径为r， ∵， ∴，， 在中由勾股定理可知：，代入数据： ∴，解得，(舍)， 故圆的半径为9． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，属于基础题，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 18. 如图，中，，．将绕点A顺时针方向旋转得到，，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，，再由，可得，即可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可得到． 【小问1详解】 证明：由旋转性质得：，且， ，，， ， 即， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：设与交于， ∵， ， ，， ， ， ， ． 19. 小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． （1）若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是　 　． A．小明打开的一定是楼梯灯 B．小明打开的可能是卧室灯 C．小明打开的不可能是客厅灯 D．小明打开走廊灯的概率是 （2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 【答案】(1)D;(2). 【解析】 【分析】（1）由小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）∵小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯， ∴小明任意按下一个开关，打开走廊灯的概率是， 故选D； （2）画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， ∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是＝． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的关键． 20. 如图，在中，． （1）在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，，在所作的图形中，求的半径． 【答案】（1）如图：为所作． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，只需作的平分线，与的交点就是所求作的圆心O． （2）根据勾股定理，切线的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在中，，，， ， ，且点在上， 为的切线， 与相切于， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 21. 如图，一块余料，，，，，，且和之间的距离为4．以所在直线为x轴，长为1个单位长度，建立适当的平面直角坐标系，图中曲线恰好是该平面直角坐标系中反比例函数图象的一部分． （1）补全该平面直角坐标系，并写出点B，C，D，E的坐标； （2）李师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中边在上（点P在点Q的右侧），其余两个顶点M与N分别在线段与曲线段上，求所截取的矩形材料面积的最大值． 【答案】（1），，，； （2）13 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，依次求出点E，F，A，B，D，C坐标，从而建立坐标系； （2）求出直线的表达式，设，根据纵坐标求出点N坐标，从而得到，，根据矩形面积公式列出面积关于a的表达式，根据二次函数的最值和a的范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B，点E的纵坐标为1， ∵点E在反比例函数图象上， 令，则，即， ∴， ∵， ∴，， ∵和之间的距离为4，， ∴点D的纵坐标为4，代入中， 得，则， ∵， ∴， 故建立坐标系如下： 其中，，，； 【小问2详解】 设直线的表达式为， 将，代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为， 设，将代入中， 得，即， ∴，， ∴ ， 开口向下，且对称轴为直线. ， 当时，最大，最大值为13， 所截取的矩形材料面积的最大值为13． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了反比例函数和一次函数的知识，要能根据已知条件建立正确的坐标系，并能根据点在函数上得到坐标，从而表示出边长． 22. 已知抛物线与轴有且只有一个交点，且与轴交于点． （1）求与的关系式； （2）若时，点在抛物线的对称轴上；过点的直线：与抛物线只有一个交点；证明：直线平分； 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，根据题意设函数关系式以及点的坐标是解题的关键． （1）由题意可设函数解析式，令，即可得． （2）当时，，则有，再由过点的直线：与抛物线只有一个交点，得，即，可求得m，k的值，再根据点的坐标计算可得，进而利用等边对等角和平行线的性质得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 令，， ∴； 【小问2详解】 证明：当时，， ∴， ∵过点的直线：与抛物线只有一个交点， ∴直线：， ∴， 即， 整理，得， ∴， 解得， ∴直线：交对称轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∵点O，B在y轴上，点P，C在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴直线平分． 23. 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，⊙O的切线CD交直线AB于点D，弦CE交AB于点F，点E为的中点． （1）求证：CD＝DF； （2）当，AC＝12时，求CD的长． 【答案】（1）见解析； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接OC，先求出∠ACE=∠BCE=45°，再根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO，最后根据等量代换得出结果； （2）设OF=x，BD=y，先得出△ACD∽△CBD，得出BD=2x，AB=6x，最后根据勾股定理得出结果． 【小问1详解】 证明：连接OC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∵点E为的中点， ∴， ∴∠ACE=∠BCE=45°， ∴∠ACO+∠OCF+∠FCB=90°，∠DCB+∠FCB+∠OCF=90°， ∴∠ACO=∠DCB， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠A=∠DCB， ∵∠CFD=∠A+45°，∠DCF=∠DCB+45°， ∴∠CFD=∠DCF， ∴CD＝DF； 【小问2详解】 解：设OF=x， ∵，则AO=OC=3x， 设BD=y，则AD=2AO+BD=6x+y， ∵∠CBD=45°+∠CFB，∠ACD=45°+∠CFD， ∴∠CBD=∠ACD， ∵∠A=∠DCB， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD²=BD·AD，即CD²=y(6x+y)， ∵CD=DF=2x+y， ∴(2x+y)²=y(6x+y)， 得：x(2x-y)=0， ∴2x-y=0且x≠0， ∴2x=y，即BD=2x， ∵AC=12，AB=AO+OF+BF=3x+x+2x=6x， 在Rt△ACB中， CB=， ∵， ∴， ∴x=， ∵x>0， ∴x=舍去， ∴x=， ∴CD=4x=4． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线． 24. 如图，在和中，，，，将绕点旋转一定角度，使得点在内且点，，在同一条直线上，连接，． （1）求证：； （2）， ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，可证明，从而得到，从而证得，即可； （2）①过点D作于点F，设交于点O，根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再证明，即可；②过点A作于点G，过点A作交的延长线于点H，根据角平分线的性质可得，可证得，从而得到，再证得，可得，从而得到，即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，过点D作于点F，设交于点O， 由（1）得，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴，即； ②解：如图，过点A作于点G，过点A作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2023-2024学年第一学期九年级数学校本练习C4 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 百发百中 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列抛物线平移后可得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正六边形内接于，若的直径为，则该正六边形的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，与相交于点，若，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 函数y=的图象是（ ）. A. B. C. D. 9. 某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若的半径为，则的圆心角所对的弧长是__________． 12. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在0.4，则盒子中白球大约有________个． 13. 已知反比例函数y＝，当－3＜x＜－1时，y的取值范围是__________． 14. 已知，则的值是____________． 15. 如图，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点放在以为直径的半圆上，的两边分别交半圆于，两点，若，则的长是__________． 三、解答题（共7小题，共60分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在⊙O中，半径弦AB于点C，，若，求OO的半径． 18. 如图，中，，．将绕点A顺时针方向旋转得到，，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 19. 小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况． （1）若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是　 　． A．小明打开的一定是楼梯灯 B．小明打开的可能是卧室灯 C．小明打开的不可能是客厅灯 D．小明打开走廊灯的概率是 （2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 20. 如图，在中，． （1）在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，，在所作的图形中，求的半径． 21. 如图，一块余料，，，，，，且和之间的距离为4．以所在直线为x轴，长为1个单位长度，建立适当的平面直角坐标系，图中曲线恰好是该平面直角坐标系中反比例函数图象的一部分． （1）补全该平面直角坐标系，并写出点B，C，D，E的坐标； （2）李师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中边在上（点P在点Q的右侧），其余两个顶点M与N分别在线段与曲线段上，求所截取的矩形材料面积的最大值． 22. 已知抛物线与轴有且只有一个交点，且与轴交于点． （1）求与的关系式； （2）若时，点在抛物线的对称轴上；过点的直线：与抛物线只有一个交点；证明：直线平分； 23. 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，⊙O的切线CD交直线AB于点D，弦CE交AB于点F，点E为的中点． （1）求证：CD＝DF； （2）当，AC＝12时，求CD的长． 24. 如图，在和中，，，，将绕点旋转一定角度，使得点在内且点，，在同一条直线上，连接，． （1）求证：； （2）， ①求证：； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $