17 专项突破一 全等三角形的探索-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

专项突破一三角形全等的探索 类型一 添加条件使三角形全等 1.如图，已知∠1=∠2，要说明△ABD≌△ACD,还需从下列条件中 选一个，错误的选法是 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.DB=DC D.AB=AC 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC与△DEF的边BC,EF在同一条直线上，AB∥DE,且 BE=CF,请添加一个条件，使△ABC兰△DEF,全等的依据是 “ASA”,则需要添加的条件是 () A.∠A=∠F B.AC=DF C.AC∥DF D.AB=DE 3.如图，点A,B,D,E在同一直线上，AD=EB,∠A=∠E。请你添加 救 一个条件，试说明：AC=EF。 (1)你添加的条件是 (2)请你写出说明过程。 4.如图，已知AB=CD,点E,F在线段BD上，且AF=CE。 请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE;③AF=CF中，选择一个合适 蜜 的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE。 你添加的条件是： (只填写一个序号)。 添加条件后，请说明AE∥CF。 都 5.如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB。 (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使△ABC≌ △ADC的条件有（填序号）； ①DC=BC;②∠D=∠B;③∠DAC=∠BAC;④LDCA=∠BCA。 (2)分别对(1)中添加条件的情况说明△ABC≌△ADC,并指出两 个三角形全等的判定方法。 类型二确定全等三角形的对数 6.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE, CD相交于点F,连接AF,BD=CE。图中的全等 三角形一共有 ）B4 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 7.如图，AD=AC,AB=AE,∠DAB=∠CAE。 (1)如图1，试说明：DE=BC; (2)如图2，设BC与DE交于点O,连接A0,在不添加任何辅助线 的情况下，请直接写出图中所有可用已有字母表示出的全等 三角形。（不包含(1)中的全等三角形) 图1 图2 类型三网格中确定全等三角形 8.如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC 是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另 一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符 合要求的三角形共能画 () A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 A: B 第8题图 第9题图 9.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则 ∠ABC和∠DEF的关系为 () A.∠ABC=∠DEF B.∠DEF=2∠ABC C.∠ABC+90°=∠DEF D.∠ABC+∠DEF=180° 10.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长 度，点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交 于点F。若∠CFB=41°，则∠ABE= B --1--1-- E 11.如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和 △DFE的顶点都在格点上。试说明：∠ABC=∠DFE。 类型四多次判定全等求解或说明结论 12.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在AB, AD上，AE=AF,CE=CF,试说明：CD=CB。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·33· 13.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD是△ABC的边BC上的高，E,F 分别是边AB,AC上的点，且BE=CF,连接DE,DF,则线段DE 与DF相等吗？请说明理由并写出最后两步推理的根据。 14.小华发现了一种作角平分线的方法，如图，在射线BA,BC上，BD= BE,BX=BY,再连接DY,EX,其交点与点B的连线，这条线就是 ∠ABC的平分线。试说明该结论。 A 类型五由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 15.如图，△ABC的角平分线BD,CE交于点0，∠A=60°，用等式表 示线段BE,CD,BC的数量关系为 0 16.（1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A, BDL直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E。试说明：DE= BD+CE。 ·34· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 (2)如图2，将(1)中的条件改为在△ABC中，AB=AC,D,A,E三 点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中 为任意锐角或钝角。请问结论DE=BD+CE是否成立？ 并说明理由。 m m 图1 图2 类型六全等三角形的动态问题 17.如图，已知线段AB=12m,MA⊥AB于点A,MA= D Q 6m,射线BD⊥AB于点B,点P从点B向点AM 运动，每秒走1m,点Q从点B向点D运动，每 秒走3m,点P,Q同时从点B出发，则出发 46 D 秒后，在线段MA上有一点C,使△CAP与△PBQ 全等。 18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,点D以 1c/s的速度从点A出发，沿AC移动到点C,同时点E以 3cm/s的速度从点B出发，沿BC移动到点C,两点中有一个点 到达终点，两个点都停止运动。直线PQ经过Rt△ABC的顶点C,过 D,E分别作DM⊥PQ,EN⊥PQ,垂足分别为M,N,请问：运动时间t 等于多少秒时，CD=CE?并说明此时△DCM≌△CEN。 D M 类型七全等三角形的应用 19.如图，要测量池塘两岸M,V两点间的距离，可以在直线MN上取 A,B两点，再在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC= CD,过点D再画出BF的垂线DE,使点E与点A,C在一条直线 上，若此时测得DE=16m,AM=0.5m,BN=1.5m,则池塘两岸 M,N两点间的距离为 mo MA 地面 D 第19题图 第20题图 20.如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B到地面的距离BD=2.5m。乐乐在荡秋千过程中，当 秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=1.5m,点A 到地面的距离AE=1.5m,当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥ AB,点A'到地面DE的距离是 mo 21.如图，小刚站在河边的点A处，在河对岸的点B处有一电线塔 (小刚的正北方向)，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西 方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达点 D处，然后再左转90°直行，当小刚看到电线塔B,树C与自己现 处的位置点E在一条直线上时，他共走了120步。 (1)根据题意，画出示意图； (2)若小刚一步约0.5米，请求出A,B两点间的距离。（写出推 理过程) B D七一A(2)由题意，得AC=4-1=3,DE=3, 3.解：(1)∠ABC=∠EDF(答案不唯一) 所以S6am=24C·DB=7x3x3=号. (2)因为AD=BE,所以AB=DE。 在△ABC和△EDF中， (3)存在，理由如下： ∠A=∠E,AB=ED,∠ABC=∠EDF, 延长CD交y轴于点P,则点P即是所求的点， 所以△ABC≌△EDF(ASA)。所以AC=EF。 此时IPC-PDI的最大值为线段CD的长度。 4.解：当选择①BF=DE时，△ABF≌△CDE。 令x=0,代入7=多-6，解得y=-6 理由如下： 所以点P的坐标为(0，-6)。 在△ABF和△CDE中， 在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD=√DE+CE= AB=CD,AF=CE,BF=DE, 所以△ABF≌△CDE(SSS)。 √32+(4-2)2=√13。 所以∠B=∠D。 综上，点P的坐标为(0，-6)时，IPC-PD1的最大值为 因为BF=DE, √13。 所以BF+EF=DE+EF,即BE=DF。 选做题 在△ABE和△CDF中， 解：(1)42014070【解析】快车的速度：420÷(4-1)= AB=CD,∠B=∠D,BE=DF, 420÷3=140(千米/时)， 所以△ABE≌△CDF(SAS)。 慢车的速度：420÷(3+4-1)=420÷6=70（千米/时）。 所以∠AEB=∠CFD。 所以甲、乙两地之间的路程为420千米，快车的速度是140 所以AE∥CF。 千米/时，慢车的速度是70千米/时。 (2)片【解析】设出发1小时，快慢两车距各自出发地的 当选择②∠BAF=∠DCE时，△ABF≌△CDE。 理由如下： 路程相等，当快车离开甲地前往乙地时，快车离出发地为 在△ABF和△CDE中， 140tkm,而慢车离开乙地前往甲地，慢车离出发地的距离 AB=CD,∠BAF=∠DCE,AF=CE, 为70tkm,显然此时快、慢两车距各自出发地的路程不相 所以△ABF≌△CDE(SAS)。 等；当快车在乙地停留1小时，离开乙地前往甲地时，快车 所以∠B=∠D,BF=DE。 离出发地为[840-140(t-1)km,而慢车离开乙地前往 同理可得△ABE≌△CDF(SAS)。 甲地，慢车离出发地的距离为70tkm, 所以∠AEB=∠CFD。所以AE∥CF。 所以当840-140(1-1)=706时，t=4 当选择③AF=CF时，不能判定△ABF≌△CDE。 5.解：(1)①③ 所以出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等。 (2)当添加DC=BC时， 在△ABC和△ADC中， (3)号或号号 【解析】由题意，设出发x小时，两车相 AB=AD,AC=AC,BC=DC, 距150千米。 所以△ABC≌△ADC(SSS). ①相遇前，快车未到乙地前， 当添加∠DAC=∠BAC时， 所以140x+150+70x=420。所以x= 在△ABC和△ADC中， 7 AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC ②相遇后，快车未到乙地前， 所以△ABC≌△ADC(SAS). 所以140x+70x-150=420。所以x=19 6.D【解析】图中有△BDF≌△CEF,△ADF≌△A 70 ③快车从乙地前往甲地，未追上慢车， △ABF≌△ACF,△AEB≌△ADC,共4对。 7.解：(1)因为∠DAB=∠CAE, 所以140(x-1)-420+150=70x。所以x=4 所以∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE。 综上，出发号小时，9小时或小时，两车相距150千米。 所以∠DAE=∠BAC。 在△DAE和△CAB中， 专项突破一三角形全等的探索 AD=AC,∠DAE=∠CAB,AE=AB, 1.C2.C 所以△DAE≌△CAB(SAS)。 所以DE=CB。 所以DE=DF(全等三角形的对应边相等)。 (2)图中全等的三角形有①△DAB≌△CAE,②△DBO≌14.解：如图，设DY交EX于点0， △CE0,③△AOB≌△AOE,④△DAO≌△CAO。 在△XBE和△YBD中， 8.B9.D BX=BY,∠XBE=∠YBD,BE=BD, 10.131°【解析】如图，在△CGD和△BHE中， 所以△XBE≌△YBD(SAS)。 因为GD=EH=1,∠CGD=∠BHE=90°，CG=BH=4, 所以∠BXE=∠BYD。 所以△CGD≌△BHE(SAS)。 因为BD=BE,BX=BY, 所以∠GCD=∠HBE。 所以DX=EY。 因为CG∥BD 在△DOX和△EOY中， 所以∠CAB=∠ABD。 ∠DOX=∠EOY,∠DXO=∠EYO,DX=EY, 因为∠CFB+∠AFC=180°，由△ACF内角和定理，得 所以△DOX≌△EOY(AAS)。 ∠AFC=180°-∠CAB-∠GCD。 所以OD=OE。 所以∠CFB=∠CAB+∠GCD=41°， 在△OBD和△OBE中， 所以∠ABD+∠HBE=41°。 BD=BE,OB=OB,OD=0E, 所以∠ABE=∠ABD+∠DBH+∠HBE=90°+41°=131°。 所以△OBD≌△OBE(SSS). 所以∠ABO=∠CBO,即射线BO就是∠ABC的平 分线。 15.BC=BE+CD【解析】因为在△ABC中，∠A=60°，BD 和CE分别平分∠ABC和∠ACB, C B 所以L0BC+∠0CB=2(∠ABC+∠ACB)=2(180°- 11.解：因为每个小正方形的边长均为1， 60°)=60°。 所以AB=EF,BC=FD,AC=ED。 所以∠B0C=180°-60°=120°。 所以△ABC≌△EFD(SSS)。 在BC上截取BF=BE,连接OF,如图， 所以∠ABC=∠DFE。 因为BD平分∠ABC, 12.解：如图，连接AC, 所以LEBO=∠FBO。 在△ACE和△ACF中， 】 在△OBE和△OBF中， AE=AF,CE CF,AC=AC, OB=OB,∠EB0=∠FB0, 所以△ACE≌△ACF(SSS)。 BE=BF, 所以∠EAC=∠FAC。 所以△OBE≌△OBF(SAS)。 在△ACD和△ACB中， 所以∠BOE=∠BOF,BE=BF。 ∠D=∠B=90°，∠DAC=∠BAC,AC=AC, 因为∠B0C=120°，所以∠B0E=60°。 所以△ACD≌△ACB(AAS)。 所以∠B0F=60°。 所以CD=CB 所以∠C0F=∠B0C-∠B0F=60°，∠D0C=180°- 13.解：DE=DF。理由如下： ∠B0C=60°。 因为AD是△ABC的边BC上的高， 因为∠COD=∠C0F,OC=OC,∠OCD=∠OCF, 所以∠ADB=∠ADC=90°。 所以△COD≌△COF(ASA)。 在△ABD和△ACD中， 所以CD=CF。所以BC=BF+CF=BE+CD。 ∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD, 16.解：(1)因为BD⊥DE,CE⊥DE, 所以△ABD≌△ACD(AAS). 所以∠BDA=∠CEA=90°。 所以BD=CD。 因为∠BAC=90°， 在△BDE和△CDF中， 所以∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=9O°。 BE=CF,∠B=∠C,BD=CD, 所以LABD=∠CAE。 所以△BDE≌△CDF(SAS)。 在△ABD和△CAE中. ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·67· ∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA, 所以△ABC≌△EDC(ASA)。 所以△ABD≌△CAE(AAS)。 所以AB=ED=16m。 所以BD=AE,DA=CE。 因为AM=0.5m,BN=1.5m, 所以DE=AE+DA=BD+CE。 所以MN=16-0.5-1.5=14(m)。 (2)成立。理由如下： 20.1【解析】如图，过点A'作A'F⊥BD于点F, 因为∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 由题意得AC⊥BD,BD⊥DE,AB 所以∠BAD+∠CAE=180°-， =A'B, C 且∠DBA+∠BAD=180°-aO 所以点A'到地面DE的距离为 所以∠DBA=∠CAE。 DF的长， 地面 在△ABD和△CAE中， ∠ACB=∠BFA'=90°。 ∠BDA=∠AEC,∠DBA=∠EAC,AB=CA, 所以∠A'BF+∠BA'F=90°。 所以△ABD≌△CAE(AAS)。 因为A'B⊥AB, 所以BD=AE,CE=DA。 所以∠A'BF+∠ABC=90°。 所以DE=AE+DA=BD+CE。 所以∠ABC=∠BA'F。 17.3【解析】设出发x秒后，在线段MA上有一点C,使 在△ACB和△BFA'中， ∠ACB=∠BFA',∠ABC=∠BA'F,AB=BA', △CAP与△PBQ全等， 所以△ACB≌△BFA'(AAS)。 由题意知BP=xm,BQ=3xm,则AP=(12-x)m。 所以AC=BF。 当△APC≌△BQP时，AP=BQ, 所以DF=BD-BF=BD-AC=2.5-1.5=1(m)。 即12-x=3x,解得x=3; 21.解：(1)如图，即为所求作。 当△APC≌△BPQ时，AP=BP=2AB=6m, 北 所以此时所用时间是6秒，AC=BQ=18>MA,不合题 意，舍去。 综上所述，出发3秒后，在线段MA上有一点C,使 △CAP与△PBQ全等。 D (2)在△ACB和△DCE中， M ∠ACB=∠DCE,AC=DC,∠BAC=∠EDC, 所以△ACB≌△DCE(ASA)。 A 所以AB=DE=120-20-20=80(步)。 D 因为一步约0.5米，所以AB=80×0.5=40(米)。 18.解：因为AC=6cm,BC=8cm,点D以1cm/s的速度从 所以A,B两点间的距离约为40米。 点A出发，沿AC移动到点C,同时点E以3c/s的速度 专项突破二等腰三角形的应用 从点B出发，沿BC移动到点C,所以CD=(6-t)cm, 1.40°或80° CE=(8-3t)cm。 2.65°或25°小斗提示：当题目中没有图形时，要考虑图形可能 因为CD=CE,所以6-t=8-3t。所以t=1。 存在多种情况。 因为DM⊥PQ,EN⊥PQ,∠ACB=90° 【解析】如图1，当AB的垂直平分线与AC相交于点 所以∠DMC=∠CNE=90°. D时， 所以∠DCM+∠CDM=∠DCM+∠NCE。 因为∠ADE=40°，所以A=90°-40°=50°。 所以∠CDM=∠NCE。 因为AB=AC,所以∠B=∠C=(180°-50)÷2=65°； 又因为CD=EC,所以△DCM≌△CEN(AAS)。 19.14【解析】因为AB⊥BF,DE⊥BF, D 所以∠B=∠EDC=90°。 40 在△ABC和△EDC中， ∠B=∠EDC,BC=DC,∠BCA=∠DCE, 图1 图2 .68· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 如图2，当AB的垂直平分线与CA的延长线交于点D 因为7+6>7，符合构成三角形的条件， 时，因为∠ADE=40°，所以∠DAE=90°-40°=50°。 所以能围成底边长为6cm,腰长为7cm的等腰三角形； 所以∠BAC=180°-50°=130°。 当6cm是该等腰三角形的腰长时，设底边长为ycm, 因为AB=AC,所以∠B=∠C=(180°-130)÷2=25°。 根据题意，得6+6+y=20,解得y=8。 综上，∠C的度数为65°或25°。 此时所围成等腰三角形的三边长为6cm,6cm,8cm。 3.小斗提示：在等腰三角形中，没有具体说明角是顶角或底角时， 因为6+6>8，符合构成三角形的条件， 要分情况讨论。 所以能围成底边长为8cm,腰长为6cm的等腰三角形。 解：(1)设∠B=x°。 综上，能围成一条边长为6cm的等腰三角形。 因为三角形ABC是等腰三角形，∠A是顶角， 8.解：根据题意，得b-2=0,a-b-2=0, 所以∠B=∠C=x°。 解得b=2,a=4。 因为∠A=4∠B,所以6x°=180°。所以x=30。 所以腰长为4，底边长为2。 所以∠C的度数为30°。 所以等腰三角形的周长为4+4+2=10。 (2)设∠B=x°。 9.小斗分析：设AB=AC=2x,则AD=CD=x。根据题意，可知有两 因为三角形ABC是等腰三角形，∠A是底角， 种情况，AB+AD=12或AB+AD=10,从而根据等腰三角形的性 所以∠A=∠C=4x°。 质及三角形三边关系即可求出底边长。 所以9x°=180°。所以x=20。 所以∠C=4x°=80°。 解：设AB=AC=2x。 所以∠C的度数为80°。 因为BD为边AC上的中线，所以AD=CD=x。 4.A 当AB+AD=12时，2x+x=12,解得x=4。 5.解：当腰为3时，则三角形的三边长为3,3,7，无法构成 所以CD=4。 三角形；当底边为3时，则三角形的三边长为3,5,5，可 因为BC+CD=10,所以BC=10-CD=6; 以构成三角形。所以等腰三角形的底边为3。 当AB+40=10时，2x+x=10,解得x=号。 6.解：如图，过点C作DC⊥BA,交BA的延长线于点D。 -TD 所以cD-9。 因为BC+CD=12,所以BC=2-CD=约。 在△ABC中，CD⊥AB,AB=AC=20, 综上，底边5C的长为6或5。 所以∠B=∠ACB=15°。由三角形内角和以及平角的 定义， 10.解：设运动的时间为x秒。 得∠CAD=∠B+∠ACB=30°。 在△ABC中，BC=20cm,AC=18cm, CM=(18-2x)cm,CN =1.6x cmo 在Rt△ACD中，CD=4C=10, 当△CMN是等腰三角形时，CM=CN, 所以该等腰三角形腰上的高为10。 即18-2x=1.6x,解得x=5。 7.解：(1)设该等腰三角形的底边长为acm,则腰长是 所以CM=CW=18-2×5=8cm。 2a cmo 所以等腰三角形CMN的腰长为8cm。 根据题意，得2a+2a+a=20,解得a=4。所以2a=8。 11.25或65 此时该等腰三角形的三边长为8cm,8cm,4cm。 12.18°或36°或54°或72° 因为8+4>8，符合构成三角形的条件， 13.解：(1)508020 所以该等腰三角形的底边是4cm。 (2)能围成。理由如下： (2)当∠A是顶角时，∠B=1802-&=90°-受： 2 当6cm是该等腰三角形的底边长时，设腰长为xcm, 当∠A是底角，∠B是底角时，∠B=ax; 根据题意，得2x+6=20,解得x=7。 当∠A是底角，∠B是顶角时，∠B=180°-a-a= 此时所围成等腰三角形的三边长为7cm,7cm,6cm。 180°-2a。