15 第六章 一次函数 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

第六章考点梳理与复习 考点一函数 【训练目的】理解函数的概念，了解函数的表示方法，会列函数表达式，会求函数值。 1.下列式子：①y=3x-5,②y=2③y=V-1,④2=x。其中y是x的函数的有 ( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的读数y(单位：℃)与时间x(单位：mi) 的关系用图象可近似表示为 y/℃ 班 B x/min x/min x/min x/min 3.一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米(0<x<10),那么正方形的面积随之减少y 平方厘米。y关于x的关系式是 4.地表以下岩层的温度y(单位：℃)随着所处深度x(单位：k)的变化而变化，在某个地点y与x之间 的关系可以近似地用关系式y=35x+20来表示，当x=20km时，y= ℃0 5.新考法〔跨学科)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30一80米称为“中 途期”，80一100米称为“冲刺期”。校田径队把运动员小明某次百米跑训练时速度y(单位：米/秒) 与路程x(单位：米)之间的观测数据，绘制成曲线如图所示。 9 (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)“中途期”开始时，小明的速度为多少？ (3)根据图中信息，给小明提一条训练建议。 y/(米秒) 6.5 0 1530 80100x/米 蟹 考点二认识一次函数 【训练目的】了解变量的均匀变化，理解一次函数、正比例函数的概念，会根据一次函 数及正比例函数的定义解题，能利用一次函数求解计算问题。 6.下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的有 ( ①y=-x;②y+2=2(x+1);③y=k2x(k是常数)；④y2=x2。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.若y=(m-1)xm+1是关于x的一次函数，则m的值为 A.1 B.-1 C.±1 D.2 8.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种。据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关 系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如表： 拼 气温/℃ 13 15 17 19 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 70 84 98 112 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49，则该地当时的气温约为 9.新情境〔实际情境〕某家政服务公司选派20名清洁工去打扫民宿的房间，房间有大、小两种规格，每名 清洁工一天能打扫8个大房间或12个小房间。设派x人去打扫大房间，其余人打扫小房间，打扫一 个大房间工钱为50元，打扫一个小房间工钱为30元。 (1)写出家政服务公司每天的收入y(单位：元)与x之间的函数关系式； (2)应该怎样安排这20名清洁工清扫一天，才能使该家政服务公司收入7800元？ 10.某市居民用水每月计费标准如下：用水量不超过10m3时，按3元/m3计费；用水超过10m3时，超 过10m3的部分按4元/m3计费。设每户月用水量为x(单位：m3),应缴水费为y(单位：元)。 (1)求y与x的函数关系式； (2)若小张家七月份用水8m,求小张家七月份应缴多少水费？ (3)若小张家一月份缴了42元水费，求小张家一月份用多少水？ 考点三一次函数的图象与性质 【训练目的】理解一次函数的图象和性质，并借助图象和性质求解有关问题。 11.一次函数y=-x-6的图象大致是 B 6 D. -6 -6N 12.已知点(-2，y1)与点(5，y2)都在一次函数y=x+3的图象上，则y1与y2的大小关系为 A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.不能确定 主题情境一次函数的变化请完成第13~14题 13.学习了一次函数的性质后，小斗写出了下列一次函数：①y=2x;②y=2x+2;③y=5x;④y=5x-1。 当x从0开始逐渐增大时，对同一个x的值，y的值最先到达100的函数是 14.为了进一步巩固一次函数性质的知识，小斗又写出了下列一次函数：①y=4x;②y=4-2x;③y=-2+ 4x;④y=-3x+8。其中y的值随x值的增大而减小的函数是 ,图象互相平行的函数是 15.在同一平面直角坐标系中画出函数y=-x+2与y=2x+2的图象，指出它们的共同之处，并分别指 出每个函数中当x增大时y如何变化。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·29· 16.已知一次函数y=(6+3m)x+m-4。 (1)m的值可以为-2吗？为什么？ (2)写出符合条件的m的两个值，使y的值随x的值的增大而减小； (3)写出符合条件的m的两个值，使函数的图象与y轴的交点在x轴的下方； (4)当m为何值时，图象过原点？ 考点四一次函数的应用 【训练目的】建立一次函数模型解决实际问题，会求一次函数表达式，能从所给的图 象中获取解题信息。 17.一个正比例函数的图象经过点(4，-2)，它的表达式为 A.y=-2x B.y=2x c分 D.y=z* 18.将直线11：y=2x-2平移得到直线2：y=2x+4,下列说法正确的是 A.将11向左平移3个单位长度得到2 B.将11向左平移6个单位长度得到2 C.将11向上平移2个单位长度得到2 D.将1向上平移4个单位长度得到2 19.作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方 式。现在一条笔直的公路旁依次有A,C,B三个快递驿站（如图1），甲、乙两架无人机分别从A,B 两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站C。已知甲、乙两架无人机到 驿站C的距离s1,s2(单位：km)与飞行时间t(单位：h)之间的函数关系如图2所示。若甲、乙两架 无人机同时到达驿站C,则驿站B离驿站C的距离是 () A.13 km B.14 km C.15 km D.16 km ↑s/km 20 ↑ylcm CD 12- 9 21 ---.B 甲无人机 乙无人机 A 0 2 ◆B 6 A· 图1 图2 305060 x/天 第19题图 第21题图 20.新考法〔跨学科)〕一个弹簧不挂重物时长12cm,挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比。 如果挂1kg重物后，弹簧伸长2cm,弹簧总长y(单位：cm)随所挂重物x(单位：kg)变化的函数表达 式为 21.新考法〔跨学科〕生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度y(单位：c)与观察时间 x(单位：天)的关系，画出如图所示的函数图象，则该植物最高可以长到 cm。 ·30· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 22.教改题如图，L1反映了某公司产品的销售收入y(单位：万元)与销售量x(单位：t)的关系，2反映了 该公司产品的销售成本y(单位：万元)与销售量x(单位：t)的关系，点A的坐标为(0,3)，点P的坐 标为(6,5)。 (1)当销售量x= 时，销售收入等于销售成本； (2)求L1和l2的函数表达式； (3)当该公司盈利（销售收人-销售成本）10万元时，销售量是多少？ y万元 4 x/t 23.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+3与x轴相交于点A(2,0),与y轴交于点B。 (1)求k的值及△AOB的面积； (2)点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标； (3)点M(3,0)在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等 时，求点P的坐标。 备用图(3)△A,B,C的面积=3×4-7×2×1-7×2×3- 分×2×4=4 22.解：(1)因为√16<√23<√25，即4<√23<5， 图1 图2 所以√23的整数部分是4，小数部分是√23-4。 如图2，当0<a<2时，过点P作PM⊥y轴于点M, (2)因为1<5<2， 1 54P4B=×6×(4+a)-2×4×4、 2×(4+6)×a= 所以1+9<9+5<2+9，即10<9+5<11。 4-2a。 所以9+√3的整数部分是10，小数部分是9+√3-10。 如图3，当-4<a<0时，过点A作AG⊥PH于点G, 因为x是整数，且0<y<1, 所以x=10,y=√3-1。 Sam=4x6-7×4x4-×2×(-a)-×6x(a+ 4)=4-2a。 所以x-y=10-(3-1)=11-√3。 23.解：(1)5【解析】因为点A(-3,5)到x轴的距离为 5,到y轴的距离为3，所以，点A的“长距”为5。 (2)因为点B(4-2a,-2)是“角平分线点”，所以14- 2al=1-21。 图3 图4 如图4，当a<-4时，过点P作PW⊥y轴于点N, 所以4-2a=2或4-2a=-2,解得a=1或a=3。 (3)点D是“角平分线点”。因为点C(-2,3b-2)的 Sm=6×(-a）-分×4×4-分×2x(-a）-号 ×6× 长距为4，且点C在第二象限内， (-4-a)=4-2a。 所以3b-2=4,解得b=2。 1 (3)S64Bc=2×10×4=20。 所以9-2b=5。所以点D的坐标为(5，-5)。 所以点D到x轴，y轴的距离都是5。 当2a-4=20时，解得a=12,此时点P坐标为(-6,12)； 当4-2a=20时，解得a=-8,此时点P坐标为(-6，-8)。 所以点D是“角平分线点”。 综上，点P的坐标为(-6,12)或(-6，-8)。 选做题 第六章考点梳理与复习 小斗分析：(1)根据三角形面积公式，0N=8,解得0A=4。则 1.C小斗提示：对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确 OB=OA=4,0C=BC-OB=6,然后根据坐标轴上点的坐标特征写 定的值与之对应，则y是x的函数。 出△ABC三个顶点的坐标；(2)分类讨论：当点P在直线AB上方即 【解析1①=3x-5,y是x的函数；②=7y不是x的 a>2时；当点P在直线AB下方，即a<2时，利用面积的和与差求 函数；③y=√x-1,y是x的函数；④y2=x,当x取一个 解；(3)先计算出S△Bc=20,利用(2)中的结果得到方程，然后分别 值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数。 求出a的值，从而确定点P坐标。 2.C 解：(1)因为Sam=20M·0B,0A=0B, 3.y=-x2+20x4.720 5.解：(1)y是关于x的函数。理由如下： 所以)0MP=8,解得0A=4。所以0B=0A=4。 对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应。 (2)“中途期”开始时，小明的速度为10.4米/秒。 所以0C=BC-0B=10-4=6。 (3)小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训 所以A(0,-4),B(-4,0),C(6,0)。 练，提高成绩。 (2)如图1，当a>2时，作PH⊥x轴于点H, 6.B【解析】y=-x是正比例函数； Sm=分×(a+4)×6-3×2×a-7×(2+6)×4 y+2=2(x+1),整理，得y=2x,是正比例函数； y=2x(k是常数)，当k=0时，不是正比例函数； 2a-4。 y2=x2,不是正比例函数。 7.B【解析】根据题意，得m-1≠0，lml=1,解得m=-1。 函数y=-x+2与y=2x+2的图象都是一条直线，与 8.10 y轴交点坐标都为(0,2)。 9.解：(1)根据题意，得y=50×8x+30×12(20-x) 在y=-x+2中，y随x增大而减小； =400x+7200-360x=40x+7200, 在y=2x+2中，y随x增大而增大。 所以家政服务公司每天的收入y与x之间的函数关系16.解：(1)m的值不可以为-2。理由如下： 式为y=40x+7200。 因为y=(6+3m)x+m-4是一次函数， (2)当y=7800时，40x+7200=7800, 所以6+3m≠0。所以m≠-2。 解得x=15,此时20-x=5。 (2)根据题意，得6+3m<0,解得m<-2。 所以家政公司安排15人打扫大房间，5人打扫小房间， 所以当m=-3或-4时，函数y的值随x的值的增大 才能为该家政服务公司收入7800元。 而减小。（答案不唯一，m<-2即可) 10.解：(1)当0≤x≤10时，y=3x; (3)根据题意，得m-4<0,解得m<4。 当x>10时，y=3×10+4(x-10)=4x-10。 所以当m=2或3时，函数的图象与y轴的交点在x轴 3x(0≤x≤10)， 综上，y与x的函数关系式为y= 的下方。（答案不唯一，m<4且m≠-2即可) 14x-10(x>10)。 (4)根据题意，得m-4=0,解得m=4。 (2)当x=8时，y=3×8=24, 所以当m=4时，图象过原点。 所以小张家七月份应缴24元水费。 17.C【解析】设该正比例函数的表达式为y=x。 (3)因为42>30， 所以小张家一月份用水量超过10m3。 根播题意，得4=-2，解得飞=宁 所以4x-10=42,解得x=13。 所以小张家一月份用13m3水。 所以这个正比例函教的表达式为y=一)x。 11.D 18.A 12.A【解析】因为1>0，所以y随x的增大而增大。 19.C【解析】根据题图可知，A到C的距离为20km,甲 因为-2<5，所以y1<y2 2h行了20-12=8(km),乙2h到C的距离为9km 小斗总结… 甲从A到C用的时间为20÷(8÷2)=5(h), 对于一次函数y=kx+b,当k>0时，y随x的增大而增大；当 乙从B到C的距离为9÷(5-2)×5=15(km)。 :k<0时，y随x的增大而减小。 20.y=2x+12【解析】因为挂1kg重物后，弹簧伸长 13.③【解析】当y=100时，由y=2x,得x=50; 2 cm, 由y=2x+2,得x=49;由y=5x,得x=20; 所以挂xkg重物后，弹簧伸长2xcm。 由y=5x-1,得x=20.2。 所以弹簧总长y=2x+12。 因为x=20最小，所以y=5x的函数值先达到100。 21.31【解析】根据题图，得第50天时达到最高。 14.②④①③【解析】在一次函数y=kx+b中，y的值 设直线AC的函数表达式为y=x+b。 随x的值的增大而减小，所以飞<0。 因为y=4-2x,y=-3x+8中的k<0, 将(30,21)，(0,6)代入，得k=7,6=6。 所以y的值随x的值的增大而减小。 1 因为y=4x与y=-2+4x的k相同， 所以直线AC的函数表达式为y=2+6。 所以这两个函数的图象互相平行。 当x=50时，y=31,所以该植物最高可以长到31cm。 15.解：如图所示的函数图象即为所求作。 22.解：(1)6 (2)设y1=x。 将(6,5)代入，得6k-5,解得k= 69 所以1，的函数表达式为-名。 设l2的函数表达式为y2=ax+b。 将(0,3)，(6,5)代入，得a=3,6=3。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·65· 所以儿的函数表达式为2=了+3。 解得x=-4。所以P(-4,9)。 综上，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，点P (3)根据题意，得名-（兮+3）=10，解得x=26。 的坐标为(4，-3)或(-4,9)。 所以当该公司盈利10万元时，销售量是26t。 23.解：(1)将点A(2,0)代人直线y=x+3,得0=2k+3, 解得=一子 所以y=-+3。 当x=0时，y=3.所以B(0,3),0B=3。 第六章学业水平测试 因为A(2,0),所以OA=2。 1.D2.C3.C4.D5.B 所以Sue=之0A·0B=2x2x3=3。 6.A【解析】根据题意，得y-2=k(x+1)+b, 所以y-2=x+k+b。 (2)如图，①当AB=BC时，点C与点A(2,0)关于y轴 因为y=x+b,所以-2=k,解得k=-2。 对称，所以C(-2,0); 因为b可以是任意数，所以琳琳对。 7.A小斗分析：先根据正比例函数图象确定点B的坐标，再根据 图象确定点A的坐标，设出一次函数表达式，代入一次函数表达 式，即可求出。 C"C O C 【解析】因为点B在正比例函数y=2x的图象上，横坐标 为1， ②当AB=AC时，由A(2,0),B(0,3)得到 所以y=2×1=2。所以B(1,2)。 AB=√22+32=√3，由AC=AC'=√/3得到 设一次函数的表达式为y=x+b。 C(√13+2,0)，C"(2-√13,0)。 将A(0,3),B(1,2)代入，得k=-1,b=3。 综上所述，符合条件的点C的坐标是(-2,0)或 所以这个一次函数的表达式为y=-x+3。 (√13+2,0)或(2-√13,0)； 8.D (3)因为M(3,0),所以OM=3。 9.A【解析】设直线2的函数表达式为y=2x+b, 所以AM=3-2=1。 则点B的坐标为(0，b)。 由(1)知，SAAOR=3,所以SAPBM=S△A0B=3。 因为0B=6,所以b=6。 ①当点P在x轴下方时，S△PBW=SAPM+S△ABw= 3 所以直线l2的函数表达式为y=2x+6。 2 令y=0,即2x+6=0,解得x=-3。 分·AM:-2+7x1x1,l=3, 所以，点A的坐标为(-3,0)。所以OA=3。 小斗总结 所以lypl=3。 将直线y=kx+b沿y轴平移，平移前后两直线平行，它们的k 因为点P在x轴下方，所以yp=-3。 值相等。 当)=-3时，代入y=-+3,得-3=-3+3， 10.D【解析】根据题意可知，2表示小南的路程和时间 解得x=4。所以P(4,-3); 的关系，所以选项A正确； ②当点P在x轴上方时，SAPRM=S△APM-S△ABM= 1 小南的速度为14÷(4-2)=7(m/s), 2 所以选项B正确； AM1-号=x1x1l-2=3, 小凯的速度为22÷4=5.5(m/s), 所以小凯先跑了5.5×2=11(m)。所以选项C正确； 所以lypI=9。 因为点P在x轴上方，所以yp=9。 小航到达终点月时1055-0(a),小向到达终点 当)=9时代入y=2+3得，9=- 2x+3, 月时2+100÷7-14()。因为0>兰所以最终小 66. ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 南会赢得比赛。所以选项D错误。 (2)当x=240时，y=号×240+80=32， 1山.子【解析】因为点(m,m+1)在函数y=-2x+2的 1 所以该电动汽车的剩余电量为32kW·h。 图象上，所以m+1=2+2,解得m=子。 20.解：(1)1015【解析】因为(45-35)÷1=10（度/小 时)，所以充电前，该新能源汽车每小时消耗电10度。 12.41℃【解析】因为温度随时间的变化是均匀的，且 因为充电后，每小时的耗电量是充电前每小时耗电量 10min时温度为45℃，15min时温度为65℃，所以 的1.5倍，所以充电后，该新能源汽车每小时消耗电 (65-45)÷(15-10)=4(℃)，即时间每增加1min, 1.5×10=15(度)。 温度升高4℃。所以45-4×(10-9)=41（℃），即实 (2)设充电前电池剩余电量y与行驶时间t之间的函 验进行9min时的温度是41℃。 数表达式为y=t+b。 13.6【解析】一次函数y=2x+b(b>0)的图象与y轴交 将(0,45)，(1,35)代入，得k=-10,b=45。 点为(0,6)，与x轴的交点为(-台0小。 所以函数表达式为y=-10t+45。 (3)在y=-10t+45中，令y=20,解得t=2.5, 因为图象与坐标轴围成的三角形的面积是9， 即充电前，t=2.5时，电池还剩20度电， 所以分×6×1-合=9，解得6=6或-6。 所以a=2.5。所以b=2.5+0.5=3。 因为33+(5-3)×15-20=43（度）， 因为b>0,所以b=6。 所以小明爸爸在充电桩上充了43度电。 14.1721【解析】因为气温为22℃， 21.解：(1)因为y1=k1x+b的图象过(0,30)，(10,180)， 3 所以y=亏×22+331=34.2(m/s)。 所以k1=15,b=30。 因为小斗看到烟花燃放5$后才听到声音， k1=15表示的实际意义是原价的六折为15元； 所以他与燃放烟花所在地的距离为344.2×5=1721(m)。 b=30表示的实际意义是每张学生寒假专享卡的价格 15.y=3x+3【解析】线段AB的中，点坐标为(-1,0)。 为30元。 设直线l的函数表达式为y=kx+b。 (2)根据题意，得打折前的每次健身费用为 将C(0,3),(-1,0)代入，得k=3,b=3, 15÷0.6=25(元)。 所以直线l的函数表达式为y=3x+3。 所以k2=25×0.8=20。 16.15【解析】设y=kx+b。 (3)由(1)(2)可知，y1=15x+30,y2=20x。 当x=0时，y=18;当x=1时，y=21, 当x=9时，y1=15×9+30=165,y2=20×9=180。 所以k=3,b=18。所以y=3x+18。 因为165<180，所以选择方案一所需费用更少。 令y=63,即3x+18=63,解得x=15。 22.解：(1)如图，过点D作DE⊥x轴于点E, y 所以他使用的流量共超出15GB。 17.解：(1)根据题意，得1ml=1,m+1≠0。所以m=1。 (2)由(1)知，m=1。 因为该函数是关于x的正比例函数， 所以n-3=0。所以n=3。 18.解：(1)因为一次函数y=x-3的图象经过点M(-2,1), 所以-2k-3=1,解得k=-2。 由题意，得∠BOA=∠DEA=90°，∠BAO=∠DAE, 所以这个一次函数表达式为y=-2x-3。 因为AD=AB,所以△DAE≌△BAO(AAS)。 所以AE=OA,DE=OB。 （2)当x=2时，y=-2×2-3=-7, 所以点(2，-7)在该函数的图象上。 由y=-3x+3,令x=0,得y=3。 所以B(0,3),0B=3。 19.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b。 令y=0,得-3x+3=0,得x=1。 将(0,80)，(150,50)代人，得=-写，=80， 所以A(1,0),0A=1。 所以y与*之间的函数关系式为y=一方+80。 所以AE=OA=1,OE=2,DE=OB=3。 所以点D的坐标为(2，-3)。