专题21.1 一元二次方程的概念（8大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年 沪教版(五四制)八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题21.1 一元二次方程的概念 知识点一、一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如,都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。 特别提醒 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式， (1) 定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的， (2) 当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。 知识点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。 特别提醒 (1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式 (2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0. (3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2. (4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数 知识点三、一元二次方程的解(根) 1.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。 题型01 一元二次方程的概念 【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【例2】下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3 【例3】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣x＝x2+3 B． C．x2＝﹣1 D． 题型02 一元二次方程的概念求参数 【例4】若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 【例5】为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【例6】关于的方程． （1） 当取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当取何值时，方程为一元一次方程？ 题型03 一元二次方程的一般形式 【例7】 把下列一元二次方程化成一般式，并写出各项的系数 【例8】若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________． 【例9】已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 【例10】已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 题型04：判断一个数是不是一元二次方程的解 【例11】判断2、5、-4是不是一元二次方程的根． 【例12】判断方程后面括号里的数是否为方程的根． （1）； （2）． 题型05 已知一元二次方程的一根求参数或代数式的值 【例13】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【例14】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（　　） A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0 【例15】已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【例16】若是关于的方程的解，则代数式的值是　　． 【例17】已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为　　． 【例18】已知x＝m是关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根，则＝　　． 【例19】若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为　　　． 【例20】若x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值为_______． 题型06 根据条件求一元二次方程的定根 【例21】.若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【例22】关于x方程满足下列两个等式成立 ，试求方程的解． 【例23】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___． 题型07 写出满足条件的一元二次方程 【例24】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0 【例25】关于x的一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，则这个一元二次方程是（             ） A． B． C． D． 【例26】写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________ 【例27】写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 题型08 新定义问题 【例28】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值． 【例29】对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　 　；判断241 　 　“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 一、选择题 1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0 2.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.方程是关于x的一元二次方程，m满足的条件是（ ） A． B． C． D． 4、关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 5．（2024上海市民办新竹园中学八年级月考）若，是方程的一个根，则值满足（ ） A． B． C． D． 6.已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021 7.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 8．（2023秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m　　，n＝　　． 10.关于的方程，当　　时，是一元一次方程；当　　时，是一元二次方程． 11．（2022秋·上海·八年级校考期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 12．（2024秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝　　． 13.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，则两个根为（　　） A．﹣1，0 B．﹣1，1 C．﹣1，﹣1 D．0，1 14.若关于的一元二次方程没有一次项，则　　． 15（2024秋•浦东新区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a＝　　． 16．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是（　　） A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·上海·期中）已知、是方程的两根，，则 ． 三、解答题 18．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 19．若是方程的一个根，求代数式的值． 20．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题21.1 一元二次方程的概念 知识点一、一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如,都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。 特别提醒 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式， (1) 定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的， (2) 当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。 知识点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。 特别提醒 (1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式 (2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0. (3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2. (4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数 知识点三、一元二次方程的解(根) 1.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。 题型01 一元二次方程的概念 【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【例2】下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3 【解答】解：A．当a＝0时，原方程为一元一次方程，选项A不符合题意； B．方程是分式方程，选项B不符合题意； C．x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，选项C不符合题意； D．3（x+1）2＝﹣3是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 【例3】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣x＝x2+3 B． C．x2＝﹣1 D． 【答案】C 【详解】解：A、方程整理为，是一元一次方程，此项不符题意； B、方程中的是分式，不是一元二次方程，此项不符题意； C、方程是一元二次方程，此项符合题意； D、方程中的不是整式，不是一元二次方程，此项不符题意； 题型02 一元二次方程的概念求参数 【例4】若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A．m≠1 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 答案：C 【例5】为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】． 【解析】方程为一元二次方程，则有，同时，可得． 【例6】关于的方程． （1） 当取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当取何值时，方程为一元一次方程？ 【答案】（1）时，原方程是一元二次方程； （2）时，原方程是一元一次方程． 【解析】（1），即时，原方程是一元二次方程； （2），即时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有 ，可知，则，即时，原方程是一元一次方程． 题型03 一元二次方程的一般形式 【例7】 把下列一元二次方程化成一般式，并写出各项的系数 解题分析：审题仔细，看清最终要写出的是项还是项的系数，并注意符号。 答案：，二次项系数为，一次项系数为-1，常数项为； 【例8】若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________． 【答案】． 【解析】常数项为0 ，即，可得，同时方程为一元二次方程，可知， 由此得． 【例9】已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 【答案】． 【解析】整理方程得，化为一般形式即为，方 程的各项分别为，，，其中未知项系数分别为1，，依题意即有 ，解得：． 【例10】已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1)， (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【详解】（1）由是一元一次方程，得 ， 解得， 原方程变为：， ∴ 解得； （2）由是一元二次方程，得 ， 解得， ∴时，是一元二次方程， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型04：判断一个数是不是一元二次方程的解 【例11】判断2、5、-4是不是一元二次方程的根． 【答案】2、是原方程的根，5不是． 【解析】（1）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以 是原方程的根； （2）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原方 程的根； （3）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所 以是原方程的根． 【例12】判断方程后面括号里的数是否为方程的根． （1）； （2）． 【答案】（1），是原方程的根；（2）是原方程的根，不是原方程的根． 【解析】（1）将代入原方程，左边，右边，左 边右边，所以是原方程的根；将代入原方程，左边， 右边，左边右边，所以是原方程的根； （2）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原 方程的根；将代入原方程，左边，右边，左边右边， 所以不是原方程的根． 题型05 已知一元二次方程的一根求参数或代数式的值 【例13】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】． 【解析】将代入原方程，即得，解得，同时方程为一元二次方程，故 ，由此可得：． 【例14】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（　　） A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0 【分析】直接把x＝﹣1代入方程得到a、b、c的关系，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0． 故选：C． 【例15】已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0． 【解析】由题意代入可得：，由此． 【例1】 已知方程和有共同的解，求与的值． 【答案】，． 【解析】方程有共同的解，依题意有，解得：． 【例16】若是关于的方程的解，则代数式的值是　　． 【分析】先由方程的解的含义，得出，变形得，再将要求的代数式变形，然后将代入，计算即可． 【解答】解：是关于的方程的解， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键． 【例17】已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为　　． 【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【解答】解：是方程根， ， ， 原式 ． 故答案是：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【例18】已知x＝m是关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根，则＝　　． 【解答】解：把x＝m代入x2+3x﹣1＝0，得m2+3m﹣1＝0． 所以1﹣3m＝m2． 所以＝＝4． 故答案是：4． 【例19】若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为　　　． 【解答】解：∵实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴a2﹣3a+1＝0，a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2， ∴a3+ ＝a（3a﹣1）+ ＝3a2﹣a+ ＝3（3a﹣1）﹣a+ ＝9a﹣3﹣a+24﹣8a ＝21． 故答案为：21． 【例20】若x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值为_______． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2+x-1=0的两根， ∴，， ∴，， ∴ = =1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解体的关键是掌握方程的解能使方程等式两边成立． 、 题型06 根据条件求一元二次方程的定根 【例21】.若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【解答】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1． 故选：C． 【例22】关于x方程满足下列两个等式成立 ，试求方程的解． 【答案】． 【解析】由，， 得：原方程的解为：． 【总结】本题考查了方程的解得概念． 【例23】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 题型07 写出满足条件的一元二次方程 【例24】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0 【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+1＝0， 故选：D． 【例25】关于x的一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，则这个一元二次方程是（             ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵关于x的二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，∴这个方程是． 【例26】写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________ 【答案】 【详解】由题意得： 故答案为（答案不唯一） 【例27】写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的情况求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1，另一个根为， ∴可列， 化为一般式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型08 新定义问题 【例28】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值． 【解答】解：（1）是． 理由如下： 当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0， 所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程； （2）根据题意得2+m﹣n＝0①， 把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②， ②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1， 即m的值为2或﹣1． 【例29】对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　 　；判断241 　 　“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0； ∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8， ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“喜鹊数”是121． 故答案为：b2﹣4ac＝0；不是； （2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根， ∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0， 将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0， ∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1； 故答案为：mn＝1． （3）∵m+n＝﹣2，mn＝1， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵b2＝4ac， ∴（a+c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 故答案为：121，242，363，484． 一、选择题 1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A．32x﹣1＝0，是一元一次方程，故A不符合题意； B．是分式方程，故B不符合题意； C．方程整理可得x+2＝0，是一元一次方程，故C不符合题意； D．（x﹣2）（x+2）+4＝0是一元二次方程，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程的一般式是. ①符合定义；②没有说明a≠0；③化简后得3x-9=0，是 一元一次方程；④ 是分式方程. 3.方程是关于x的一元二次方程，m满足的条件是（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由一元二次方程的一般式是可知，得. 4、关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 答案：B 解析：把代入关于的一元二次方程中得，解得但当时，关于的方程是一元一次方程，不符合题意. 5．（2024上海市民办新竹园中学八年级月考）若，是方程的一个根，则值满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x=1代入原方程即可解得k的值． 【详解】解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0， 可得k-1+k2-1-k+1=0， 即k2=1， 解得k=-1或1； 但当k=1时k-1和k2-1均等于0，故应舍去； 所以，取k=-1； 故选：C． 6.已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021 【解答】解：根据题意，得 a2+3a﹣1＝0， 解得，a2+3a＝1， 所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020． 故选：A． 7.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接把代入方程中即可得到结论． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴，故B符合题意； 根据现有条件无法推出，，，故A、C、D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 2、 填空题 8．（2023秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m　　，n＝　　． 【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系数不为0；结合不含x的一次项知，一次项系数为0． 【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0． 根据题意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0， 解得m≠±2，n＝7． 故答案是：≠±2，7． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 10.关于的方程，当　　时，是一元一次方程；当　　时，是一元二次方程． 【分析】利用一元二次方程和一元一次方程定义进行解答． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 由题意得：， 解得：， 故答案为：；． 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义和一元一次方程定义，关键是掌握一元二次方程和一元一次方程定义． 11．（2022秋·上海·八年级校考期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，且， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 12．（2024秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝　　． 【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出m的值即可． 【解答】解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0， 由常数项为0，得到m2﹣9＝0， 解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3， 则m＝﹣3， 故答案为：﹣3 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）． 13.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0，则两个根为（　　） A．﹣1，0 B．﹣1，1 C．﹣1，﹣1 D．0，1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常数项为0， ∴m﹣1≠0且m2﹣1＝0， 解得：m＝﹣1， 方程为﹣2x2+2x＝0， 解得：x＝0或1， 故选：D． 14.若关于的一元二次方程没有一次项，则　　． 【分析】根据没有一次项可得，且再解即可． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为 15（2024秋•浦东新区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a＝　　． 【分析】把x＝0代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根是0， ∴a2﹣9＝0， 解得：a＝±3， ∵a﹣3≠0， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 16．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义，得出，然后再把转化为，再把代入计算即可． 【详解】解：把代入方程， 可得：， ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，利用整体代入法求解是解本题的关键．一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 17．（22-23八年级上·上海·期中）已知、是方程的两根，，则 ． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 三、解答题 18．已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程的解的定义可得，再化简代数式，然后把代入，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 19．若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 22．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $