精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷

长沙市第一中学2025—2026学年度高一第一学期第一次阶段性检测 数学 时量：120分钟 满分：150分得分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（ ） A. 第一种方式购买物品的单价为 B. 第二种方式购买物品的单价为 C. 第一种方式购买物品所用单价更低 D. 第二种方式购买物品所用单价更低 6. 下列函数中最小值为的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 在数学上称函数为高斯函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 且是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 的充要条件是 10. 下列命题叙述正确的是（ ） A. 且时，当时， B. 且时，当时， C. 且时，当时， D. 且时，当时， 11. 已知集合满足： ①； ②，若且，则； ③，若且，则. 则下列结论正确的是（ ） A. 若集合中有最大数，则集合中没有最小数 B. 若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数 C. ，使得 D. ，存在无理数，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______． 13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 14. 已知，且关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 16. 已知命题成立；命题：方程有两个不相等的负根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为. （1）若，求集合. （2）已知集合.对任意非空有限实数集，设，记表示集合中的元素个数. （i）证明：； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2025—2026学年度高一第一学期第一次阶段性检测 数学 时量：120分钟 满分：150分得分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A 3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，，平方后作差，比较出. 【详解】显然， 由题意得：，解得：， ， 故， ， 故 又， 故. 故选：A 5. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（ ） A. 第一种方式购买物品的单价为 B. 第二种方式购买物品的单价为 C. 第一种方式购买物品所用单价更低 D. 第二种方式购买物品所用单价更低 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得第一种策略平均价格为，第二种策略平均价格为，利用作差法比较大小即可求解. 【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为， 则平均价格为，故A不正确； 第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为， 第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为， 则平均价格为，B错误； 因为， 所以，C错误，D正确. 故选：D. 6. 下列函数中最小值为的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于，如果时，，故不符合题意； 对于，利用基本不等式得到函数的最小值为4，故正确； 对于，利用基本不等式得到最小值为，故错误； 对于，利用基本不等式得最小值取不到，故错误． 【详解】对于，，如果时，，故不符合题意； 对于，因为， 当且仅当，即时取等号，故正确； 对于，因为， 当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，故错误； 对于，，当且仅当即此时无解，这表明最小值取不到，故错误． 故选：． 7. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由已知不等式的解集，求出，再得出新不等式，求解即可. 【详解】依题意，是方程的两个实根，且， 于是，且，解得. 不等式化为，解得， 故解集为. 故选：A 8. 在数学上称函数为高斯函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式求出的范围，再由高斯函数得到的取值范围，转化为求其非空真子集即可得解. 【详解】因为，则，则， 又表示不大于的最大整数，因此不等式的解集为. 依题意可知，只需求出不等式解集的一个非空真子集即可， 选项中只有⫋. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 且是的充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 的充要条件是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式性质可依次判断选项AB中的充分性和必要性是否成立，知AB正误；根据全称命题的否定知C错误；通过反例可知充分性不成立，知D错误. 【详解】对于A，当，时，，充分性成立，A正确； 对于B，当时，，充分性成立；当时，或，必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，由全称命题的否定知原命题的否定为：，，C错误； 对于D，当，时，，此时无意义，充分性不成立，D错误. 故选：AB. 10. 下列命题叙述正确的是（ ） A. 且时，当时， B. 且时，当时， C. 且时，当时， D. 且时，当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】利用特值法及作差法进行判断. 【详解】对于A，因为且时，当时，取， 所以，则，故A错误； 对于B，因为且时，当时，取， 所以，则，故B错误； 对于C，因为且时，当时，则， 所以，则，故C正确； 对于D，存在，，满足，故D正确. 故选：CD. 11. 已知集合满足： ①； ②，若且，则； ③，若且，则. 则下列结论正确的是（ ） A. 若集合中有最大数，则集合中没有最小数 B. 若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数 C. ，使得 D. ，存在无理数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义，结合选项，逐项分析即可求解. 【详解】由所给条件，可知集合中的元素都小于集合中的元素， 对于A，若集合中的元素有最大数，则必然存在一个有理数，使得，，因此中没有最小数，故A正确； 对于B，若集合中的元素没有最大数，则必然存在一个数，使得，且且，有， 如果是有理数，则，且，则有最小数为； 如果是无理数，则，且，则没有最小数，故B正确； 对于C，假设存在且，由，若且，则， 取，则，但，与矛盾. 故对任意，都有，故C错误； 对于D，由C选项可知，，可得，而两个不等的有理数之间必存在无理数， 所以存在无理数，使得，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法计算直接得出结果. 【详解】由不等式，可得， 即且，解得， 即不等式的解集为． 故答案为： 13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得“，”是真命题，分、两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】命题“，”是假命题， 则它的否定命题“，”是真命题， 当时，不等式为，显然成立； 当时，应满足，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知，且关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由不等式恒成立可得出，化简后得出，利用不等式的传递性及基本不等式求最值即可得解. 【详解】由题意得，一元二次不等式对一切实数都成立， 则需满足即， ， 则， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：3 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解方程可得，进而得，据此由根与系数的关系求出； （2）求出，利用集合交集运算结果确定中元素，代入得解. 【小问1详解】 由题可得， 由于，从而2，3是方程的两根， 即解得. 【小问2详解】 因为. 因为且，所以且， 即，化简得，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且， 故符合题意， 综上，实数的值为. 16. 已知命题成立；命题：方程有两个不相等的负根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由命题为真，可知不等式的解集非空，利用判别式得解； （2）分别求出命题为真时的取值范围，再由一真一假列出不等式求解. 【小问1详解】 若命题为真命题，根据二次函数的性质可得，， 解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真，即一元二次方程有两个不相等的负根，设为， 则解得. 若命题和命题有且只有一个是真命题，则为真假或假真， 当真假时，有解得； 当假真时，有解得. 综上，实数的取值范围为或. 17. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为. （1）若，求集合. （2）已知集合.对任意非空有限实数集，设，记表示集合中的元素个数. （i）证明：； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i） 若，则，且. 于是，，从而，，因此成立. 否则，若或，则必有， 综上，成立. （ii）2026 【解析】 【分析】（1）根据新定义及集合的运算求解； （2）（i）根据新定义，分类讨论即可得解； （ii）令，首先证明，再证明存在集合使得即可得证. 【小问1详解】 根据定义得， 则 【小问2详解】 （i）略 （ii）令，首先证明. 依题意可知. 由（i）可知， 只需证明. 若，则，于是. 否则，不妨设中的最大元素为，且，则必有. 考虑元素. 若，又，因此； 若，则，由于，因此， 注意到，因此. 因此，对任意或中总有一个成立， 故. 因此. 综上可知，. 其次证明，存在集合使得， 取，此时. 于是，，此时. 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $